5.2 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的性质
学习目标
1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角的平面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的性质定理,初步学会用定理证明垂直关系,提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
知识探究
知识点1 二面角及其平面角
(1)二面角.
①概念:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.
②图示.
③记法:αABβ或αlβ.
(2)二面角的平面角.
①概念:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线的夹角称为二面角的平面角.
②图示.
③规定:二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角称为直二面角.二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
[思考1] 二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置有关吗 请简要说明.
提示:无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A′O′B′,即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.
知识点2 平面与平面垂直
(1)定义.
平面与平面垂直
定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,记作α⊥β
画法 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,如图.
(2)平面与平面垂直的性质定理.
文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直; ②作面的垂线
[思考2] 若两个平面相交但是不垂直,则一个平面内的直线能与另一个平面内的直线垂直吗
提示:能.
[思考3] 两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗
提示:不一定,只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
[做一做] 如图,在三棱锥PABC中,平面PAC⊥平面ABC,且 ∠PAC=
90°,PA=1,AB=2,则PB= .
探究点一 二面角的求法
角度1 利用定义求二面角
[例1] 如图,在四面体PABC中,△ABC与△PBC是边长为2的正三角形,PA=3,D为PA的中点,求二面角DBCA的大小.
定义法求二面角的平面角
利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线的夹角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等,常用此法.
[针对训练] 如图,在正四面体VABC中,求二面角V BCA的余弦值.
角度2 垂面法求二面角
[例2] 在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,∠ABC=30°,求二面角PBCA的正切值.
求二面角大小的步骤.
[针对训练]如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD, AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.
探究点二 平面与平面垂直的性质
[例3] 如图,已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证:BC⊥AC.
(1)若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于这两个平面的交线.
(2)先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
[针对训练] 如图所示,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:BC⊥SD.
当堂检测
1.平面α⊥平面β,直线l α,直线m β,则直线l,m的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交、平行或异面均有可能
2.已知平面α⊥平面β,直线a⊥β,则( )
A.a α B.a∥α
C.a⊥α D.a α或a∥α
3.如图,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD是正三角形,O为AB的中点,则图中直角三角形的个数为 .
4.在如图所示的三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角BPAC的大小等于 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
平面与平面垂直的定义、性质 1,2,5
二面角的平面角 3,4,8,9,11
平面与平面垂直 性质的综合应用 6,7,10, 12,13,14
基础巩固
1.已知α,β,γ为平面,若α∥β,α⊥γ,则β,γ的关系是( )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.无法确定
2.已知α,β是两个互相垂直的平面,l,m是两条直线,α∩β=l,则
“m⊥l”是“m⊥α”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,ABDC为直二面角,E是CD的中点,则∠AED等于( )
A.90° B.45° C.60° D.30°
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角ABDA1的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.(多选题)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若α⊥β,m α,n β,则m⊥n
B.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
C.若α⊥β,α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
D.若α⊥β,则存在直线m α,使m⊥β
6.如图,若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直,则 cos α∶cos β= .
7.把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折,点D旋转到点D′,使得平面D′AC⊥平面ABC,则点D′到平面ABC的距离是 .
8.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1EFC等于45°,则BF= .
能力提升
9.在四面体ABCD中,已知棱AC的长为,其余棱长都为1,则二面角ACDB的平面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=2,∠BCD=45°,∠BAD=
90°,将△ABD沿BD进行翻折,当平面ABD⊥平面BCD时,AB与平面ACD的位置关系是 ,直线BC与平面ABD的夹角是 .
11.如图,三棱锥PABC中,PA=PB=PC且△ABC为正三角形,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此棱锥侧面PBC与底面ABC夹角的余弦值为 .
12.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAD.
(2)求证:AD⊥PB.
13.如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,∠PDA=90°,
平面PAD⊥平面PCD.
(1)求证:AD⊥PC.
(2)若PD=AD=2,PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
应用创新
14.如图所示,直角三角形ABC所在平面垂直于平面α,一条直角边AC在平面α内,另一条直角边BC长为且∠BAC=.若平面α上存在点P,使得△ABP的面积为,求线段CP长度的最小值.5.2 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的性质
学习目标
1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角的平面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的性质定理,初步学会用定理证明垂直关系,提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
知识探究
知识点1 二面角及其平面角
(1)二面角.
①概念:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.
②图示.
③记法:αABβ或αlβ.
(2)二面角的平面角.
①概念:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线的夹角称为二面角的平面角.
②图示.
③规定:二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角称为直二面角.二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
[思考1] 二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置有关吗 请简要说明.
提示:无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A′O′B′,即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.
知识点2 平面与平面垂直
(1)定义.
平面与平面垂直
定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,记作α⊥β
画法 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,如图.
(2)平面与平面垂直的性质定理.
文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直; ②作面的垂线
[思考2] 若两个平面相交但是不垂直,则一个平面内的直线能与另一个平面内的直线垂直吗
提示:能.
[思考3] 两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗
提示:不一定,只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
[做一做] 如图,在三棱锥PABC中,平面PAC⊥平面ABC,且 ∠PAC=
90°,PA=1,AB=2,则PB= .
解析:因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∠PAC=90°,
所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,
所以PB===.
答案:
探究点一 二面角的求法
角度1 利用定义求二面角
[例1] 如图,在四面体PABC中,△ABC与△PBC是边长为2的正三角形,PA=3,D为PA的中点,求二面角DBCA的大小.
解:如图,取BC的中点O,
连接AO,DO,PO.
因为△ABC与△PBC是边长为2的正三角形,
所以AO⊥BC,PO⊥BC,
且AO=PO=.
又AO∩PO=O,AO,PO 平面POA,
所以BC⊥平面POA.
又OD 平面POA,
所以BC⊥OD,
所以∠AOD为二面角DBCA的平面角.
因为OP=OA,D是PA的中点,
所以OD⊥PA,AD=PA=,
所以sin∠AOD==.
又∠AOD为锐角,所以∠AOD=60°.
故二面角DBCA的大小为60°.
定义法求二面角的平面角
利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线的夹角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等,常用此法.
[针对训练] 如图,在正四面体VABC中,求二面角V BCA的余弦值.
解:取BC的中点O,
连接AO,VO,如图.
设正四面体的棱长为a,
则VO=AO==a.
因为正四面体的所有棱长都相等,O是BC的中点,
所以VO⊥BC,AO⊥BC,
所以∠AOV是二面角V BCA 的平面角,
所以cos∠AOV== =.
故二面角VBCA的余弦值为.
角度2 垂面法求二面角
[例2] 在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,∠ABC=30°,求二面角PBCA的正切值.
解:如图,在平面ABCD内,过点A作AH⊥BC于点H,连接PH.
因为PA⊥平面ABCD,
BC 平面ABCD,
所以BC⊥PA.
又因为AH∩PA=A,AH,PA 平面PHA,所以BC⊥平面PHA,所以BC⊥PH,故∠PHA是二面角PBCA的平面角.
在Rt△ABH中,
AH=AB·sin∠ABC=a·sin 30°=,
在Rt△PHA中,tan∠PHA===2.
故二面角PBCA的正切值为2.
求二面角大小的步骤.
[针对训练]如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD, AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.
解:因为AC⊥平面 BCD,BD 平面 BCD,
所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD.
所以BD⊥平面 ACD,
因为AD 平面 ACD,所以AD⊥BD,
所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
在Rt△ACD中,AC=AD,所以∠ADC=30°,即平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小为30°.
探究点二 平面与平面垂直的性质
[例3] 如图,已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证:BC⊥AC.
证明:如图,在平面PAC内作AD⊥PC于点D,
因为平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,
AD 平面PAC,且AD⊥PC,
所以AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC.
因为AD∩PA=A,AD,PA 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
又AC 平面PAC,所以BC⊥AC.
(1)若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于这两个平面的交线.
(2)先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
[针对训练] 如图所示,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:BC⊥SD.
证明:因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD,平面SDC∩平面ABCD=CD,BC 平面ABCD,所以BC⊥平面SDC.又因为SD 平面SDC,所以BC⊥SD.
当堂检测
1.平面α⊥平面β,直线l α,直线m β,则直线l,m的位置关系是( D )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交、平行或异面均有可能
解析:两个平面垂直,则分别在两个平面内的直线l,m可能相交、平行或异面.故选D.
2.已知平面α⊥平面β,直线a⊥β,则( D )
A.a α B.a∥α
C.a⊥α D.a α或a∥α
解析:在平面α内任取一点P作垂直平面α,β的交线的直线l,则由面面垂直的性质可知l⊥β,结合a⊥β可知a∥l,因此根据直线a是否在平面α内可知a α或 a∥α.故选D.
3.如图,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD是正三角形,O为AB的中点,则图中直角三角形的个数为 .
解析:因为CA=CB,O为AB的中点,所以CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,CO 平面ABC,所以CO⊥平面ABD.因为OD 平面ABD,所以CO⊥OD,所以△COD为直角三角形.因为△ABD是正三角形,O为AB的中点,所以DO⊥AB.
所以图中的直角三角形有△AOC,△COB,△ABC,△AOD,△BOD,△COD,共6个.
答案:6
4.在如图所示的三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角BPAC的大小等于 .
解析:因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AB,PA⊥AC,故∠BAC为二面角BPAC的平面角.
又∠BAC=90°,
所以二面角BPAC的大小为90°.
答案:90°
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
平面与平面垂直的定义、性质 1,2,5
二面角的平面角 3,4,8,9,11
平面与平面垂直 性质的综合应用 6,7,10, 12,13,14
基础巩固
1.已知α,β,γ为平面,若α∥β,α⊥γ,则β,γ的关系是( C )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.无法确定
解析:由两平面垂直的定义可知当α∥β,α⊥γ时,β⊥γ.故选C.
2.已知α,β是两个互相垂直的平面,l,m是两条直线,α∩β=l,则
“m⊥l”是“m⊥α”的( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由题意知,α⊥β,α∩β=l,
若m⊥l,当m β时,有m⊥α;当m β时,m与α可能相交、平行、垂直或m α.
若m⊥α,由l α,得m⊥l.
故“m⊥l”是“m⊥α”的必要不充分条件.
故选B.
3.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,ABDC为直二面角,E是CD的中点,则∠AED等于( A )
A.90° B.45° C.60° D.30°
解析:如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点F,连接AF,CF.
由题意可得AF=CF=a,∠AFC=90°.
在Rt△AFC中,可得AC=a,
所以△ACD为正三角形.
因为E是CD的中点,所以AE⊥CD,
所以∠AED=90°.故选A.
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角ABDA1的余弦值为( B )
A. B. C. D.
解析:如图所示,
∠AOA1是二面角
ABDA1的平面角,
设正方体的棱长为2,
则AO=,
A1O==,
所以cos∠AOA1==.故选B.
5.(多选题)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( CD )
A.若α⊥β,m α,n β,则m⊥n
B.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
C.若α⊥β,α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
D.若α⊥β,则存在直线m α,使m⊥β
解析:A选项中m,n可能为平行、垂直、异面直线;B选项中缺少了条件l α;C选项具备了面面垂直的性质定理的全部条件,因此C正确;D选项中,当m α且直线m与两平面的交线垂直时,一定有m⊥β,因此D正确.故选CD.
6.如图,若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直,则 cos α∶cos β= .
解析:由题意,平面 ABCD⊥平面CDEF,且交线为CD,DE 平面CDEF,DE⊥DC,所以DE⊥平面ABCD,所以DE⊥DB.同理可得BC⊥CE.两个矩形的对角线长分别为5,2,所以cos α==,cos β=,
所以cos α∶cos β=∶2.
答案:∶2
7.把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折,点D旋转到点D′,使得平面D′AC⊥平面ABC,则点D′到平面ABC的距离是 .
解析:过点D′作D′O⊥AC,垂足为O,连接BO,如图,
则O是AC的中点,D′O⊥平面ABC,
所以点D′到平面ABC的距离是D′O=AC=×=.
答案:
8.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1EFC等于45°,则BF= .
解析:由题意知EF⊥BC.因为CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥EF.又BC∩CC1=C,BC,CC1 平面CC1F,所以EF⊥平面CC1F,所以EF⊥C1F,故∠C1FC为二面角C1EFC的平面角,即∠C1FC=45°.
因为AA1=1,所以CF=CC1=AA1=1,又BC=2,所以BF=1.
答案:1
能力提升
9.在四面体ABCD中,已知棱AC的长为,其余棱长都为1,则二面角ACDB的平面角的余弦值为( C )
A. B. C. D.
解析:如图,取DC的中点E,
AC的中点F,
连接BE,EF,BF,
则∠FEB即为所求二面角的平面角.
易求BF=,BE=,
EF=,所以∠BFE=90°,cos∠FEB==.
故选C.
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=2,∠BCD=45°,∠BAD=
90°,将△ABD沿BD进行翻折,当平面ABD⊥平面BCD时,AB与平面ACD的位置关系是 ,直线BC与平面ABD的夹角是 .
解析:在四边形ABCD中,由已知可得BD⊥DC,∠DBC=45°.因为平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,CD 平面BCD,BD⊥DC,所以CD⊥平面ABD.又AB 平面ABD,所以CD⊥AB.因为AD⊥AB,AD∩CD=
D,AD,CD 平面ACD,可得AB⊥平面ACD,由CD⊥平面ABD,则∠DBC为直线BC与平面ABD所成的角,是45°.
答案:垂直 45°
11.如图,三棱锥PABC中,PA=PB=PC且△ABC为正三角形,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此棱锥侧面PBC与底面ABC夹角的余弦值为 .
解析:如图,取MN和BC的中点分别为E,F,连接PE,EF.因为M,N分别是PB,PC的中点,
所以MN∥BC,PE⊥MN,
由于PA=PB=PC且△ABC为正三角形,
所以PC=PB,PA=PA,AC=AB,
故△APC≌△APB.
由于M,N分别是PB,PC的中点,因此AN=AM,故AE⊥MN.
由于截面AMN⊥侧面PBC,所以∠PEA=90°,进而可得PA=AF.
由于PF⊥BC,AF⊥BC,故∠AFP为侧面PBC与底面ABC的二面角的
平面角.
设AB=2a,所以PA=PB=PC=AF=a,所以PF==a,
所以EF=a,
在直角△AEF中,cos∠AFE==.
答案:
12.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAD.
(2)求证:AD⊥PB.
证明:(1)如图所示,
连接BD,
由题意知,△ABD是正三角形.
因为G是AD的中点,
所以BG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG 平面ABCD,
所以BG⊥平面PAD.
(2)如图所示,连接PG,
因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,
所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG 平面PBG,BG 平面PBG,
所以AD⊥平面PBG.
又因为PB 平面PBG,
所以AD⊥PB.
13.如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,∠PDA=90°,
平面PAD⊥平面PCD.
(1)求证:AD⊥PC.
(2)若PD=AD=2,PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
(1)证明:因为∠PDA=90°,所以PD⊥AD,
又平面PDA⊥平面PCD,平面PDA∩平面 PCD=PD,AD 平面PDA,
所以AD⊥平面PCD,又PC 平面PCD,所以 AD⊥PC.
(2)解:如图,延长AD与BC的延长线交于点M,连接PM,则平面PDA∩平面PBC=PM.
因为DC∥AB,DC=2,AB=4,所以D是AM的中点.又因为PD=AD,
所以∠APM=90°,
所以AP⊥PM.又因为AD⊥平面PCD,CD 平面PCD,
所以AD⊥DC.又PD⊥DC,PD∩AD=D,PD,AD 平面PDA,
所以CD⊥平面PDA,PM 平面PDA,所以 CD⊥PM,所以AB⊥PM.
又AP∩AB=A,AP,AB 平面PAB,所以 PM⊥平面PAB.
因为PB 平面PAB,所以PM⊥PB,
所以∠APB为平面PAD与平面PBC所成角的平面角.
在Rt△PAD中,因为PD=AD=2,
可得PA=2,
在Rt△PAB中,因为PA=2,AB=4,可得 PB==2,
所以cos∠APB===,
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.
应用创新
14.如图所示,直角三角形ABC所在平面垂直于平面α,一条直角边AC在平面α内,另一条直角边BC长为且∠BAC=.若平面α上存在点P,使得△ABP的面积为,求线段CP长度的最小值.
解:在Rt△ABC中,BC=,∠BAC=,则AB=,又平面ABC⊥平面α,平面ABC∩平面α=AC,AC⊥BC,BC 平面ABC,所以BC⊥平面α,CP 平面α,所以BC⊥CP,得CP==.设∠ABP=θ(0<θ<π),则S△ABP=AB·BPsin θ,即=×·BPsin θ,得BP=,
当sin θ=1即θ=即AB⊥BP时,BP取到最小值1,此时CP取到最小值==.
