6.3 球的表面积和体积
学习目标
1.通过球的结构和性质的学习,发展数学抽象的核心素养.
2.掌握球的表面积和体积公式,提升数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 球的截面和切线
(1)球的截面.
用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的截线是圆,有以下
性质:
①若平面α经过球心O,则截线是以球心O为圆心,半径为R的圆.
②若平面α不经过球心O,如图,设OO′⊥α,垂足为O′,记OO′=d,
对于平面与球面的任意一个公共点P,都满足OO′⊥O′P,
所以O′P=,此时截线是以点O′为圆心,以r=为半径的圆.
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
(2)球的切线.
当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的切点.
球的切线的性质:
①球的切线垂直于过切点的半径;
②过球外一点的所有切线的切线长都相等.
知识点2 球的表面积与体积
若球的半径是R,则球的表面积S球面=4πR2,球的体积V球=πR3.
与球有关的切、接问题的常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R.
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
探究点一 球的截面
[例1] 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则该球的半径为( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在平面,球的切线垂直于过切点的半径,求解球的截面与切线问题要充分利用这些垂直关系,进一步转化为直线与圆的位置关系问题.
[针对训练] (1)已知球O的半径为2,球心到平面α的距离为1,则球O被平面α截得的截面面积为( )
A.2π B.3π C.π D.π
(2)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为( )
A.64π B.48π C.36π D.32π
探究点二 球的表面积与体积
[例2] 已知一个底面内口直径为2 cm的圆柱体玻璃杯中盛有高为2 cm的水,向该杯中放入一个半径为r cm(r≥)的实心冰球和一个半径为(r+1) cm 的实心钢球,待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中(实心钢球与杯中水面、杯底均相切).若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计,则实心钢球的表面积为( )
A.10π cm2 B.12π cm2 C.14π cm2 D.16π cm2
球的表面积公式和体积公式揭示出球的表面积和体积只与球的半径有关,因此,在解决此类问题时,要充分利用球的半径表示出有关量,找出量与量之间的关系.
[针对训练] (1)已知球O的表面积为12π,则它的体积为( )
A.4π B.4 C.8π D.8
(2)两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为
.
学海拾贝
球的组合体问题
求解与球有关的组合体问题,关键是根据组合体的特征求出球的半径,而求半径需要确定球心,确定球心的主要方法是利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,结合球的截面性质求半径.
[典例探究] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.100π B.128π C.144π D.192π
(2)蹴鞠,又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等,蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义,鞠最早系外包皮革、内实米糠的球,因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似于今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠(球)的表面上有四个点A,B,C,P,且球心O在PC上,AC=BC=4,AC⊥BC,tan ∠PAB=tan ∠PBA=,则该鞠(球)的表面积为( )
A.36π B.18π C.64π D.16π
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)确定球心的方法:在空间中,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的
球心.
由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球球心的几个结论.
结论1:正方体或长方体的外接球的球心是对角线的中点.
结论2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的连线的中点.
结论3:直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的连线的中点.
结论4:正棱锥的外接球的球心在其高上.
[应用探究] (1)我国古代数学名著《九章算术》,将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知 AB=BC=2,AA1=3.“阳马”D1ABCD的外接球的表面积为( )
A.13π B.15π C.17π D.19π
(2)已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上,平面ABC⊥平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD,则球O的表面积为( )
A. B.8π C. D.12π
当堂检测
1.一个球的体积为36π,则此球的半径是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.长、宽、高分别为2,,的长方体的外接球的表面积为( )
A.4π B.12π C.24π D.48π
3.棱长为4的正方体的内切球的表面积为( )
A.4π B.12π C.16π D.20π
4.两个半径为1的铁球,熔化后铸成一个大球,则这个大球的半径为( )
A. B. C.2 D.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
球的截面性质 3,5,7,9
球的表面积与体积 1,2,8,13
球的组合体 4,6,10,11,12,14,15
基础巩固
1.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的( )
A.2倍 B.2倍 C.倍 D.倍
2.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为 4.5 cm 的半球形的冰淇淋,若冰淇淋融化后正好盛满杯子,则杯子的高h等于( )
A.9 B.6
C.3 D.4.5
3.一个球面上有三个点A,B,C,若AB=AC=2,BC=2,球心到平面ABC的距离为1,则球的表面积为( )
A.3π B.4π C.8π D.12π
4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则该圆柱的外接球的体积为( )
A. B.
C. D.
5.红灯笼起源于中国的西汉时期.两千多年来,每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼,营造一种喜庆的氛围.如图(1),某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图(2),球冠是球面被平面截得的一部分,垂直于截面的直径被截得的部分叫作球冠的高,若球冠所在球面的半径为R,球冠的高为h,则球冠的面积S=2πRh.如图(1),已知该灯笼的高为58 cm,圆柱的高为5 cm,圆柱的底面圆直径为14 cm,则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为( )
A.1 940π cm2 B.2 350π cm2
C.2 400π cm2 D.2 540π cm2
6.已知三棱锥VABC,满足VA=BC=3,VB=VC=AC=AB=5,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.17π B.18π C.34π D.36π
7.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则截面圆的半径为 ,球的直径为 .
8.已知圆锥的高为3,它的底面半径为,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积等于 .
能力提升
9.某同学在参加实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为2π,则该球的表面积为( )
A.20π B.16π C.12π D.8π
10.在圆台O1O2中,圆O2的半径是圆O1半径的2倍,且O2恰为该圆台外接球的球心,则圆台的侧面积与外接球的表面积之比为( )
A.3∶4 B.1∶2 C.3∶8 D.3∶10
11.如图为一个圆锥形的金属配件,重90 g,其轴截面是一个等边三角形,现将其打磨成一个体积最大的球形配件,则该球形配件的质量为
g.
12.已知三棱锥ABCD,AB=AC=AD=2,BC=BD=CD=3,则三棱锥ABCD的外接球表面积为 .
13.如图是某种水箱用的“浮球”,它是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的半径是2 cm,圆柱筒的高是2 cm.
(1)求这种“浮球”的体积.
(2)现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆,每平方厘米需要花费防水漆2元,共需花费多少钱
14.正三棱锥的高为1,底面边长为2,内有一个球与它的四个面都相切,求:
(1)棱锥的表面积.
(2)内切球的表面积与体积.
应用创新
15.如图,在水平放置的直径与高相等的圆柱内,放入两个半径相等的小球(球A和球B),圆柱的底面直径为2+,向圆柱内注满水,水面刚好淹没小球B.
(1)求球A的体积.
(2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比.6.3 球的表面积和体积
学习目标
1.通过球的结构和性质的学习,发展数学抽象的核心素养.
2.掌握球的表面积和体积公式,提升数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 球的截面和切线
(1)球的截面.
用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的截线是圆,有以下
性质:
①若平面α经过球心O,则截线是以球心O为圆心,半径为R的圆.
②若平面α不经过球心O,如图,设OO′⊥α,垂足为O′,记OO′=d,
对于平面与球面的任意一个公共点P,都满足OO′⊥O′P,
所以O′P=,此时截线是以点O′为圆心,以r=为半径的圆.
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
(2)球的切线.
当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的切点.
球的切线的性质:
①球的切线垂直于过切点的半径;
②过球外一点的所有切线的切线长都相等.
知识点2 球的表面积与体积
若球的半径是R,则球的表面积S球面=4πR2,球的体积V球=πR3.
与球有关的切、接问题的常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R.
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
探究点一 球的截面
[例1] 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则该球的半径为( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
解析:作出球的一个大圆与球和水面接触部分的截面图,如图所示,
由题意可知AB的长度等于正方体棱长,记AB的中点为M,
则MB=4 cm.
因为球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,所以MD=8-6=2(cm),设球的半径为R cm,则CM=(R-2)cm,CB=R cm.
所以在Rt△BCM中,R2=(R-2)2+42,解得R=5.故选A.
球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在平面,球的切线垂直于过切点的半径,求解球的截面与切线问题要充分利用这些垂直关系,进一步转化为直线与圆的位置关系问题.
[针对训练] (1)已知球O的半径为2,球心到平面α的距离为1,则球O被平面α截得的截面面积为( )
A.2π B.3π C.π D.π
(2)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为( )
A.64π B.48π C.36π D.32π
解析:(1)由球的性质可知,截面圆的半径为=,所以截面的面积S=π×()2=3π.故选B.
(2)设圆O1半径为r,球的半径为R,依题意,得πr2=4π,所以r=2,因为△ABC为等边三角形,
由正弦定理可得AB=2rsin 60°=2,所以OO1=AB=2,根据球的截面性质OO1⊥平面ABC,
所以OO1⊥O1A,R=OA===4,所以球O的表面积S=4πR2=64π.故选A.
探究点二 球的表面积与体积
[例2] 已知一个底面内口直径为2 cm的圆柱体玻璃杯中盛有高为2 cm的水,向该杯中放入一个半径为r cm(r≥)的实心冰球和一个半径为(r+1) cm 的实心钢球,待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中(实心钢球与杯中水面、杯底均相切).若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计,则实心钢球的表面积为( )
A.10π cm2 B.12π cm2 C.14π cm2 D.16π cm2
解析:由题意可得,实心冰球融化前后体积不变,
则有π×()2×2+πr3+π(r+1)3=π×()2×2(r+1),
化简可得2r3+3r2-6r+1=0,
即(r-1)(2r2+5r-1)=0(r≥),2r2+5r-1>0,解得r=1,
所以钢球的表面积为S=4π(r+1)2=4π×4=16π(cm2).故选D.
球的表面积公式和体积公式揭示出球的表面积和体积只与球的半径有关,因此,在解决此类问题时,要充分利用球的半径表示出有关量,找出量与量之间的关系.
[针对训练] (1)已知球O的表面积为12π,则它的体积为( )
A.4π B.4 C.8π D.8
(2)两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为
.
解析:(1)球O的表面积为12π,设球O的半径为R,则有4πR2=12π,解得R=,
所以球O的体积为V=R3=×()3=4π.故选A.
(2)设大、小两球的半径分别为R,r,
则所以
所以体积和为πR3+πr3=.
答案:(1)A (2)
学海拾贝
球的组合体问题
求解与球有关的组合体问题,关键是根据组合体的特征求出球的半径,而求半径需要确定球心,确定球心的主要方法是利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,结合球的截面性质求半径.
[典例探究] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.100π B.128π C.144π D.192π
(2)蹴鞠,又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等,蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义,鞠最早系外包皮革、内实米糠的球,因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似于今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠(球)的表面上有四个点A,B,C,P,且球心O在PC上,AC=BC=4,AC⊥BC,tan ∠PAB=tan ∠PBA=,则该鞠(球)的表面积为( )
A.36π B.18π C.64π D.16π
解析:(1)由题意,得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3=3,××4=4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1,O2,连接O1O2(图略),则O1O2=1,其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R,当球心O在线段O1O2上时,
R2=32+O=42+(1-OO1)2,解得OO1=4(舍去);
当球心O不在线段O1O2上时,R2=42+O=32+(1+OO2)2,解得OO2=3,
所以R2=25,所以该球的表面积为4πR2=100π.故选A.
(2)如图,取AB的中点M,连接MP.
由AC=BC=4,AC⊥BC,
得AB=4.
因为tan∠PAB=tan∠PBA=,所以PA=PB.又M为AB的中点,故PM⊥AB,得MP=2×=2.
如图,连接CM并延长,交球O于点H,连接PH.
因为PC为球O的直径,设球的半径为R,
则PH⊥CH,MH=CH=AB=2,
则PH===2,
所以(2R)2=PC2=CH2+PH2=(4)2+4=36,
解得R=3,该鞠(球)的表面积为4πR2=36π.故选A.
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)确定球心的方法:在空间中,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的
球心.
由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球球心的几个结论.
结论1:正方体或长方体的外接球的球心是对角线的中点.
结论2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的连线的中点.
结论3:直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的连线的中点.
结论4:正棱锥的外接球的球心在其高上.
[应用探究] (1)我国古代数学名著《九章算术》,将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知 AB=BC=2,AA1=3.“阳马”D1ABCD的外接球的表面积为( )
A.13π B.15π C.17π D.19π
(2)已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上,平面ABC⊥平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD,则球O的表面积为( )
A. B.8π C. D.12π
解析:(1)长方体的外接球即为四棱锥D1ABCD的外接球,因为AB=BC=
2,AA1=3,所以长方体的对角线长为=,则长方体的外接球的半径R=,该“阳马”外接球的表面积为S=4πR2=4π×()2=
17π.故选C.
(2)如图,取BC的中点为E,BD的中点为F,所以F为△BCD的外心,
连接AE,EF.设△ABC的外心为G,因为AB=BC=AC=2,
即△ABC为等边三角形,
所以点G在AE上,且设球心为O,连接OG,OF,
则OG⊥平面ABC,OF⊥平面BCD,
因为平面ABC⊥平面BCD,所以OG⊥OF.因为△ABC为等边三角形,
E为BC的中点,所以 AE⊥BC.因为平面ABC⊥平面BCD,
平面ABC∩平面BCD=BC,AE 平面ABC,
所以AE⊥平面BCD,则AE∥OF.又EF 平面BCD,所以AE⊥EF.
同理EF⊥平面ABC,所以EF∥OG,故四边形OGEF是矩形.由BC⊥CD,
可得BD==2,故DF=.又 OF=EG=AE=ABsin 60°=,
设球O的半径为R,则R2=OD2=OF2+FD2=,
所以球O的表面积S=4πR2=.故选C.
当堂检测
1.一个球的体积为36π,则此球的半径是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:设球的半径为r,则r3=36π,解得r=3.故选C.
2.长、宽、高分别为2,,的长方体的外接球的表面积为( B )
A.4π B.12π C.24π D.48π
解析:该长方体的对角线长为=2,设外接球的半径为R,2R=2,所以R=,所以S球面=4πR2=12π.故选B.
3.棱长为4的正方体的内切球的表面积为( C )
A.4π B.12π C.16π D.20π
解析:设内切球的半径为r,由球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径,得2r=4,r=2,故S球面=4πr2=16π.故选C.
4.两个半径为1的铁球,熔化后铸成一个大球,则这个大球的半径为( A )
A. B. C.2 D.
解析:设大球的半径为r,则π×13×2=πr3,
所以r=.
故选A.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
球的截面性质 3,5,7,9
球的表面积与体积 1,2,8,13
球的组合体 4,6,10,11,12,14,15
基础巩固
1.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的( B )
A.2倍 B.2倍 C.倍 D.倍
解析:设原球的半径为R,表面积扩大到原来的2倍,则半径扩大到原来的倍,体积扩大到原来的2倍.故选B.
2.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为 4.5 cm 的半球形的冰淇淋,若冰淇淋融化后正好盛满杯子,则杯子的高h等于( A )
A.9 B.6
C.3 D.4.5
解析:由题意可得,××4.53=×π×4.52×h,解得h=9.故选A.
3.一个球面上有三个点A,B,C,若AB=AC=2,BC=2,球心到平面ABC的距离为1,则球的表面积为( D )
A.3π B.4π C.8π D.12π
解析:因为AB=AC=2,BC=2,则AB2+AC2=BC2,即∠BAC=90°,于是得
△ABC的外接圆的半径 r=BC=.又点A,B,C在同一个球面上,且球心到平面ABC的距离为1,则球的半径R==,所以球的表面积为S=4πR2=12π.故选D.
4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则该圆柱的外接球的体积为( B )
A. B.
C. D.
解析:圆柱的轴截面图如图所示,O为外接球的球心,母线BB1的长度为2,底面半径r=O2B=1,易得外接球的半径R=OB==,所以外接球的体积V=π×()3=.故选B.
5.红灯笼起源于中国的西汉时期.两千多年来,每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼,营造一种喜庆的氛围.如图(1),某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图(2),球冠是球面被平面截得的一部分,垂直于截面的直径被截得的部分叫作球冠的高,若球冠所在球面的半径为R,球冠的高为h,则球冠的面积S=2πRh.如图(1),已知该灯笼的高为58 cm,圆柱的高为5 cm,圆柱的底面圆直径为14 cm,则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为( C )
A.1 940π cm2 B.2 350π cm2
C.2 400π cm2 D.2 540π cm2
解析:由题意得R2-()2=72,
所以R=25 cm,所以h=25-=1(cm),
所以两个球冠的面积为2S=2×2πRh=2×2π×25×1=100π(cm2),
则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为
4πR2-2S=4×π×252-100π=2 400π(cm2).故选C.
6.已知三棱锥VABC,满足VA=BC=3,VB=VC=AC=AB=5,则该三棱锥的外接球的表面积为( C )
A.17π B.18π C.34π D.36π
解析:根据三棱锥VABC对棱相等的特点,
在长方体中构造三棱锥VABC如图所示.
设该长方体长、宽、高分别为x,y,z,
由题可知x2+z2=18,x2+y2=25,y2+z2=25,
故可得x2+y2+z2=34,又该长方体外接球半径 R==,也为该三棱锥外接球半径,故该三棱锥的外接球的表面积为4πR2=34π.故选C.
7.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则截面圆的半径为 ,球的直径为 .
解析:设球心到截面的距离为d,截面圆的半径为r,则πr2=π,所以r=1.设球的半径为R,则R==,故球的直径为2.
答案:1 2
8.已知圆锥的高为3,它的底面半径为,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积等于 .
解析:如图所示,
设球心到底面圆心的距离为x,则球的半径为3-x,
由勾股定理得x2+3=(3-x)2,解得x=1,故球的半径r=2,V球=πr3=.
答案:
能力提升
9.某同学在参加实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为2π,则该球的表面积为( A )
A.20π B.16π C.12π D.8π
解析:设截面圆的半径为r,球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2,根据截面圆的周长可得2π=2πr,则r=1,由题意知 R2=r2+22,即R2=12+22=5,所以该球的表面积为4πR2=20π.故选A.
10.在圆台O1O2中,圆O2的半径是圆O1半径的2倍,且O2恰为该圆台外接球的球心,则圆台的侧面积与外接球的表面积之比为( C )
A.3∶4 B.1∶2 C.3∶8 D.3∶10
解析:令外接球的半径为2R,依题意O2A=2R,O2B=2R,O1B=R,过点B作BC⊥O2A,垂足为C,则O2C=O1B=R,所以AC=O2C=R,
又BC=O1O2==R,所以AB==2R,
所以圆台的侧面积S1=(2πR+2π×2R)×2R=6πR2,
球的表面积S2=4π×(2R)2=16πR2,
所以圆台的侧面积与外接球的表面积之比为
S1∶S2=(6πR2)∶(16πR2)=3∶8.故选C.
11.如图为一个圆锥形的金属配件,重90 g,其轴截面是一个等边三角形,现将其打磨成一个体积最大的球形配件,则该球形配件的质量为
g.
解析:由于该圆锥的轴截面为等边三角形,如图所示.
设内切球的半径为r,质量为m g,AH=x,
所以r=x,CH=x,
所以V圆锥=×π·x2·x=·x3,
V球=·r3=··x3=x3,
则==,解得m=40.
答案:40
12.已知三棱锥ABCD,AB=AC=AD=2,BC=BD=CD=3,则三棱锥ABCD的外接球表面积为 .
解析:如图,由题意知,底面△BCD为等边三角形,设M为其中心,
则BM=×3=,又AB=AC=AD=2,所以该三棱锥为正三棱锥,
所以AM==1,所以外接球半径 R>AM.
则外接球球心在AM的延长线上,设为点O,所以OA=OB=R,则OM=R-1,
所以在Rt△BOM中,OB2=OM2+BM2,即R2=()2+(R-1)2,解得R=2,
所以外接球表面积为S=4πR2=16π.
答案:16π
13.如图是某种水箱用的“浮球”,它是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的半径是2 cm,圆柱筒的高是2 cm.
(1)求这种“浮球”的体积.
(2)现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆,每平方厘米需要花费防水漆2元,共需花费多少钱
解:(1)因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径r=2 cm,
圆柱筒的高h=2 cm,所以两个半球的体积之和为
V1=πr3=π×23=π(cm3),
圆柱的体积V2=πr2h=π×22×2=8π(cm3),
所以该“浮球”的体积是V=V1+V2=π+8π=π(cm3).
(2)根据题意,上下两个半球的表面积是
S1=4πr2=4π×22=16π(cm2),
而“浮球”的圆柱筒的侧面积为
S2=2πrh=2π×2×2=8π(cm2),
所以“浮球”的表面积S=S1+S2=24π(cm2),
所以共需花费24π×2=48π(元).
14.正三棱锥的高为1,底面边长为2,内有一个球与它的四个面都相切,求:
(1)棱锥的表面积.
(2)内切球的表面积与体积.
解:(1)如图,过点P作PD⊥平面ABC于点D,则PD=1.
连接AD并延长交BC于点E,连接PE.
因为PABC为正三棱锥,所以AE是BC边上的高和中线,
D为△ABC的中心.
因为AB=2,所以S△ABC=×(2)2=6,
DE=×AB=,PE==.
S△PAB=S△PBC=S△PCA=×2×=3.
所以S表=9+6.
(2)设球的半径为r,以球心O为顶点,棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥.
因为PD=1,所以=×6×1=2.
则由分割前后体积相等可得×(9+6)r=2,解得r=-2,
所以S球面=4π×(-2)2=(40-16)π,V球=(-2)3π.
应用创新
15.如图,在水平放置的直径与高相等的圆柱内,放入两个半径相等的小球(球A和球B),圆柱的底面直径为2+,向圆柱内注满水,水面刚好淹没小球B.
(1)求球A的体积.
(2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比.
解:(1)设圆柱的底面半径为R,小球的半径为r,
且r由勾股定理AB2=(2r)2=(2R-2r)2+(2R-2r)2,
即r2-4Rr+2R2=0,
因为r所以r=(2-)R=(2-)×=1.
所以球A的体积为V=πr3=.
(2)球B的表面积S1=4πr2=4π,
圆柱的侧面积S2=2πR·2R=4πR2=(6+4)π,
所以圆柱的侧面积与球B的表面积之比为.
