§1 周期变化
学习目标
1.了解现实生活中的周期现象,提升数学抽象的核心素养.
2.理解周期函数、周期、最小正周期的概念,提高数学抽象与数学运算的核心素养.
知识探究
知识点 周期函数、最小正周期的概念
(1)周期函数:一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D,且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
[思考1] 任何周期函数都有最小正周期吗
提示:并不是所有的函数都有最小正周期,比如常函数f(x)=C(C为常数)的周期可以是任意的实数值,但是没有最小值.
[思考2] 若T是函数f(x)的一个周期,则nT也是函数f(x)的周期吗
提示:当n∈Z,且n≠0时,nT是函数f(x)的周期,否则不是.
(1)函数y=f(x)的定义域为D,若对 x∈D,存在非零常数T,都有f(x+)=f(x-),那么T为f(x)的一个周期.
(2)函数y=f(x)的定义域为D,若对 x∈D,存在非零常数a,使得f(x+a)=-f(x),那么2a为f(x)的一个周期.
(3)函数y=f(x)的定义域为D,若对 x∈D,f(x)≠0,且存在非零常数a,使得f(x+a)=,或f(x+a)=-,那么2a为f(x)的一个周期.
探究点一 周期现象的理解
[例1] 判断下列现象是不是周期现象,并说明理由.
(1)地球的自转;
(2)连续抛掷一枚骰子,朝上一面的点数;
(3)某段高速公路每天通过的车辆数.
周期现象的两个特点:
(1)重复出现;
(2)间隔距离相同.
[针对训练]
1.判断下列现象是不是周期现象,并说明理由.
(1)北京天安门广场的国旗,日出时升旗,日落时降旗,其每天的升旗时间;
(2)钟表的秒针的转动.
2.今天是星期三,那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几 7k(k∈Z)天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
探究点二 周期函数、最小正周期
[例2] 弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期;
(2)当t=10.5 s时,求弹簧振子相对平衡位置的位移.
利用T为f(x)的周期,则kT(k∈Z,k≠0)也为f(x)的周期,可把周期函数的函数值计算转化为已知区间上的函数值计算.
[针对训练] 已知△ABC是边长为2的等边三角形.如图,将△ABC的顶点A与原点重合.AB在x轴上,然后将三角形沿着x轴顺时针滚动,每当顶点A再次回落到x轴上时,将相邻两个A之间的距离称为“一个周期”,则这个周期为 .
探究点三 周期函数的综合应用
[例3] 设f(x) 是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数.
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 027).
[变式探究] 已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(x+2)=.
(1)若f(-)=3,求f().
(2)求证:f(x)的周期为4.
(3)当x∈[0,2)时,f(x)=3x,求f(x)在x∈[-2,0)时的解析式.
代换方法:在类似f(x+T)=f(x-T)中,如果x∈R,非零常数T为实数,则x+T也是实数,把等式的x换为x+T,等式f(x+T)=f(x-T)仍然成立,这种思想是类似已知f(x+T)=f(x-T)导出函数周期的基本出发点.
当堂检测
1.下列说法正确的是( )
A.若T是函数f(x)的周期,则2T也是函数f(x)的周期
B.若T是函数f(x)的周期,则也是函数f(x)的周期
C.若存在实数T,对函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数
D.已知x0为函数f(x)定义域内的某一个值,T是非零常数,若f(x0+T)=f(x0),则T是f(x)的周期
2.若f(x)=则f(2 027) 等于( )
A. B. C. D.
3.一簇花有50朵,按百合、玫瑰、康乃馨、郁金香的顺序依次插花,则最后一朵花是 .
4.已知函数y=f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),f(x+4)=f(x),当x∈[-2,0)时,f(x)=x3-2x,则f(2 026)等于 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
周期现象 1,2,3
周期函数、最小正周期 4,5
周期函数的综合应用 6,7,8,9,10
基础巩固
1.下列现象不是周期现象的是( )
A.“春去春又回”
B.钟表的时针每隔24小时转一圈
C.“哈雷彗星”的运行时间
D.某同学每天上数学课的时间
2.把化成小数为0.42 85,小数点后第20位是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3.按照规定,奥运会每4年举办一次.2024年的奥运会在法国巴黎举办,那么下列年份中不举办奥运会的应该是( )
A.2008年 B.2032年 C.2034年 D.2036年
4.下列函数图象中,不具有周期性的是( )
A B
C D
5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(423)等于( )
A.-2 B.2 C.-98 D.98
6.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且周期为2,当x∈[-1,0)时,f(x)=()x-1,则当x∈(2,3]时,f(x)等于 .
能力提升
7.如图所示的是一个单摆,让摆球从A点开始摆,最后又回到A点,单摆所经历的时间是一个周期T,则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中,经历的时间是( )
A.2T B.T C. D.
8.已知函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-3对称,且对 x∈R都有f(x)+f(-x)=2,当x∈(0,2]时,f(x)=x+2.则f(2 025)等于( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
9.(多选题)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数,例如[2.3]=2.令函数f(x)=[x]-x,以下结论正确的有( )
A.f(-1.7)=-0.3
B.f(x)的最大值为0,最小值为-1
C.f(x-1)=f(x)
D.y=f(x)与y=-x+1的图象没有交点
10.若偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(113.5)= . §1 周期变化
学习目标
1.了解现实生活中的周期现象,提升数学抽象的核心素养.
2.理解周期函数、周期、最小正周期的概念,提高数学抽象与数学运算的核心素养.
知识探究
知识点 周期函数、最小正周期的概念
(1)周期函数:一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D,且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
[思考1] 任何周期函数都有最小正周期吗
提示:并不是所有的函数都有最小正周期,比如常函数f(x)=C(C为常数)的周期可以是任意的实数值,但是没有最小值.
[思考2] 若T是函数f(x)的一个周期,则nT也是函数f(x)的周期吗
提示:当n∈Z,且n≠0时,nT是函数f(x)的周期,否则不是.
(1)函数y=f(x)的定义域为D,若对 x∈D,存在非零常数T,都有f(x+)=f(x-),那么T为f(x)的一个周期.
(2)函数y=f(x)的定义域为D,若对 x∈D,存在非零常数a,使得f(x+a)=-f(x),那么2a为f(x)的一个周期.
(3)函数y=f(x)的定义域为D,若对 x∈D,f(x)≠0,且存在非零常数a,使得f(x+a)=,或f(x+a)=-,那么2a为f(x)的一个周期.
探究点一 周期现象的理解
[例1] 判断下列现象是不是周期现象,并说明理由.
(1)地球的自转;
(2)连续抛掷一枚骰子,朝上一面的点数;
(3)某段高速公路每天通过的车辆数.
解:(1)地球每天自转一圈,并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作,因此是周期现象.
(2)连续抛掷一枚骰子,朝上一面的点数有可能为1,2,…,6,并且前一次出现的点数,下一次可能出现,也可能不出现,故出现的点数是随机的,不是周期现象.
(3)某段高速公路每天通过的车辆数会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化,没有一个确定的规律,因此不是周期现象.
周期现象的两个特点:
(1)重复出现;
(2)间隔距离相同.
[针对训练]
1.判断下列现象是不是周期现象,并说明理由.
(1)北京天安门广场的国旗,日出时升旗,日落时降旗,其每天的升旗时间;
(2)钟表的秒针的转动.
解:(1)北京每天的日出、日落随节气变化,并非恒定,相邻两天的升旗时间间隔是变化的,不是常数,所以不是周期现象.
(2)钟表的秒针每一分钟转一圈,并且每分钟总是重复前一分钟的动作,因此是周期现象.
2.今天是星期三,那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几 7k(k∈Z)天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
解:每周7天,呈周期性变化,今天是星期三,则7k(k∈Z)天后的那一天是星期三;7k(k∈Z)天前的那一天仍然是星期三;100=7×14+2,所以100天后的那一天是星期五.
探究点二 周期函数、最小正周期
[例2] 弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期;
(2)当t=10.5 s时,求弹簧振子相对平衡位置的位移.
解:(1)由题意知该函数的周期为4 s.
(2)设x=f(t),由函数的周期为4 s可知,
f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8,
即当t=10.5 s时,
弹簧振子相对平衡位置的位移是-8 cm.
利用T为f(x)的周期,则kT(k∈Z,k≠0)也为f(x)的周期,可把周期函数的函数值计算转化为已知区间上的函数值计算.
[针对训练] 已知△ABC是边长为2的等边三角形.如图,将△ABC的顶点A与原点重合.AB在x轴上,然后将三角形沿着x轴顺时针滚动,每当顶点A再次回落到x轴上时,将相邻两个A之间的距离称为“一个周期”,则这个周期为 .
解析:由已知可得点A一个周期的运动轨迹如图所示,
当A再次回落到x轴上时,发生了6个单位的位移,则一个周期为6.
答案:6
探究点三 周期函数的综合应用
[例3] 设f(x) 是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数.
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 027).
(1)证明:f(x+2)=-f(x) f(x+2+2)=-f(x+2) f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)解:当x∈[-2,0]时,因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-(-x)2]=x2+2x,当x∈[2,4]时,f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
(3)解:f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,因为函数f(x)的周期为4,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 027)=507×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]=0.
[变式探究] 已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(x+2)=.
(1)若f(-)=3,求f().
(2)求证:f(x)的周期为4.
(3)当x∈[0,2)时,f(x)=3x,求f(x)在x∈[-2,0)时的解析式.
(1)解:因为f()=f(-+2)==-,所以f()=f(+2)==3.
(2)证明:因为对任意的x∈R,满足f(x+2)=,
所以f(x+4)=f(x+2+2)===f(x),
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.
(3)解:设x∈[-2,0),则x+2∈[0,2), 因为当x∈[0,2)时,f(x)=3x,所以当x+2∈[0,2)时,f(x+2)=3(x+2),又因为f(x+2)=,所以3(x+2)=,所以f(x)=-.
代换方法:在类似f(x+T)=f(x-T)中,如果x∈R,非零常数T为实数,则x+T也是实数,把等式的x换为x+T,等式f(x+T)=f(x-T)仍然成立,这种思想是类似已知f(x+T)=f(x-T)导出函数周期的基本出发点.
当堂检测
1.下列说法正确的是( A )
A.若T是函数f(x)的周期,则2T也是函数f(x)的周期
B.若T是函数f(x)的周期,则也是函数f(x)的周期
C.若存在实数T,对函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数
D.已知x0为函数f(x)定义域内的某一个值,T是非零常数,若f(x0+T)=f(x0),则T是f(x)的周期
解析:根据函数的周期的定义,可知若T是函数f(x)的周期,则对定义域内任意一个x,都有f(x+T)=f(x),f(x+2T)=f(x+T)=f(x),即2T也是函数f(x)的周期,显然不一定是函数f(x)的周期,故A说法正确,B说法错误.由周期函数的定义,可知f(x+T)=f(x)对定义域内任意一个x都成立,且T≠0,故C,D说法均错误.故选A.
2.若f(x)=则f(2 027) 等于( C )
A. B. C. D.
解析:由题意知当x>0时,f(x)=f(x-4),此时f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2 027)=f(3+4×506)=f(3)=f(-1)=2-1+=+=.故选C.
3.一簇花有50朵,按百合、玫瑰、康乃馨、郁金香的顺序依次插花,则最后一朵花是 .
解析:由题意知周期为4,因为50=4×12+2,所以最后一朵是玫瑰.
答案:玫瑰
4.已知函数y=f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),f(x+4)=f(x),当x∈[-2,0)时,f(x)=x3-2x,则f(2 026)等于 .
解析:因为函数y=f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),f(x+4)=f(x),所以f(x)为偶函数且是周期为4的周期函数,又当x∈[-2,0)时,f(x)=x3-2x,所以f(2 026)=f(506×4+2)=f(2)=f(-2)=(-2)3-2×(-2)=-4.
答案:-4
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
周期现象 1,2,3
周期函数、最小正周期 4,5
周期函数的综合应用 6,7,8,9,10
基础巩固
1.下列现象不是周期现象的是( D )
A.“春去春又回”
B.钟表的时针每隔24小时转一圈
C.“哈雷彗星”的运行时间
D.某同学每天上数学课的时间
解析:对于A,每隔一年,春天就重复一次,因此“春去春又回”是周期现象;对于B,时针每隔24小时转一圈,是周期现象;对于C,天体的运行具有周期性,所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象;对于D,某同学每天上数学课的时间不固定,并不是隔一段时间就会重复一次,因此不是周期现象.故选D.
2.把化成小数为0.42 85,小数点后第20位是( C )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:小数点后的数字1,4,2,8,5,7呈周期变化,且周期为6,因为20=6×3+2,
所以小数点后第20位是4.故选C.
3.按照规定,奥运会每4年举办一次.2024年的奥运会在法国巴黎举办,那么下列年份中不举办奥运会的应该是( C )
A.2008年 B.2032年 C.2034年 D.2036年
解析:2034不是4的倍数.故选C.
4.下列函数图象中,不具有周期性的是( C )
A B
C D
解析:C中,图象没有重复出现.故选C.
5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(423)等于( A )
A.-2 B.2 C.-98 D.98
解析:由题意知f(x)是以4为周期的奇函数,所以f(423)=f(4×106-1)=f(-1)=-f(1)=-2.故选A.
6.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且周期为2,当x∈[-1,0)时,f(x)=()x-1,则当x∈(2,3]时,f(x)等于 .
解析:当x∈(0,1]时,-x∈[-1,0),则f(-x)=()-x-1=2x-1,因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=f(-x)=2x-1;当x∈(2,3]时,x-2∈(0,1],则f(x-2)=2x-2-1,又f(x)的周期为2,所以f(x)=f(x-2)=2x-2-1.
答案:2x-2-1
能力提升
7.如图所示的是一个单摆,让摆球从A点开始摆,最后又回到A点,单摆所经历的时间是一个周期T,则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中,经历的时间是( B )
A.2T B.T C. D.
解析:依题意,整个运动刚好是一个周期,所以经历的时间是一个周期T.故选B.
8.已知函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-3对称,且对 x∈R都有f(x)+f(-x)=2,当x∈(0,2]时,f(x)=x+2.则f(2 025)等于( D )
A.-1 B.1 C.2 D.3
解析:因为函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-3对称,
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=-2对称,
所以f(-2+x)=f(-2-x).
取x=x+2,
可得f(-2+x+2)=f(-2-(x+2)),
所以f(x)=f(-4-x).
又对 x∈R有f(x)+f(-x)=2,
取x=-4-x可得f(-4-x)+f(x+4)=2,
所以f(x)=f(-4-x)=2-f(-x),
f(-4-x)=2-f(x+4),
所以f(x+4)=f(-x),
所以f((x+4)+4)=f(-x-4)=f(x),
即f(x+8)=f(x),
所以f(x)的周期T=8,
所以f(2 025)=f(253×8+1)=f(1)=3.故选D.
9.(多选题)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数,例如[2.3]=2.令函数f(x)=[x]-x,以下结论正确的有( AC )
A.f(-1.7)=-0.3
B.f(x)的最大值为0,最小值为-1
C.f(x-1)=f(x)
D.y=f(x)与y=-x+1的图象没有交点
解析:对于A,由题意得f(-1.7)=[-1.7]-(-1.7)=(-2)+1.7=-0.3,故A正确;对于C,f(x-1)=[x-1]-(x-1)=([x]-1)-x+1=-x+[x]=f(x),故C正确;对于B,由选项C可知,f(x)是周期为1的周期函数,则当x=0时,f(0)=[0]-0=0,当010.若偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(113.5)= .
解析:因为f(x+3)=-,
所以f(x+6)=-=f(x),
所以函数f(x)的周期为6,
所以f(113.5)=f(18×6+5.5)=f(5.5)=f(-0.5),
f(-0.5+3)=-,
所以f(-0.5)=-.
又函数为偶函数,所以f(2.5)=f(-2.5)=-10,所以f(-0.5)=-=,
即f(113.5)=.
答案:
