6.2 柱、锥、台的体积
学习目标
1.了解柱、锥、台的体积公式及其内在联系,发展数学抽象的核心
素养.
2.能够利用体积公式求柱、锥、台的体积,提升数学运算的核心素养.
知识探究
知识点 柱、锥、台的体积
棱柱的体 积公式 V棱柱=Sh 圆柱的体积公式V圆柱=Sh=πr2h 柱体的底面面积为S,高为h
棱锥的体 积公式 V棱锥=Sh 圆锥的体积公式V圆锥=Sh=πr2h 锥体的底面面积为S,高为h
棱台的体积 公式V棱台= (S上+S下+ )h 圆台的体积 公式V圆台= (S上+S下+ )h 台体的上、下底面面积分别为S上,S下,高为h
[思考] 若圆台的高为h,上、下底面半径分别为r,R,如何求圆台的体积
提示:V=πh(r2+Rr+R2).
(1)关于斜棱柱的两个体积计算公式:
①斜棱柱的体积等于斜棱柱直截面的面积与斜棱柱侧棱长的乘积;
②若三棱柱的一个侧面的面积为S,该侧面所对的一条侧棱到该面的距离为l,则三棱柱的体积为V=Sl.
(2)关于棱锥体积的一个重要结论:在棱锥与该棱锥被平行于底面的平面所截得的小棱锥中,有如下比例关系:=对应线段(高、侧棱长、底面边长等)的立方比.
探究点一 棱柱和圆柱的体积
[例1] (1)已知一个圆柱的侧面积等于表面积的,且其轴截面的周长是16,则该圆柱的体积是( )
A.54π B.36π C.27π D.16π
(2)正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为 .
柱体体积的求法
求柱体体积的关键是求柱体的底面积与高(对于圆柱则是母线,对于直棱柱则是侧棱长),尤其是对于已知条件中含正棱柱的侧面的问题,要明确侧面展开图的矩形的边长与高的关系,若不能确定,则需要分类讨论.
[针对训练]
如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形的边长为 2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.
探究点二 棱锥和圆锥的体积
[例2] (1)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》记载:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,其一为鳖臑.”即一个长方体沿对角面斜解(图①),得到一模一样的两个堑堵(图②),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图②),得一个四棱锥称为“阳马”(图③),一个三棱锥称为“鳖臑”(图④).若长方体的体积为V,由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1,V2,V3,则下列选项正确的是( )
A.V1+V2+V3=V B.V1=2V2
C.V2=3V3 D.V3=V
(2)已知某圆锥的体积为,该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形,则该圆锥的侧面积为 .
锥体体积的求法
(1)求锥体的体积首先应明确锥体的底面,然后求出几何体的底面积与高后直接代入公式求解.
(2)由于四面体的任何一个面都可以作为底面,因此求四面体(三棱锥)的体积只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(3)若所求的锥体是已知体积易求的几何体的一部分,可以根据锥体体积与已知几何体体积的比例关系求解.
(4)若所求几何体的底面积或高不易求解,则可以利用间接法求解,间接法的实质是将待求体积的几何体分割为几个体积易求的几何体或拼接成一个体积易求的几何体,将所求几何体的体积转化为几个体积的和或差.
[针对训练] (1) 如图,圆锥PO的底面直径和高均为4,过PO的中点O′作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,则剩下几何体的体积是( )
A.10π B.
C.2π D.
(2)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥 EACD,FABC,FACE的体积分别为V1,V2,V3,则( )
A.V3=2V2 B.V3=V1
C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1
探究点三 棱台和圆台的体积
[例3] (1)如图是一个圆台的侧面展开图,若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是( )
A. B.
C. D.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65)( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
台体体积的求法
求台体的体积首先要明确台体的高与上、下底面,然后代入公式求解.
其中求解有关量问题应使用解直角三角形的知识,而对于较难求解的台体,若能够还原成锥体,也可以将台体的体积转化为两个锥体的体积之差.
[针对训练] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为( )
A.20+12 B.28
C. D.
(2)已知一个圆台的上、下底面半径之比为1∶2,母线长为2,其母线与底面所成的角为45°,则这个圆台的体积为 .
当堂检测
1.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3,则它的体积为( )
A.2 B.4 C.6 D.12
2.已知圆台上、下底面的半径分别为1和2,高为1,则该圆台的体积为( )
A.2π B. C. D.3π
3.交通锥,又称雪糕筒,是一种圆锥体交通隔离警戒设施.某圆锥体交通锥的高为12,侧面积为65π,则该圆锥体交通锥的体积为( )
A.25π B.75π C.100π D.300π
4.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
柱体的体积 2,9
锥体的体积 1,8,10
台体的体积 3,6,11
体积的综合应用 4,5,7,12,13,14
基础巩固
1.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,长分别为a,b,c,则这个三棱锥的体积为( )
A.abc B.abc C.abc D.abc
2.以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周,所得到的几何体的体积为( )
A.2π B.8π C. D.
3.一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4,体积为28π,则它的表面积为( )
A.41π B.42π
C.29π D.(18+7)π
4.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AB=1,当四棱锥
BA1ACC1体积最大时,直三棱柱ABCA1B1C1的表面积为( )
A.+1 B.+1
C. D.
5.如图,某粮仓简易图(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的,若圆柱的高是圆锥高的2倍,且圆锥的母线长是4,侧面积是4π,则这样一个粮仓的容积为 .
6.若圆台的高是4,母线长为5,侧面积是45π,则圆台的体积是
.
7.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .
8.如图,一张边长为4 cm的正方形纸片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 cm3.
能力提升
9.2021年2月4日,在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的简型玉器,是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空,形状对称,如图所示,圆筒内径长 2 cm,外径长3 cm,筒高4 cm,中部为棱长是3 cm的正方体的一部分,圆筒的外侧面内切于正方体的侧面,则该玉琮的体积为( )
A.(27-) cm3
B.(27-) cm3
C.(27+) cm3
D.(27+) cm3
10.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙,若=2,则等于( )
A. B.2 C. D.
11.(多选题)折扇在我国已有四千年左右的历史.“扇”与“善”同音,折扇也寓意“善良”“善行”(如图(1)).图(2)是一个圆台的侧面展开图(类似折扇的结构简化图),若两个圆弧,所在圆的半径分别是3和12,且 ∠AOD=120°,则该圆台的( )
A.高为6
B.上底面积、侧面积和下底面积之比为16∶14∶1
C.表面积为62π
D.体积为42π
12.我国古代计时器的发明时间不晚于战国时代,其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置.它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图,某沙漏由上、下两个圆锥容器组成,圆锥的底面圆的直径和高均为 8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为 cm.
13.如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2=
.
14.某工厂利用3D打印技术制作一模型.如图,该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上),圆锥底面直径为10 cm,高为10 cm.打印所用原料密度为 1 g/cm3,若不考虑打印损耗,求制作该模型所需原料的质量.(结果保留一位小数)6.2 柱、锥、台的体积
学习目标
1.了解柱、锥、台的体积公式及其内在联系,发展数学抽象的核心
素养.
2.能够利用体积公式求柱、锥、台的体积,提升数学运算的核心素养.
知识探究
知识点 柱、锥、台的体积
棱柱的体 积公式 V棱柱=Sh 圆柱的体积公式V圆柱=Sh=πr2h 柱体的底面面积为S,高为h
棱锥的体 积公式 V棱锥=Sh 圆锥的体积公式V圆锥=Sh=πr2h 锥体的底面面积为S,高为h
棱台的体积 公式V棱台= (S上+S下+ )h 圆台的体积 公式V圆台= (S上+S下+ )h 台体的上、下底面面积分别为S上,S下,高为h
[思考] 若圆台的高为h,上、下底面半径分别为r,R,如何求圆台的体积
提示:V=πh(r2+Rr+R2).
(1)关于斜棱柱的两个体积计算公式:
①斜棱柱的体积等于斜棱柱直截面的面积与斜棱柱侧棱长的乘积;
②若三棱柱的一个侧面的面积为S,该侧面所对的一条侧棱到该面的距离为l,则三棱柱的体积为V=Sl.
(2)关于棱锥体积的一个重要结论:在棱锥与该棱锥被平行于底面的平面所截得的小棱锥中,有如下比例关系:=对应线段(高、侧棱长、底面边长等)的立方比.
探究点一 棱柱和圆柱的体积
[例1] (1)已知一个圆柱的侧面积等于表面积的,且其轴截面的周长是16,则该圆柱的体积是( )
A.54π B.36π C.27π D.16π
(2)正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为 .
解析:(1)设圆柱的底面半径为R,高为h.
因为圆柱的侧面积等于表面积的,且其轴截面的周长是16,
所以解得
所以圆柱的体积为V=πR2h=16π.故选D.
(2)因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,所以有以下两种情况:
当6是下底面的周长,4是正三棱柱的高时,体积V=2×××4=4;
当4是下底面的周长,6是正三棱柱的高时,体积V=×××6=.
答案:(1)D (2)4或
柱体体积的求法
求柱体体积的关键是求柱体的底面积与高(对于圆柱则是母线,对于直棱柱则是侧棱长),尤其是对于已知条件中含正棱柱的侧面的问题,要明确侧面展开图的矩形的边长与高的关系,若不能确定,则需要分类讨论.
[针对训练]
如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形的边长为 2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.
解析:正六棱柱的体积为6××22×2=12(cm3),
圆柱的体积为π×0.52×2=(cm3),
则该六角螺帽毛坯的体积为(12-)cm3.
答案:12-
探究点二 棱锥和圆锥的体积
[例2] (1)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》记载:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,其一为鳖臑.”即一个长方体沿对角面斜解(图①),得到一模一样的两个堑堵(图②),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图②),得一个四棱锥称为“阳马”(图③),一个三棱锥称为“鳖臑”(图④).若长方体的体积为V,由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1,V2,V3,则下列选项正确的是( )
A.V1+V2+V3=V B.V1=2V2
C.V2=3V3 D.V3=V
(2)已知某圆锥的体积为,该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形,则该圆锥的侧面积为 .
解析:(1)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,V=abc,
则V1==abc,V2=abc,V3=×·abc=abc,
故V1+V2+V3=abc=V,V1=V2,V2=2V3,V3=V.故选D.
(2)设圆锥的底面半径为R,母线长为l,高为h,
圆锥的体积V=πR2h=,
化简得R2h=2.
侧面展开图的圆心角α==,化简得l=R,
由勾股定理可得l2=R2+h2 4R2=h2 h=2R,
代入R2h=2得R=1,所以l=R=.
圆锥的侧面积S=πRl=π×1×=π.
答案:(1)D (2)π
锥体体积的求法
(1)求锥体的体积首先应明确锥体的底面,然后求出几何体的底面积与高后直接代入公式求解.
(2)由于四面体的任何一个面都可以作为底面,因此求四面体(三棱锥)的体积只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(3)若所求的锥体是已知体积易求的几何体的一部分,可以根据锥体体积与已知几何体体积的比例关系求解.
(4)若所求几何体的底面积或高不易求解,则可以利用间接法求解,间接法的实质是将待求体积的几何体分割为几个体积易求的几何体或拼接成一个体积易求的几何体,将所求几何体的体积转化为几个体积的和或差.
[针对训练] (1) 如图,圆锥PO的底面直径和高均为4,过PO的中点O′作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,则剩下几何体的体积是( )
A.10π B.
C.2π D.
(2)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥 EACD,FABC,FACE的体积分别为V1,V2,V3,则( )
A.V3=2V2 B.V3=V1
C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1
解析:(1)因为O′为PO的中点,所以挖去圆柱的半径为1,高为2,
剩下几何体的体积为圆锥的体积减去小圆柱的体积,
所以V=×π×22×4-π×12×2=.故选B.
(2)如图,连接BD交AC于点O,
连接OE,OF.
设AB=ED=2FB=2,
则AB=BC=CD=AD=2,FB=1.
因为ED⊥平面ABCD,
FB∥ED,
所以FB⊥平面ABCD,
所以V1==S△ACD·ED
=×AD·CD·ED=××2×2×2=,
V2==S△ABC·FB
=×AB·BC·FB=××2×2×1=.
因为ED⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
所以ED⊥AC.
又AC⊥BD,且ED∩BD=D,ED,BD 平面BDEF,
所以AC⊥平面BDEF.
因为OE,OF 平面BDEF,
所以AC⊥OE,AC⊥OF.
易知AC=BD=AB=2,
OB=OD=BD=,OF==,
OE==,
EF===3,
所以EF2=OE2+OF2,
所以OF⊥OE.又OE∩AC=O,
OE,AC 平面ACE,所以OF⊥平面ACE,
所以V3==S△ACE·OF=
×AC·OE·OF=××2××=2,所以V3≠2V2,V1≠V3,
V3=V1+V2,2V3=3V1,
所以选项A,B不正确,选项C,D正确.故选CD.
探究点三 棱台和圆台的体积
[例3] (1)如图是一个圆台的侧面展开图,若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是( )
A. B.
C. D.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65)( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
解析:(1)如图,设上底面的半径为r,下底面的半径为R,高为h,
母线长为l,
则2πr=π×1,2πR=π×2,
解得r=,R=1,l=2-1=1,h===,
则上底面的面积为S′=π×=,下底面的面积为S=π×12=π,
圆台的体积为(S+S′+)h=×(π++)×=.
故选B.
(2)如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),
所以该棱台的体积V=×9×(140++180)×106
=60×(16+3)×106≈60×(16+3×2.65)×106
=1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.
台体体积的求法
求台体的体积首先要明确台体的高与上、下底面,然后代入公式求解.
其中求解有关量问题应使用解直角三角形的知识,而对于较难求解的台体,若能够还原成锥体,也可以将台体的体积转化为两个锥体的体积之差.
[针对训练] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为( )
A.20+12 B.28
C. D.
(2)已知一个圆台的上、下底面半径之比为1∶2,母线长为2,其母线与底面所成的角为45°,则这个圆台的体积为 .
解析:(1)作出图形,连接该正四棱台上、下底面的中心,如图,
因为该四棱台上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,
所以该棱台的高h==,
下底面面积S1=16,上底面面积S2=4,
所以该棱台的体积V=h(S1+S2+)=××(16+4+)=.故选D.
(2)根据题意,圆台的轴截面是等腰梯形,如图所示,
BC=2,2O1C=O2B,∠CBA=45°,
过点C作CE⊥AB,垂足为E,
所以在Rt△BCE 中,CE=BE=2.
因为圆台的上、下底面半径之比为1∶2,
所以O2B=2O1C=2BE=4,即圆台的上底面半径为2,
下底面半径为4,高为2,
所以圆台的体积为
V=(S上+S下+)h=×(4π+16π+)×2=.
答案:(1)D (2)
当堂检测
1.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3,则它的体积为( B )
A.2 B.4 C.6 D.12
解析:由题意,正四棱锥的底面边长为2,高为3,则底面正方形的面积为S=2×2=4,所以四棱锥的体积为V=Sh=×4×3=4.故选B.
2.已知圆台上、下底面的半径分别为1和2,高为1,则该圆台的体积为( B )
A.2π B. C. D.3π
解析:由题意,设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,
则r=1,R=2,h=1,
则该圆台的体积V=πh(R2+r2+Rr)=π×1×(4+1+2)=.故选B.
3.交通锥,又称雪糕筒,是一种圆锥体交通隔离警戒设施.某圆锥体交通锥的高为12,侧面积为65π,则该圆锥体交通锥的体积为( C )
A.25π B.75π C.100π D.300π
解析:设该圆锥体交通锥的底面半径为r,则πr·=65π,解得r=5,所以该圆锥体交通锥的体积为=100π.故选C.
4.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 .
解析:由于=,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,
所以原正四棱锥的体积为×(4×4)×6=32,
截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3=4,
所以棱台的体积为32-4=28.
答案:28
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
柱体的体积 2,9
锥体的体积 1,8,10
台体的体积 3,6,11
体积的综合应用 4,5,7,12,13,14
基础巩固
1.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,长分别为a,b,c,则这个三棱锥的体积为( B )
A.abc B.abc C.abc D.abc
解析:因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,长分别为a,b,c,所以这个三棱锥的体积为V=Sh=×abc=abc.故选B.
2.以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周,所得到的几何体的体积为( B )
A.2π B.8π C. D.
解析:以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是以2为底面半径,高为2的圆柱,
由圆柱的体积公式得V=π×22×2=8π,
所以所得到的几何体的体积为8π.故选B.
3.一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4,体积为28π,则它的表面积为( B )
A.41π B.42π
C.29π D.(18+7)π
解析:设圆台的高为h,则πh(12+42+1×4)=28π,解得h=4,
所以圆台的母线长为=5,
则圆台的表面积为π(12+42)+π(1+4)×5=42π.故选B.
4.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AB=1,当四棱锥
BA1ACC1体积最大时,直三棱柱ABCA1B1C1的表面积为( C )
A.+1 B.+1
C. D.
解析:由题意,四棱锥BA1ACC1的体积是三棱柱体积的,=AC·BC·AA1=AC·BC≤(AC2+BC2)=AB2=,
当且仅当AC=BC=时,取等号.
所以S=2×××+(++1)×1=.故选C.
5.如图,某粮仓简易图(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的,若圆柱的高是圆锥高的2倍,且圆锥的母线长是4,侧面积是4π,则这样一个粮仓的容积为 .
解析:设圆锥的母线长为l,
底面半径为r,高为h,
所以πrl=4π,解得r=1,h==,
所以圆柱的高为2,
所以这样一个粮仓的容积为×π×12×+π×12×2=π.
答案:π
6.若圆台的高是4,母线长为5,侧面积是45π,则圆台的体积是
.
解析:设上、下底面的半径分别为r,R(R>r),
得R-r=3,即R=3+r,
圆台的侧面积公式S=π(r+R)l=π(r+3+r)l=π(2r+3)·5=45π,
所以r=3,则R=6.
所以圆台的体积为V=πh(R2+Rr+r2)=π×4×(36+18+9)=84π.
答案:84π
7.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .
解析:设新圆锥、圆柱的底面半径为r,
则×πr2×4+πr2×8=×π×52×4+π×22×8,
解得r=.
答案:
8.如图,一张边长为4 cm的正方形纸片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 cm3.
解析:如图(1),设正方形纸片为A1B1C1D1,其内的小正方形为ABCD,做成的正四棱锥为PABCD(如图(2)).设D1C1,AD的中点分别为H,G,连接D1G,DH.
由题意,BD=2 cm,A1D1=4 cm,
由对称性可知DH=1 cm,D1H=2 cm,
所以DD1= cm,所以D1G===(cm).
即在正四棱锥PABCD中,PG= cm.
又OG=AB= cm,
所以PO===2(cm).
所以正四棱锥PABCD的体积为
V=S正方形ABCD·PO=×()2×2=(cm3).
答案:
能力提升
9.2021年2月4日,在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的简型玉器,是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空,形状对称,如图所示,圆筒内径长 2 cm,外径长3 cm,筒高4 cm,中部为棱长是3 cm的正方体的一部分,圆筒的外侧面内切于正方体的侧面,则该玉琮的体积为( B )
A.(27-) cm3
B.(27-) cm3
C.(27+) cm3
D.(27+) cm3
解析:圆筒体积为底面半径 cm,高度为4 cm的圆柱体的体积减去底面半径为1 cm,高度为4 cm的圆柱体的体积,
故其体积V1=π×()2×4-π×12×4=5π(cm3);
中间部分的体积为棱长为3 cm的正方体的体积减去底面半径为 cm,高为3 cm的圆柱体的体积,故其体积V2=27-π×()2×3=(27-) cm3;
故玉琮的体积V=27-+5π=(27-π) cm3.故选B.
10.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙,若=2,则等于( C )
A. B.2 C. D.
解析:法一 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等,所以结合=2可知,甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l=3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则由题意知,两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆,所以 2πr1=4π,2πr2=2π,得r1=2,r2=1.由勾股定理得,
h1==,h2==2,所以 ===.故选C.
法二 设两圆锥的母线长为l,甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,侧面展开图的圆心角分别为n1,n2,则由===2,得==2.由题意知n1+n2=2π,所以n1=,n2=,所以2πr1=l,
2πr2=l,得r1=l,r2=l.
由勾股定理得,h1==l,h2==l,
所以===.故选C.
11.(多选题)折扇在我国已有四千年左右的历史.“扇”与“善”同音,折扇也寓意“善良”“善行”(如图(1)).图(2)是一个圆台的侧面展开图(类似折扇的结构简化图),若两个圆弧,所在圆的半径分别是3和12,且 ∠AOD=120°,则该圆台的( ACD )
A.高为6
B.上底面积、侧面积和下底面积之比为16∶14∶1
C.表面积为62π
D.体积为42π
解析:对于A,设圆台的上底面圆的半径为r,下底面圆的半径为R,
则2πr=×3且2πR=×12,解得r=1,R=4.
由圆台的母线长为l=12-3=9,所以圆台的高为h==6,
所以A正确.
对于B,圆台的上、下底面面积分别为S1=πr2=π×12=π,S2=πR2=π×42=16π,
其侧面积为S=π(r+R)·l=π(1+4)×9=45π,
所以上底面积、侧面积和下底面积之比为1∶45∶16,所以B不正确.
对于C,由B项得,圆台的表面积为π+16π+45π=62π,所以C正确.
对于D,圆台的体积为
V=π(r2+Rr+R2)·h=π(1+4+16)×6=42π,所以D正确.
故选ACD.
12.我国古代计时器的发明时间不晚于战国时代,其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置.它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图,某沙漏由上、下两个圆锥容器组成,圆锥的底面圆的直径和高均为 8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为 cm.
解析:由题意可知,开始时,
沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=×8=(cm),
底面圆的半径r=×4=(cm),
故细沙的体积
V=πr2H=π×()2×=(cm3).
当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4 cm,设高为H′ cm,
则π·42·H′=,
解得H′= cm,
故此圆锥形沙堆的高为 cm.
答案:
13.如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2=
.
解析:设三棱柱的底面△ABC的面积为S,高为h,则其体积V2=Sh.
因为D,E分别为AB,AC的中点,所以△ADE的面积等于S.
又因为F为AA1的中点,所以F到底面ABC的距离是A1到底面ABC距离h的一半,即为h.
所以三棱锥FADE的体积V1=×S×h=Sh=V2,
则V1∶V2=1∶24=.
答案:
14.某工厂利用3D打印技术制作一模型.如图,该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上),圆锥底面直径为10 cm,高为10 cm.打印所用原料密度为 1 g/cm3,若不考虑打印损耗,求制作该模型所需原料的质量.(结果保留一位小数)
解:几何体的轴截面图如图所示,
设正方体的棱长为a cm,则=,
解得a=5,
所以该模型的体积V=π×(5)2×10-53=-125≈398.33(cm3).
所以制作该模型所需原料的质量为398.33×1≈398.3(g).
