§2 任意角
2.1 角的概念推广
2.2 象限角及其表示
学习目标
1.了解任意角的概念,理解象限角的概念,提升数学抽象的核心素养.
2.掌握终边相同的角的含义、象限角及其表示,培养数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 角的概念推广
(1)角的定义:
平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边.
(2)角的分类:
类型 规定 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 如果一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角
[思考1] 如果一个角的始边与终边重合,那么这个角一定是零角吗
提示:不一定,若角的终边未作任何旋转,则这个角是零角.若角的终边作了旋转,则这个角就不是零角.
知识点2 象限角及其表示
(1)象限角和轴线角:在平面直角坐标系中,角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,这个角就不属于任何象限.
(2)与角α终边相同的角:一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
[思考2] 各象限角的集合是什么 轴线角的集合呢
提示:各象限角的表示如下表所示:
象限角 角的集合表示
第一 象限角 {α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}
第二 象限角 {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}
第三 象限角 {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}
第四 象限角 {α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}
轴线角的表示如下表所示:
轴线角 角的集合表示
终边在x轴上角的集合 {α|α=k·180°,k∈Z}
终边在y轴上角的集合 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
探究点一 角的概念推广
[例1] 经过2个小时,钟表的时针和分针旋转所形成的角分别是( )
A.60°角,720°角 B.-60°角,-720°角
C.-30°角,-360°角 D.-60°角,720°角
解析:钟表的时针和分针都是顺时针旋转的,因此转过的角度都是负的,又×360°=60°,2×360°=720°,故经过2个小时,钟表的时针和分针旋转所形成的角分别是-60°角,-720°角.故选B.
判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.
[针对训练] 写出图(1)(2)中的角α,β,γ的度数.
解:题图(1)中,α=360°-30°=330°;
题图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°,
γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.
探究点二 象限角及其表示
角度1 终边相同的角
[例2] 已知角α=2 024°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.
解:(1)由2 024°除以360°,得商为5,余数为224°,
所以取k=5,β=224°,
则α=5×360°+224°.
(2)与2 024°角终边相同的角为k·360°+2 024°(k∈Z).
令-360°≤k·360°+2 024°<720°,k∈Z,
所以k可取-6,-5,-4.将k的值代入k·360°+2 024° 中,得角θ的值为-136°,224°,584°.
在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地,可以将所给的角α化成k·360°+β的形式(其中0°≤β<360°,k∈Z),β就是所求的角.
(2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给的角是负角时,采用连续加360°的方式;当所给的角是正角时,采用连续减360°的方式,直到所得结果达到所求为止.
[针对训练] 与-66°终边相同的角是( )
A.34° B.104° C.214° D.294°
解析:与-66°终边相同的角可以写成-66°+360°·k的形式,其中k∈Z.令k=1可得,-66°与294°的终边相同,其他选项均不合题意.故选D.
角度2 区域角
[例3] 如图所示.
(1)分别写出终边在OA,OB位置上的角的集合;
(2)写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解:(1)终边在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z};
终边在OB位置上的角的集合为{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由题图可知,终边在阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有终边在[-30°,135°]之间的角组成的集合,故该区域可表示为
{γ|-30°+k·360°≤ γ ≤135°+k·360°,k∈Z}.
(1)终边在直线上的角的集合的写法
终边在过原点的直线上的角的集合可以分为两步:先分别写出终边在两条射线上的角的集合,然后取两个集合的并集可得终边在过原点的直线上的角的集合.
(2)表示区间(区域)角的三个步骤
第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步:按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角的集合.
易错警示:写区域角时,要注意角的集合的左边值,必须小于右边值,并且一定要写上k∈Z.
[针对训练] 若一个角的集合为S,且终边在直线y=-x上,写出集合S并把S中适合不等式-180° ≤α<180°的元素α写出来.
解:终边在直线y=-x上的角的集合S={α|α=k·360°+120°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+300°,k∈Z}={α|α=k·180°+120°,k∈Z},其中适合不等式-180°≤α<180°的元素α为-60°,120°.
学海拾贝
判定倍角、分角是第几象限角
[典例探究] 若角α是第二象限角,试确定角2α,分别是第几象限角.
解:因为α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).
(1)180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),
所以2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.
(2)法一 k·120°+30°<当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+150°<当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+270°<综上所述,是第一象限角或第二象限角或第四象限角.
法二 将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分,从x轴非负半轴起,按逆时针方向把各等分区域依次循环标上号码1,2,3,4,如图所示.
因为α是第二象限角,
所以图中标有数字2的区域(不包括边界)即的终边所在的区域,
故是第一象限角或第二象限角或第四象限角.
倍角、分角所在象限的判定方法
(1)已知角α终边所在的象限,确定nα终边所在的象限时,可依据角α的范围求出nα的范围,再直接转化为终边相同的角.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况.
(2)已知角α终边所在的象限,确定终边所在的象限有以下两种方法.
①不等式法:利用不等式表示出的范围,对k的取值分类讨论.
主要是分以下几种情况进行讨论:k被n整除;k被n除余1;k被n除余2;……;k被n除余(n-1),然后方可下结论.
②几何法:分别将各个象限n等分,从x轴非负半轴起,按照逆时针方向依次标上数字1,2,3,4.根据α所在的象限,找出对应的数字,根据数字所在的位置,确定终边所在的象限.当n≥4,n∈N+时,角的终边在四个象限都有分布,一般不讨论研究.
易错警示:处理本题时常出现两种错误:
(1)遗漏2α可能是终边在y轴的非正半轴上的角;
(2)由α是第二象限角,仅想到90°<α<180°,从而得到30°<<60°,仅得到是第一象限角,而丢掉是第二、第四象限角的情况.
[应用探究] 已知α为第一象限角,求180°-是第几象限角.
解:因为α为第一象限角,
所以k·360°<α所以k·180°<所以-45°-k·180°<-<-k·180°,k∈Z,
所以135°-k·180°<180°-<180°-k·180°,k∈Z.
当k=2n(n∈Z)时,135°-n·360°<180°-<180°-n·360°,所求角为第二象限角;
当k=2n+1(n∈Z)时,-45°-n·360°<180°-<-n·360°,所求角为第四象限角.
所以180°-是第二或第四象限角.
当堂检测
1.已知α=944°,则α是( C )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:因为α=944°=224°+2×360°,又224°是第三象限角,所以α是第三象限角.故选C.
2.如果角α的终边上有一点P(0,-6),那么角α( D )
A.是第三象限角
B.是第四象限角
C.是第三或第四象限角
D.不属于任何象限
解析:因为点P在y轴的负半轴上,即角α的终边在y轴的非正半轴上,因此角α不属于任何象限.故选D.
3.在0°～360°范围内与 2 024° 终边相同的角为 .
解析:因为与2 024°终边相同的角为k·360°+2 024°,k∈Z,当k=-5时,符合题意,此时角为224°.
答案:224°
4.终边在直线y=x上的角可用集合表示为 .
解析:法一 终边在射线y=x(x≥0)上的角的集合S1={α|α=
60°+k·360°,k∈Z};终边在射线y=x(x≤0)上的角的集合S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在直线y=x上的角的集合S=S1∪S2={α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+k·180°,k∈Z}.
法二 在0°～360°范围内,当终边在射线y=x(x≥0)上时,对应的角为60°;旋转180°后,终边在射线y=x(x≤0)上;再旋转180°,终边又在射线y=x(x≥0)上.
故终边在直线y=x上的角的集合为{α|α=60°+k·180°,k∈Z}.
答案:{α|α=60°+k·180°,k∈Z}
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
角的概念推广、象限角 2,3
终边相同的角及其理解 1,4,7,8,12
角的概念推广的综合应用 5,6,9,10,11,13,14
基础巩固
1.下列选项中与角α=1 680°终边相同的角是( C )
A.120° B.-240°
C.-120° D.60°
解析:与α=1 680°终边相同的角为β=1 680°+360°k,k∈Z,当k=-5时,β=-120°,C选项符合要求,经过检验,其他选项不符合要求.
故选C.
2.已知α为锐角,那么2α是( A )
A.小于180°的正角 B.第一象限角
C.第二象限角 D.第一或第二象限角
解析:因为α为锐角,所以0°<α<90°,所以0°<2α<180°.故选A.
3.(多选题)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边可能落在( AC )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°,故α为第一象限角.故α的终边落在第一或第三象限.故选AC.
4.已知α,β的终边相同,那么角α-β的终边在( A )
A.x轴的非负半轴上 B.x轴的非正半轴上
C.y轴的非负半轴上 D.y轴的非正半轴上
解析:因为角α,β的终边相同,则根据终边相同角的表示可知α=k·360°+β,k∈Z.所以α-β=k·360°+β-β=k·360°,k∈Z,所以α-β的终边在x轴的非负半轴上.故选A.
5.(多选题)已知M={α|α是第一象限角},N={α|α是锐角},Q={α|α是小于90°的角},那么M,N,Q的关系是( BC )
A.N=M∩Q B.N∪Q=Q
C.N∩M=N D.M=N=Q
解析:因为M={α|α是第一象限角},N={α|α是锐角},Q={α|α是小于90°的角},所以M∩Q除了包括锐角,还包括其他角,比如-330°角,故A选项错误;锐角是大于0°且小于90°的角,故B选项正确;锐角是第一象限角,故C选项正确;选项A,B,C中角的范围不一样,所以D选项错误.故选BC.
6.若角α=m·360°+60°,β=k·360°+120°,m,k∈Z,则角α与β的终边的位置关系是( D )
A.重合 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
解析:法一 角α的终边和60°角的终边相同,角β的终边与120°角的终边相同,因为180°-120°=60°,所以角α与β的终边关于y轴对称.故选D.
法二 因为α+β=(2m+2k+1)·180°(m,k∈Z),所以角α与β的终边关于y轴对称.故选D.
7.如图所示,终边在射线OB上的角的集合为 ,终边在直线OA上的角的集合为 .
解析:终边在射线OB上的角的集合为
S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z};
终边在直线OA上的角为α=30°+k·360°或α=210°+k·360°,
k∈Z.
即α=30°+2k·180°或α=30°+(2k+1)·180°,k∈Z,
所以终边在直线OA上的角的集合为S2={α|α=30°+k·180°,
k∈Z}.
答案:{β|β=60°+k·360°,k∈Z}
{α|α=30°+k·180°,k∈Z}
8.大于-1 035°且终边与角45°重合的所有负角是 .
解析:由题知,与45°终边重合的角为45°+360°k,k∈Z,其中大于-1 035°的负角有:当k=-1时,角为-315°;当k=-2时,角为-675°.
答案:-315°,-675°
9.如图,α,β分别是终边落在射线OA,OB位置上的两个角,且α=
60°,β=315°.
(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合;
(2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且满足0°≤θ≤360°的角θ的集合.
解:(1)因为α=60°,β=315°,
所以终边在射线OA,OB上的角分别是60°+k·360°,-45°+k·360°,k∈Z;
所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为
{γ|k·360°-45°<γ(2)当k=0时,角θ的集合为{θ|0°≤θ<60°};
当k=1时,角θ的集合为{θ|315°<θ≤360°}.
所以终边落在阴影部分(不包括边界),且满足0°≤θ≤360°的角θ的集合为{θ|0°≤θ<60°或315°<θ≤360°}.
能力提升
10.下列说法正确的是( C )
A.第二象限角比第一象限角大
B.60°角与600°角是终边相同的角
C.斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D.将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角的度数为60°
解析:对于A,第二象限角可能为负角,如-240°,第一象限角也有可能为正角,如60°,故A错误;对于B,600°-60°=540°≠k·360°
(k∈Z),故60°角与600°角终边不同,故B错误;对于C,斜三角形的内角为锐角或钝角,故其内角为第一象限角或第二象限角,故C正确;对于D,分针拨快是顺时针旋转,得到的角为负角,故D错误.故选C.
11.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( C )
A B C D
解析:当k=2n,n∈Z时,n·360°+45°≤α≤n·360°+90°,n∈Z;
当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+225°≤α≤n·360°+270°,n∈Z.故选C.
12.(多选题)如果角α与角γ+60°的终边相同,角β与γ-60°的终边相同,那么α-β的可能取值为( AC )
A.120° B.360° C.1 200° D.3 600°
解析:如果角α与γ+60°的终边相同,则α=m·360°+γ+60°,
m∈Z,
角β与γ-60°的终边相同,则β=n·360°+γ-60°,n∈Z,
所以α-β=m·360°+γ+60°-n·360°-γ+60°
=(m-n)360°+120°,1 200°=120°+3×360°,
选项A,C符合题意.故选AC.
13.已知α是第一象限角,β是第二象限角,试确定角的终边所在的位置.
解:由已知得k1·360°<α<90°+k1·360°,k1∈Z,①
90°+k2·360°<β<180°+k2·360°,k2∈Z,②
①+②,得90°+(k1+k2)·360°<α+β<270°+(k1+k2)·360°,
k1,k2∈Z,
所以45°+(k1+k2)·180°<<135°+(k1+k2)·180°,k1,k2∈Z.
当k1+k2=2m(m∈Z)时,45°+m·360°<<135°+m·360°,
此时,角的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.
当k1+k2=2m+1(m∈Z)时,225°+m·360°<<315°+m·360°,
此时,角的终边在第三象限或第四象限或y轴的非正半轴上.
应用创新
14.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆(半径为1 cm的圆)的圆周上爬动,且两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°).如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限.求α,β的值.
解:由题意可得,45°<α<β<90°,630°<14α<14β<1 260°,
得14α=720°,14β=1 080°.
所以α=()°,β=()°.§2 任意角
2.1 角的概念推广
2.2 象限角及其表示
学习目标
1.了解任意角的概念,理解象限角的概念,提升数学抽象的核心素养.
2.掌握终边相同的角的含义、象限角及其表示,培养数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 角的概念推广
(1)角的定义:
平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边.
(2)角的分类:
类型 规定 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 如果一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角
[思考1] 如果一个角的始边与终边重合,那么这个角一定是零角吗
提示:不一定,若角的终边未作任何旋转,则这个角是零角.若角的终边作了旋转,则这个角就不是零角.
知识点2 象限角及其表示
(1)象限角和轴线角:在平面直角坐标系中,角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,这个角就不属于任何象限.
(2)与角α终边相同的角:一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
[思考2] 各象限角的集合是什么 轴线角的集合呢
提示:各象限角的表示如下表所示:
象限角 角的集合表示
第一 象限角 {α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}
第二 象限角 {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}
第三 象限角 {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}
第四 象限角 {α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}
轴线角的表示如下表所示:
轴线角 角的集合表示
终边在x轴上角的集合 {α|α=k·180°,k∈Z}
终边在y轴上角的集合 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
探究点一 角的概念推广
[例1] 经过2个小时,钟表的时针和分针旋转所形成的角分别是( )
A.60°角,720°角 B.-60°角,-720°角
C.-30°角,-360°角 D.-60°角,720°角
判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.
[针对训练] 写出图(1)(2)中的角α,β,γ的度数.
探究点二 象限角及其表示
角度1 终边相同的角
[例2] 已知角α=2 024°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.
在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地,可以将所给的角α化成k·360°+β的形式(其中0°≤β<360°,k∈Z),β就是所求的角.
(2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给的角是负角时,采用连续加360°的方式;当所给的角是正角时,采用连续减360°的方式,直到所得结果达到所求为止.
[针对训练] 与-66°终边相同的角是( )
A.34° B.104° C.214° D.294°
角度2 区域角
[例3] 如图所示.
(1)分别写出终边在OA,OB位置上的角的集合;
(2)写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合.
(1)终边在直线上的角的集合的写法
终边在过原点的直线上的角的集合可以分为两步:先分别写出终边在两条射线上的角的集合,然后取两个集合的并集可得终边在过原点的直线上的角的集合.
(2)表示区间(区域)角的三个步骤
第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步:按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角的集合.
易错警示:写区域角时,要注意角的集合的左边值,必须小于右边值,并且一定要写上k∈Z.
[针对训练] 若一个角的集合为S,且终边在直线y=-x上,写出集合S并把S中适合不等式-180° ≤α<180°的元素α写出来.
学海拾贝
判定倍角、分角是第几象限角
[典例探究] 若角α是第二象限角,试确定角2α,分别是第几象限角.
倍角、分角所在象限的判定方法
(1)已知角α终边所在的象限,确定nα终边所在的象限时,可依据角α的范围求出nα的范围,再直接转化为终边相同的角.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况.
(2)已知角α终边所在的象限,确定终边所在的象限有以下两种方法.
①不等式法:利用不等式表示出的范围,对k的取值分类讨论.
主要是分以下几种情况进行讨论:k被n整除;k被n除余1;k被n除余2;……;k被n除余(n-1),然后方可下结论.
②几何法:分别将各个象限n等分,从x轴非负半轴起,按照逆时针方向依次标上数字1,2,3,4.根据α所在的象限,找出对应的数字,根据数字所在的位置,确定终边所在的象限.当n≥4,n∈N+时,角的终边在四个象限都有分布,一般不讨论研究.
易错警示:处理本题时常出现两种错误:
(1)遗漏2α可能是终边在y轴的非正半轴上的角;
(2)由α是第二象限角,仅想到90°<α<180°,从而得到30°<<60°,仅得到是第一象限角,而丢掉是第二、第四象限角的情况.
[应用探究] 已知α为第一象限角,求180°-是第几象限角.
当堂检测
1.已知α=944°,则α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.如果角α的终边上有一点P(0,-6),那么角α( )
A.是第三象限角
B.是第四象限角
C.是第三或第四象限角
D.不属于任何象限
3.在0°～360°范围内与 2 024° 终边相同的角为 .
4.终边在直线y=x上的角可用集合表示为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
角的概念推广、象限角 2,3
终边相同的角及其理解 1,4,7,8,12
角的概念推广的综合应用 5,6,9,10,11,13,14
基础巩固
1.下列选项中与角α=1 680°终边相同的角是( )
A.120° B.-240°
C.-120° D.60°
2.已知α为锐角,那么2α是( )
A.小于180°的正角 B.第一象限角
C.第二象限角 D.第一或第二象限角
3.(多选题)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边可能落在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知α,β的终边相同,那么角α-β的终边在( )
A.x轴的非负半轴上 B.x轴的非正半轴上
C.y轴的非负半轴上 D.y轴的非正半轴上
5.(多选题)已知M={α|α是第一象限角},N={α|α是锐角},Q={α|α是小于90°的角},那么M,N,Q的关系是( )
A.N=M∩Q B.N∪Q=Q
C.N∩M=N D.M=N=Q
6.若角α=m·360°+60°,β=k·360°+120°,m,k∈Z,则角α与β的终边的位置关系是( )
A.重合 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
7.如图所示,终边在射线OB上的角的集合为 ,终边在直线OA上的角的集合为 .
8.大于-1 035°且终边与角45°重合的所有负角是 .
9.如图,α,β分别是终边落在射线OA,OB位置上的两个角,且α=
60°,β=315°.
(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合;
(2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且满足0°≤θ≤360°的角θ的集合.
能力提升
10.下列说法正确的是( )
A.第二象限角比第一象限角大
B.60°角与600°角是终边相同的角
C.斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D.将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角的度数为60°
11.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( )
A B C D
12.(多选题)如果角α与角γ+60°的终边相同,角β与γ-60°的终边相同,那么α-β的可能取值为( )
A.120° B.360° C.1 200° D.3 600°
13.已知α是第一象限角,β是第二象限角,试确定角的终边所在的位置.
应用创新
14.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆(半径为1 cm的圆)的圆周上爬动,且两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°).如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限.求α,β的值.
