§3 弧度制
3.1 弧度概念
3.2 弧度与角度的换算
学习目标
1.了解角的另外一种度量方法——弧度制,提升数学抽象的核心素养.
2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算,提高数学运算的核心素养.
3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式,培养数学运算的核心素养.
知识探究
问题:在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的
提示:周角的等于1度.
知识点1 弧度和弧度制的概念
在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示,读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作弧度制.
知识点2 弧度与角度的换算
常见角度与弧度互化公式如下表所示.
角度化弧度 弧度化角度
360°=2π rad 2π rad=360°
180°=π rad π rad=180°
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=≈57°18′
[思考1] 利用终边相同的角求解问题时,“α=k·360°+,k∈Z”的写法正确吗
提示:终边相同的角求解问题时,在同一个式子中不能同时出现角度与弧度.因此类似“α=k·360°+,k∈Z”的写法是不正确的.
知识点3 弧长公式与扇形面积公式
已知r为扇形所在圆的半径,圆心角的度数为n°,α为圆心角的
弧度数.
角度制 弧度制
弧长 公式 l= l=αr
扇形 面积 公式 S= S=l·r=αr2
[思考2] “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗
提示:“1弧度的角”的大小为等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关.
(1)关于弧度数的性质:
①正角的弧度数是一个正数;
②负角的弧度数是一个负数;
③零角的弧度数是0;
④弧度数与十进制实数间存在一一对应关系.
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系:
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
探究点一 弧度与角度的换算
[例1] (1)将下列各角度化为弧度:
①112°30′;②-315°.
(2)将下列各弧度化为角度:
①- rad;②.
解:(1)①因为1°= rad,
所以112°30′=(×112.5) rad= rad.
②-315°=-315×=-.
(2)①因为1 rad=,
所以- rad=-(×)=-75°.
②=×=1 140°.
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×=度数.
易错警示:(1)用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写.
(2)用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数.
(3)度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
[针对训练] 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-15°;(3);(4)-.
解:(1)20°=20× rad= rad.
(2)-15°=-15× rad=- rad.
(3) rad=×=105°.
(4)- rad=-×=-396°.
探究点二 用弧度制表示终边相同的角
[例2] 已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈(-,).
解:(1)因为-800°=-3×360°+280°,280°=,
所以α=-800°=+(-3)×2π.
所以α与角终边相同,所以α是第四象限角.
(2)因为与α终边相同的角可写为2kπ+,k∈Z的形式,而γ与α的终边相同,
所以γ=2kπ+,k∈Z.又γ∈(-,),
所以-<2kπ+<,k∈Z,解得k=-1,
所以γ=-2π+=-.
用弧度制表示终边相同的角
用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用.
[针对训练] 已知角α=2 010°.
(1)将α改写成θ+2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角;
(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角.
解:(1)2 010°=2 010×==5×2π+,
又π<<,角α与角的终边相同,故α是第三象限角.
(2)与α终边相同的角可以写为
β=+2kπ(k∈Z),
又-5π≤β<0,所以k=-3,-2,-1.
当k=-3时,β=-;
当k=-2时,β=-;
当k=-1时,β=-.
(3)与α终边相同的角可以写为γ=+2kπ(k∈Z),
又0≤γ<5π,所以k=0,1.
当k=0时,γ=;当k=1时,γ=.
探究点三 弧度制下扇形的弧长和面积公式
[例3] 已知扇形AOB的周长为10 cm.
(1)若这个扇形的面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数;
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,面积为S.
(1)依题意有得r2-5r+4=0,
解得r=1或r=4.
当r=1 cm时,l=8 cm,此时,θ=8 rad>2π rad,舍去;当r=4 cm时,l=2 cm,此时,θ= rad.
(2)由l+2r=10,得l=10-2r,
S=lr=(10-2r)·r=5r-r2=-(r-)2+(0当r= cm时,S取得最大值 cm2,
这时l=10-2×=5(cm),
所以θ===2 rad.
弧度制下涉及扇形问题的解题策略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S=lr=|α|r2[其中l是扇形的弧长,r是扇形的半径,α(0<α<2π)是扇形的圆心角的弧度数].
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
(3)求解扇形中的有关最值问题,将扇形面积表示为半径的函数,转化为r的二次函数的最值问题.
注意:运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度.
[针对训练] 已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为( )
A.2 B.4 C.2 D.4
解析:设扇形的弧长为l,半径为r,
所以扇形的面积为lr=3,所以lr=6,
又扇形的周长为l+2r,所以l+2r≥2=4,当且仅当即l=2r=2时,取等号.故选D.
当堂检测
1.将表拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是( A )
A. B. C.- D.-
解析:因为分针转一周是60分钟,转过的角为-2π,将表拨慢10分钟,分针逆时针旋转,所以分针转过的角的弧度数为×2π=.故选A.
2.弧度化为角度是( C )
A.278° B.280° C.288° D.318°
解析:因为1 rad=,
所以 rad=×=288°.
故选C.
3.我国采用的“密位制”是6 000密位制,即将一个圆周分为6 000等份,每一等份是一个密位,那么60密位等于( B )
A. rad B. rad
C. rad D. rad
解析:因为将一个圆周分成6 000等份,每一份是一个密位,所以一个密位所对的弧长l=,
所以60密位所对的弧长为60l=,
所以60密位的弧度数为=.故选B.
4.已知扇形的面积为4,圆心角的弧度数是2,则该扇形的半径为 .
解析:依题意得S=4,α=2,设半径为r,由S=r2α,得4=×2r2,得r=2.
答案:2
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
弧度与弧度制 1,7
弧度制下扇形的弧长和面积 2,4,5,6,8,11
弧度制的综合应用 3,9,10,12,13
基础巩固
1.(多选题)与终边相同的角的表达式中,正确的是( CD )
A.45°+2kπ,k∈Z
B.k·360°+,k∈Z
C.k·360°+45°,k∈Z
D.2kπ-,k∈Z
解析:弧度和角度不能在同一个表达式中,故选项A,B错误;与终边相同的角的集合是{α|α=2kπ+,k∈Z}={α|α=m·360°+45°,m∈Z},经验证,选项C,D正确.故选CD.
2.已知一个扇形的周长为40 cm,面积为100 cm2,则该扇形的圆心角的弧度数为( D )
A. B.1 C. D.2
解析:设扇形的弧长为l,半径为R,则l+2R=40且l·R=100,解得l=20,R=10,则该扇形的圆心角的弧度数为θ==2.故选D.
3.(多选题)下列说法正确的是( BC )
A.-150°化成弧度是-
B.-化成角度是-600°
C.若角α=2 rad,则角α为第二象限角
D.若一扇形的圆心角为30°,半径为3 cm,则扇形的面积为 cm2
解析:-150°=-150×=-,故A错误;
-=-(×)=-600°,故B正确;
1 rad≈57.3°,则2 rad≈114.6°,是第二象限角,故C正确;
扇形的圆心角为 30°,即 rad,半径为3 cm,故扇形的面积S=××32=(cm2),故D错误.故选BC.
4.已知某时钟的分针长4 cm,时间经过5 min,则时针转过的角为
弧度,分针扫过的扇形的面积为 cm2.
解析:由题意得时针转过的角为-×=-,
分针转过面积为××16= (cm2).
答案:-
5.如果一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的倍,那么该弧所对的圆心角是原来的 倍.
解析:设圆的半径为r,弧长为l,则该弧所对圆心角的弧度数为,若将半径变为原来的一半,弧长变为原来的倍,则该弧所对圆心角的弧度数变为=3·,即该弧所对的圆心角变为原来的3倍.
答案:3
6.已知扇形的面积为4 cm2,则该扇形的周长的最小值为 cm.
解析:设扇形所在圆的半径为r,弧所对的圆心角为α,弧长为l,面积为S,则l=αr,S=lr=αr2=4,即αr2=8,所以扇形的周长C=2r+l=2r+αr≥2=8,当且仅当α=2时取等号,所以扇形的周长的最小值为8 cm.
答案:8
能力提升
7.下列各对角中,终边相同的是( C )
A.和2kπ-(k∈Z) B.-和
C.-和 D.和
解析:因为+=2π,所以角-和的终边相同.故选C.
8.某扇形壁画尺寸(单位:cm)如图所示,则该壁画的扇面面积约为( D )
A.1 600 cm2 B.3 200 cm2
C.3 350 cm2 D.4 800 cm2
解析:如图,设∠AOB=α,OB=r,由弧长公式可得
解得α=2,r=40.
设扇形COD,扇形AOB的面积分别为S1,S2,
则该壁画的扇面面积约为
S1-S2=×160×(40+40)-×80×40=4 800(cm2).故选D.
9.(多选题)如图,A,B是单位圆上的两个点,点B的坐标为(1,0),
∠xOA=60°,点A以1 rad/s的角速度、点B以2rad/s的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动,则( BC )
A.1 s时,∠BOA的弧度数为+3
B. s时,扇形AOB的弧长为
C. s时,扇形AOB的面积为
D. s时,点A、点B在单位圆上第一次重合
解析:1 s时,点A按逆时针方向运动1 rad,点B按逆时针方向运动
2 rad,此时∠BOA的弧度数为-1,故A不正确; s时,∠BOA的弧度数为+-2×=,故扇形AOB的弧长为×1=,故B正确; s时,
∠BOA的弧度数为+-2×=,故扇形AOB的面积为S=××12=,故C正确;设t s时,点A、点B在单位圆上第一次重合,则t+=2t,解得t=,故D不正确.故选BC.
10.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是
.
解析:-=-406π+或-=-404π-,
因为||>|-|,
所以使|θ|最小的θ值是-.
答案:-
11.“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图所示).设某“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2,则该“莱洛三角形”的面积为 .
解析:如图,由题意可知等边三角形的边长为2,
即AB=BC=AC=2,
所以扇形ABC的面积等于以A为圆心,AB为半径的圆的面积的,
扇形ABC的面积S=×π×22=.
又S△ABC=,
所以该“莱洛三角形”的面积为3S-2S△ABC=2π-2.
答案:2π-2
12.用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
解:对于题图(1),225°角的终边可以看作是-135°角的终边,化为弧度,即-;60°角的终边即的终边,
所以所求集合为{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}.
对于题图(2),同理可得所求集合为
{α|2kπ+<α≤2kπ+,k∈Z}∪{α|2kπ+π+<α≤2kπ+π+,
k∈Z}={α|kπ+<α≤kπ+,k∈Z}.
应用创新
13.《九章算术》是我国古代著名的数学著作,其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义,“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成,“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
(1)当圆心角的弧度数为,“矢”为2时,求“弧田”(如图阴影部分所示)的面积;
(2)已知该扇形圆心角的弧度数是α,半径为r,扇形周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大
解:(1)依题意如图所示,其中CD=2,
令圆弧的半径为R,∠AOB为,
所以OD=,
即CD=OC-OD=R-=2,
解得R=4,
所以“弧田”面积S=S扇形OACB-S△AOB=πR2-·OD·AB.
因为AB=R,
所以S=-4.
(2)由题意知弧长ACB为αr,即该扇形周长为
αr+2r=c,扇形面积S=r2,所以S==≤=,当且仅当α=,即α=2时,等号成立,故当α为2弧度时,该扇形面积最大.§3 弧度制
3.1 弧度概念
3.2 弧度与角度的换算
学习目标
1.了解角的另外一种度量方法——弧度制,提升数学抽象的核心素养.
2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算,提高数学运算的核心素养.
3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式,培养数学运算的核心素养.
知识探究
问题:在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的
提示:周角的等于1度.
知识点1 弧度和弧度制的概念
在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示,读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作弧度制.
知识点2 弧度与角度的换算
常见角度与弧度互化公式如下表所示.
角度化弧度 弧度化角度
360°=2π rad 2π rad=360°
180°=π rad π rad=180°
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=≈57°18′
[思考1] 利用终边相同的角求解问题时,“α=k·360°+,k∈Z”的写法正确吗
提示:终边相同的角求解问题时,在同一个式子中不能同时出现角度与弧度.因此类似“α=k·360°+,k∈Z”的写法是不正确的.
知识点3 弧长公式与扇形面积公式
已知r为扇形所在圆的半径,圆心角的度数为n°,α为圆心角的
弧度数.
角度制 弧度制
弧长 公式 l= l=αr
扇形 面积 公式 S= S=l·r=αr2
[思考2] “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗
提示:“1弧度的角”的大小为等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关.
(1)关于弧度数的性质:
①正角的弧度数是一个正数;
②负角的弧度数是一个负数;
③零角的弧度数是0;
④弧度数与十进制实数间存在一一对应关系.
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系:
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
探究点一 弧度与角度的换算
[例1] (1)将下列各角度化为弧度:
①112°30′;②-315°.
(2)将下列各弧度化为角度:
①- rad;②.
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×=度数.
易错警示:(1)用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写.
(2)用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数.
(3)度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
[针对训练] 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-15°;(3);(4)-.
探究点二 用弧度制表示终边相同的角
[例2] 已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈(-,).
用弧度制表示终边相同的角
用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用.
[针对训练] 已知角α=2 010°.
(1)将α改写成θ+2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角;
(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角.
探究点三 弧度制下扇形的弧长和面积公式
[例3] 已知扇形AOB的周长为10 cm.
(1)若这个扇形的面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数;
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
弧度制下涉及扇形问题的解题策略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S=lr=|α|r2[其中l是扇形的弧长,r是扇形的半径,α(0<α<2π)是扇形的圆心角的弧度数].
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
(3)求解扇形中的有关最值问题,将扇形面积表示为半径的函数,转化为r的二次函数的最值问题.
注意:运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度.
[针对训练] 已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为( )
A.2 B.4 C.2 D.4
当堂检测
1.将表拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是( )
A. B. C.- D.-
2.弧度化为角度是( )
A.278° B.280° C.288° D.318°
3.我国采用的“密位制”是6 000密位制,即将一个圆周分为6 000等份,每一等份是一个密位,那么60密位等于( )
A. rad B. rad
C. rad D. rad
4.已知扇形的面积为4,圆心角的弧度数是2,则该扇形的半径为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
弧度与弧度制 1,7
弧度制下扇形的弧长和面积 2,4,5,6,8,11
弧度制的综合应用 3,9,10,12,13
基础巩固
1.(多选题)与终边相同的角的表达式中,正确的是( )
A.45°+2kπ,k∈Z
B.k·360°+,k∈Z
C.k·360°+45°,k∈Z
D.2kπ-,k∈Z
2.已知一个扇形的周长为40 cm,面积为100 cm2,则该扇形的圆心角的弧度数为( )
A. B.1 C. D.2
3.(多选题)下列说法正确的是( )
A.-150°化成弧度是-
B.-化成角度是-600°
C.若角α=2 rad,则角α为第二象限角
D.若一扇形的圆心角为30°,半径为3 cm,则扇形的面积为 cm2
4.已知某时钟的分针长4 cm,时间经过5 min,则时针转过的角为
弧度,分针扫过的扇形的面积为 cm2.
5.如果一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的倍,那么该弧所对的圆心角是原来的 倍.
6.已知扇形的面积为4 cm2,则该扇形的周长的最小值为 cm.
能力提升
7.下列各对角中,终边相同的是( )
A.和2kπ-(k∈Z) B.-和
C.-和 D.和
8.某扇形壁画尺寸(单位:cm)如图所示,则该壁画的扇面面积约为( )
A.1 600 cm2 B.3 200 cm2
C.3 350 cm2 D.4 800 cm2
9.(多选题)如图,A,B是单位圆上的两个点,点B的坐标为(1,0),
∠xOA=60°,点A以1 rad/s的角速度、点B以2rad/s的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动,则( )
A.1 s时,∠BOA的弧度数为+3
B. s时,扇形AOB的弧长为
C. s时,扇形AOB的面积为
D. s时,点A、点B在单位圆上第一次重合
10.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是
.
11.“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图所示).设某“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2,则该“莱洛三角形”的面积为 .
12.用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
应用创新
13.《九章算术》是我国古代著名的数学著作,其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义,“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成,“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
(1)当圆心角的弧度数为,“矢”为2时,求“弧田”(如图阴影部分所示)的面积;
(2)已知该扇形圆心角的弧度数是α,半径为r,扇形周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大
