§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
学习目标
1.了解柱、锥、台的侧面展开图及其内在联系,发展直观想象的核心素养.
2.利用柱、锥、台的有关面积公式求侧面积与表面积,提升数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与面积
几何体 侧面展开图 侧面积 表面积公式
圆柱 S圆柱侧=2πrl,r为底面半径,l为母线长 S圆柱=2πr(r+l),r为底面半径,l为母线长
圆锥 S圆锥侧=πrl,r为底面半径,l为母线长 S圆锥=πr(r+l),r为底面半径,l为母线长
圆台 S圆台侧=π(r1+r2)l,r1为上底面半径,r2为下底面半径,l为母线长 S圆台=π(++r1l+r2l),r1为上底面半径,r2为下底面半径,l为母线长
知识点2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开与面积
几何体 侧面展开图 侧面积 表面积公式
直棱柱 S直棱柱侧=ch,c为底面周长,h为棱柱的高 S表=S侧+S底
正棱锥 S正棱锥侧=ch′,c为底面周长,h′为棱锥的斜高 S表=S侧+S底
正棱台 S正棱台侧=(c1+c2)h′,c1,c2分别为上、下底面周长,h′为棱台的斜高 S表=S侧+S上+S下
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图:棱柱的侧面展开图是由多个平行四边形组成的平面图形,棱锥的侧面展开图是由多个三角形组成的平面图形,棱台的侧面展开图是由多个梯形组成的平面图形.
(2)关于棱锥侧面积的一个重要结论:在棱锥与该棱锥被平行于底面的平面所截得的小棱锥中,有如下比例关系:===对应线段(高、侧棱长、底面边长等)的平方比.
(3)斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积.
探究点一 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与面积
[例1] (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的侧面积与表面积之比为( )
A.2π∶(1+2π) B.π∶(1+π)
C.2π∶(1+π) D.π∶(1+2π)
(2)某圆锥的侧面积为8π,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的底面半径长为( )
A.2 B.4 C.2 D.4
(3)某圆台的侧面积是上、下两底面积之差绝对值的2倍,则其母线与底面的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
求旋转体侧面积及表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素,因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键.
(2)对于圆台问题,要重视“还台为锥”的思想方法.
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长,而求解这些未知量常常需要列方程.
[针对训练] (1)已知圆柱的底面直径和高均为2,则该圆柱的表面积为( )
A.4π B.6π C.8π D.16π
(2)已知圆锥的侧面积是底面积的倍,则母线与底面所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
(3)已知圆台的上、下底面中心分别为O1,O2,过直线O1O2的截面是上、下底边边长分别为2和4,且高为的等腰梯形,则该圆台的侧面积为( )
A.3π B.3π C.6π D.6π
探究点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面
展开与面积
[例2] (1)已知长方体所有棱的长度之和为28,一条对角线的长度为,则该长方体的表面积为( )
A.32 B.20 C.16 D.12
(2)(多选题)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,若
θ=30°,侧棱长为,则( )
A.正四棱锥的底面边长为6
B.正四棱锥的底面边长为3
C.正四棱锥的侧面积为24
D.正四棱锥的侧面积为12
(3)已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,则其表面积为( )
A.3 B.12+20
C.12+20 D.48
求棱柱、棱锥和棱台的表面积与侧面积,要明确各面的形状,正确利用平面图形的面积公式,有关的量经常归纳到直角三角形中以利用勾股定理,未知量较多时需要列出有关的方程或方程组.
[针对训练] (1)六棱柱的底面是边长为2的正六边形,侧面是矩形,侧棱长为4,则其表面积等于( )
A.12+12 B.48+12
C.64+6 D.72+6
(2)正四棱台的上、下底面边长分别是方程x2-9x+18=0的两根,其侧面积等于两底面面积之和,则其侧面梯形的高为 .
探究点三 不规则多面体的表面积
[例3]
我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”,是底面为矩形且顶部只有一条棱的五面体.如图,五面体ABCDEF是一个刍甍.四边形ABCD为矩形,△ADE与△BCF都是等边三角形,AB=4,AD=EF=2,则此“刍甍”的表面积为( )
A.8+8 B.8+7
C.8+5 D.8+4
求不规则多面体的表面积问题,根据图形特征将多面体分割为可以求解的规则的多面体,将不规则多面体的表面积转化为规则的多面体的表面积的和(求解时要注意重复部分的面积).
[针对训练] (多选题)已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4,以这个直角三角形的一条边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体,这个几何体的表面积可以是( )
A.21π B.24π C.36π D.
当堂检测
1.若圆台的上、下底面半径分别是1和3,它的侧面积是两底面面积和的2倍,则圆台的母线长是( )
A.2 B.2.5 C.5 D.10
2.各棱长均为a的三棱锥的表面积为( )
A.4a2 B.3a2 C.a2 D.2a2
3.已知圆锥的母线长为2,轴截面面积为,则圆锥的侧面积为( )
A.π B.π或2π
C.2π D.2π或2π
4.正三棱锥的底面边长为a,高为a,则此棱锥的表面积为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
旋转体的面积 1,2,4,7,11
多面体的面积 3,5,6,8,9,12
柱、锥、台面积的综合 10,13,14
基础巩固
1.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为10,圆台的侧面积为160π,则圆台较小底面的半径为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.某圆锥高为,母线与底面的夹角为,则该圆锥的表面积为( )
A.3π B.4π C.5π D.6π
3.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,侧棱长是6,则它的表面积为( )
A.90+72 B.90+27
C.90+72 D.90+27
4.已知梯形ABCO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形
A′B′C′O′,且A′B′=1,O′A′=2,O′C′=4,现将梯形 ABCO绕 OA旋转一周得到一个几何体,则该几何体的侧面积为( )
A.15π B.18π C.25π D.28π
5.如图(1)所示,已知正方体的面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块,拼成如图(2)所示的几何体,那么此几何体的表面积为( )
A.(1+2)a2 B.(2+)a2
C.(3+2)a2 D.(4+2)a2
6.已知正三棱锥PABC的底面边长为6,PA所在直线与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥的侧面积为 .
7.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为6 m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积为 m2.
8.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为 .
能力提升
9.已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为( )
A.4 B. C.2 D.4
10.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( )
A. B.2 C. D.
11.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开,得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥的轴截面的面积S= .
12.我国有一种容器叫作方斗,方斗的形状是一个上大下小的正四棱台.如果一个方斗的高为3 dm(即该方斗上、下底面的距离为3 dm),上底边长为6 dm,下底边长为4 dm,则此方斗外表面的侧面积为
dm2.(容器厚度忽略不计)
13.圆台的母线长为8 cm,母线与底面成60°角,轴截面的两条对角线互相垂直,求圆台的表面积.
14.如图,已知圆锥的顶点为P,母线PA,PB所成角的余弦值为,轴截面等腰三角形PAC的顶角为90°.若△PAB的面积为2.
(1)求该圆锥的侧面积;
(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值.§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
学习目标
1.了解柱、锥、台的侧面展开图及其内在联系,发展直观想象的核心素养.
2.利用柱、锥、台的有关面积公式求侧面积与表面积,提升数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与面积
几何体 侧面展开图 侧面积 表面积公式
圆柱 S圆柱侧=2πrl,r为底面半径,l为母线长 S圆柱=2πr(r+l),r为底面半径,l为母线长
圆锥 S圆锥侧=πrl,r为底面半径,l为母线长 S圆锥=πr(r+l),r为底面半径,l为母线长
圆台 S圆台侧=π(r1+r2)l,r1为上底面半径,r2为下底面半径,l为母线长 S圆台=π(++r1l+r2l),r1为上底面半径,r2为下底面半径,l为母线长
知识点2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开与面积
几何体 侧面展开图 侧面积 表面积公式
直棱柱 S直棱柱侧=ch,c为底面周长,h为棱柱的高 S表=S侧+S底
正棱锥 S正棱锥侧=ch′,c为底面周长,h′为棱锥的斜高 S表=S侧+S底
正棱台 S正棱台侧=(c1+c2)h′,c1,c2分别为上、下底面周长,h′为棱台的斜高 S表=S侧+S上+S下
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图:棱柱的侧面展开图是由多个平行四边形组成的平面图形,棱锥的侧面展开图是由多个三角形组成的平面图形,棱台的侧面展开图是由多个梯形组成的平面图形.
(2)关于棱锥侧面积的一个重要结论:在棱锥与该棱锥被平行于底面的平面所截得的小棱锥中,有如下比例关系:===对应线段(高、侧棱长、底面边长等)的平方比.
(3)斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积.
探究点一 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与面积
[例1] (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的侧面积与表面积之比为( )
A.2π∶(1+2π) B.π∶(1+π)
C.2π∶(1+π) D.π∶(1+2π)
(2)某圆锥的侧面积为8π,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的底面半径长为( )
A.2 B.4 C.2 D.4
(3)某圆台的侧面积是上、下两底面积之差绝对值的2倍,则其母线与底面的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析:(1)设圆柱底面半径为r,高为h,则2πr=h,
====.故选A.
(2)设圆锥的母线长为l,底面半径为r,由圆锥的性质可得侧面展开图的半径为l,弧长为πl,又圆锥的底面周长为2πr,所以2πr=πl l=2r,又πl2=8π l=4,所以r=2,即圆锥的底面半径长为2.
故选A.
(3)设圆台上、下底面圆的半径分别为r,R(R>r),母线长为l,
由题意知,2π(R2-r2)=πl(R+r),
即2(R-r)=l,
所以圆台的母线与底面的夹角的余弦值为
cos θ==,解得θ=60°.故选C.
求旋转体侧面积及表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素,因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键.
(2)对于圆台问题,要重视“还台为锥”的思想方法.
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长,而求解这些未知量常常需要列方程.
[针对训练] (1)已知圆柱的底面直径和高均为2,则该圆柱的表面积为( )
A.4π B.6π C.8π D.16π
(2)已知圆锥的侧面积是底面积的倍,则母线与底面所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
(3)已知圆台的上、下底面中心分别为O1,O2,过直线O1O2的截面是上、下底边边长分别为2和4,且高为的等腰梯形,则该圆台的侧面积为( )
A.3π B.3π C.6π D.6π
解析:(1)依题意圆柱的底面半径r=1,高h=2,所以圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=2π×12+2π×1×2=6π.故选B.
(2)设圆锥的母线长为l,底面半径为r,母线与底面所成的角为θ,因为圆锥的侧面积是底面积的倍,则πrl=πr2,可得l=r,所以cos θ==,则θ=45°,因此,母线与底面所成的角为45°.故选B.
(3)设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,高为h,母线长为l,由题意,r1=1,r2=2,且截面等腰梯形的腰是该圆台的母线,则母线长l===2,则该圆台的侧面积S侧=π(r1+r2)l=6π.故选C.
探究点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面
展开与面积
[例2] (1)已知长方体所有棱的长度之和为28,一条对角线的长度为,则该长方体的表面积为( )
A.32 B.20 C.16 D.12
(2)(多选题)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,若
θ=30°,侧棱长为,则( )
A.正四棱锥的底面边长为6
B.正四棱锥的底面边长为3
C.正四棱锥的侧面积为24
D.正四棱锥的侧面积为12
(3)已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,则其表面积为( )
A.3 B.12+20
C.12+20 D.48
解析:(1)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,
则所以ab+bc+ac=16,
所以该长方体的表面积为32.故选A.
(2)如图,在正四棱锥SABCD中,O为正方形ABCD的中心,H为AB的中点,则SH⊥AB.设底面边长为2a(a>0),则OH=a.因为∠SHO=30°,所以OS=a,SH=a.在Rt△SAH中,a2+(a)2=21,所以a=3,底面边长为6,侧面积为S=×6×2×4=24.故选AC.
(3)如图,作B1H⊥平面ABCD,B1Q⊥BC,垂足分别为H,Q,连接HQ.
由题可知,HQ=1,B1H=3,所以B1Q==,所以表面积S=22+42+4××(2+4)×=20+12.故选B.
求棱柱、棱锥和棱台的表面积与侧面积,要明确各面的形状,正确利用平面图形的面积公式,有关的量经常归纳到直角三角形中以利用勾股定理,未知量较多时需要列出有关的方程或方程组.
[针对训练] (1)六棱柱的底面是边长为2的正六边形,侧面是矩形,侧棱长为4,则其表面积等于( )
A.12+12 B.48+12
C.64+6 D.72+6
(2)正四棱台的上、下底面边长分别是方程x2-9x+18=0的两根,其侧面积等于两底面面积之和,则其侧面梯形的高为 .
解析:(1)由题意,侧面积为6×2×4=48,
底面积为2×6××2×2×sin 60°=12,
所以六棱柱的表面积等于48+12.
故选B.
(2)解方程x2-9x+18=0得x=3或x=6,
所以正四棱台的上、下底面边长分别为3,6.
设棱台的斜高为h,则4××(3+6)h=32+62=45,所以h=.
答案:(1)B (2)
探究点三 不规则多面体的表面积
[例3]
我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”,是底面为矩形且顶部只有一条棱的五面体.如图,五面体ABCDEF是一个刍甍.四边形ABCD为矩形,△ADE与△BCF都是等边三角形,AB=4,AD=EF=2,则此“刍甍”的表面积为( )
A.8+8 B.8+7
C.8+5 D.8+4
解析:如图所示,过F作FO⊥平面ABCD,垂足为O,
取BC的中点P,连接OP,PF,过F作FQ⊥AB,垂足为Q,连接OQ,
则多面体各侧面斜高均为,
S表面积=×2××2+×2+2×4=2+6+8=8+8.故选A.
求不规则多面体的表面积问题,根据图形特征将多面体分割为可以求解的规则的多面体,将不规则多面体的表面积转化为规则的多面体的表面积的和(求解时要注意重复部分的面积).
[针对训练] (多选题)已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4,以这个直角三角形的一条边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体,这个几何体的表面积可以是( )
A.21π B.24π C.36π D.
解析:设直角三角形ABC中,AB=4,BC=3,则AC=5,BD==.
①当以AB所在直线为轴时,其余各边旋转一周形成的曲面围成一个圆锥,
则表面积为π×32+π×3×5=24π;
②当以BC所在直线为轴时,其余各边旋转一周形成的曲面围成一个圆锥,
则表面积为π×42+π×4×5=36π;
③当以AC所在直线为轴时,其余各边旋转一周形成的曲面围成2个共底面的圆锥,
则表面积为π××4+π××3=π.故选BCD.
当堂检测
1.若圆台的上、下底面半径分别是1和3,它的侧面积是两底面面积和的2倍,则圆台的母线长是( C )
A.2 B.2.5 C.5 D.10
解析:设母线长为l,
则侧面积为S=π×(1+3)·l=4πl,
因为侧面积是两底面面积和的2倍,
所以2×(π×12+π×32)=4πl,所以l=5.故选C.
2.各棱长均为a的三棱锥的表面积为( C )
A.4a2 B.3a2 C.a2 D.2a2
解析:由题意可知该三棱锥是正四面体,各个三角形的边长均为a,三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积和,即4×a2=a2.故选C.
3.已知圆锥的母线长为2,轴截面面积为,则圆锥的侧面积为( D )
A.π B.π或2π
C.2π D.2π或2π
解析:已知圆锥的母线长l=2,设圆锥的底面半径为r,高为h,
由已知得解得或
由于圆锥的侧面积为S=×2πr×l=2πr,所以S=2π或S=2π.故选D.
4.正三棱锥的底面边长为a,高为a,则此棱锥的表面积为 .
解析:如图,
在三棱锥SABC中,
AB=a,SO=a,于是OD=AB·sin 60°=a,
从而SD==,
故三棱锥的表面积S=3×·a·+·a·a=a2.
答案:a2
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
旋转体的面积 1,2,4,7,11
多面体的面积 3,5,6,8,9,12
柱、锥、台面积的综合 10,13,14
基础巩固
1.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为10,圆台的侧面积为160π,则圆台较小底面的半径为( D )
A.7 B.6 C.5 D.4
解析:设圆台的底面半径分别为r,3r,
则π(r+3r)·10=160π,解得r=4.故选D.
2.某圆锥高为,母线与底面的夹角为,则该圆锥的表面积为( A )
A.3π B.4π C.5π D.6π
解析:由圆锥高为,母线与底面的夹角为,
得圆锥底面圆半径r==1,母线l==2,
所以圆锥的表面积S=πr2+πrl=3π.故选A.
3.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,侧棱长是6,则它的表面积为( A )
A.90+72 B.90+27
C.90+72 D.90+27
解析:如图,由题意可得,上底面的面积为9,下底面的面积为81,
侧面的高为=3,
所以该正四棱台的表面积为9+81+4×=90+72.故选A.
4.已知梯形ABCO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形
A′B′C′O′,且A′B′=1,O′A′=2,O′C′=4,现将梯形 ABCO绕 OA旋转一周得到一个几何体,则该几何体的侧面积为( C )
A.15π B.18π C.25π D.28π
解析:由题意将梯形A′B′C′O′复原为原图,即直角梯形ABCO,
其中AB=1,OA=4,OC=4,则BC==5,
故将梯形ABCO绕OA旋转一周得到一个几何体为圆台,
圆台上底面半径为1,下底面半径为4,高为4,母线长为5,
故该几何体的侧面积为π(1+4)×5=25π.故选C.
5.如图(1)所示,已知正方体的面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块,拼成如图(2)所示的几何体,那么此几何体的表面积为( D )
A.(1+2)a2 B.(2+)a2
C.(3+2)a2 D.(4+2)a2
解析:因为正方体的面对角线长为a,则其棱长为a,题图(2)所示的几何体是平行六面体,上下,左右,前后两两的面积分别相等,上、下底面是长和宽分别为a和a的矩形,其面积均为a·a=a2,
前、后两个面是两个全等的等腰直角三角形拼成的平行四边形,其面积均为2×·a·a=a2,
左、右两个面是边长为a的正方形,其面积均为a·a=a2,
则此几何体的表面积为2(a2+a2+a2)=(4+2)a2.故选D.
6.已知正三棱锥PABC的底面边长为6,PA所在直线与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥的侧面积为 .
解析:如图,作AD⊥BC于点D,因为PABC为正三棱锥,所以D为BC的中点,连接PD,则PD⊥BC,
过P作PO⊥平面ABC,则点O为正三角形的中心,点O在AD上,
所以∠PAO=60°,正三角形的边长为6.
则AD==3,AO=AD=2,DO=,PO=AO·tan 60°=6,
斜高PD==,
三棱锥的侧面积为S=3××6×=9.
答案:9
7.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为6 m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积为 m2.
解析:如图所示为该圆锥轴截面,
由题意,底面圆半径r=3,母线l==2,
所以侧面积πrl=π×3×2=6π(m2).
答案:6π
8.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为 .
解析:如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体对角线A1C=15,B1D=9,
所以a2+52=152,b2+52=92,
所以a2=200,b2=56.
因为该直四棱柱的底面是菱形,
所以AB2=()2+===64,所以AB=8.
所以直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
答案:160
能力提升
9.已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为( B )
A.4 B. C.2 D.4
解析:设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,
则
由②得x+y+z=9,x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=81,
得=.故选B.
10.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( B )
A. B.2 C. D.
解析:所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1,高为的四棱锥的侧面积之和,如图所示.
四棱锥的侧棱长l==1,
所以以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S=8××1×1×sin 60°=2.
故选B.
11.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开,得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥的轴截面的面积S= .
解析:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,
得解得l=9,r=3,
所以圆锥的高为h===6,
轴截面面积为S=×2×3×6=18.
答案:18
12.我国有一种容器叫作方斗,方斗的形状是一个上大下小的正四棱台.如果一个方斗的高为3 dm(即该方斗上、下底面的距离为3 dm),上底边长为6 dm,下底边长为4 dm,则此方斗外表面的侧面积为
dm2.(容器厚度忽略不计)
解析:方斗大致图形如图所示,
设点O,O1分别为上、下底面的中心,M,N分别为AD,A1D1的中点,则MN为等腰梯形A1D1DA的高.根据题意可知MO=3 dm,NO1=2 dm,OO1=3 dm,则MN== (dm),
所以此方斗的侧面等腰梯形ADD1A1的高为 dm.所以此方斗外表面的侧面积为4×=20(dm2).
答案:20
13.圆台的母线长为8 cm,母线与底面成60°角,轴截面的两条对角线互相垂直,求圆台的表面积.
解:圆台的轴截面ABB1A1如图所示,
其中∠A1AB=60°,
过点A1作A1H⊥AB于点H,
则O1O=A1H=A1A·sin 60°=4 cm,
AH=A1A·cos 60°=4 cm.
设O1A1=r1 cm,OA=r2 cm,
则r2-r1=AH=4.①
设A1B与AB1的交点为M,
则A1M=B1M.
又因为A1B⊥AB1,
所以∠A1MO1=∠B1MO1=45°.
所以O1M=O1A1=r1.
同理OM=OA=r2.
所以O1O=O1M+OM=r1+r2=4,②
由①②可得r1=2(-1),
r2=2(+1).
所以S表=π+π+π(r1+r2)×8=
32(1+)π(cm2).
14.如图,已知圆锥的顶点为P,母线PA,PB所成角的余弦值为,轴截面等腰三角形PAC的顶角为90°.若△PAB的面积为2.
(1)求该圆锥的侧面积;
(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值.
解:(1)设圆锥母线长、底面半径分别为l(l>0),r(r>0),
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°,则 l2+l2=(2r)2,
解得l=r.
又cos∠APB=,所以sin∠APB===.
又因为△PAB的面积为2,
所以S△PAB=PA·PB·sin ∠APB=l2×=2,解得l=4(负值舍去).
又l=r,所以r=2,
所以圆锥的侧面积S=×2πr×l=π×2×4=8π.
(2)作出轴截面如图所示,由(1)可知∠CPO=45°,
则圆锥的高PO=AO=2,设圆柱底面半径为x(0即OF=O1G=PO1=x,
所以OO1=PO-PO1=2-x,即圆柱的高为 2-x,所以圆锥内接圆柱的侧面积S1=2πx(2-x)≤2π[]2=4π,
当且仅当x=2-x,即x=时取等号,
所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为4π.
