§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
学习目标
1.掌握单位圆中的正弦函数、余弦函数的定义,提高数学抽象的核心素养.
2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,提高数学抽象的核心素养.
知识探究
知识点1 锐角的正弦函数和余弦函数
在平面直角坐标系中,把锐角α的顶点放在坐标原点,角的始边放在x轴的非负半轴上,角α的终边与单位圆交于点P(u,v)(如图),则v=sin α,u=cos α.
[思考1] 单位圆上任意一点P(u,v)的坐标满足u2+v2=1,从这个事实出发,你能得到什么结论
提示:sin2α+cos2α=1.
[思考2] 怎样理解单位圆
提示:在平面直角坐标系中,以坐标原点为圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆.
知识点2 任意角的正弦函数和余弦函数
(1)单位圆中正弦函数、余弦函数的定义.
在平面直角坐标系中,把任意角α的顶点放在坐标原点、始边放在x轴的非负半轴上,角α的终边与单位圆交于点P(u,v),则把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值,记作v=sin α;把点P的横坐标u叫作角α的余弦值,记作u=cos α(如图).
(2)角α的正弦函数、余弦函数的定义.
设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α=,cos α=,其中r=.
[思考3] 根据三角函数的定义,角α的正弦与余弦与点的选取有关系吗
提示:没有.
知识点3 特殊角的正弦函数值、余弦函数值
α 0
y=sin α 0 1
y=cos α 1 0 - -
α π 2π
y=sin α 0 - - -1 - - 0
y=cos α -1 - - 0 1
注意:该表格解答了教材第16页[思考交流],上述特殊角对应的正弦、余弦函数值在解题中经常遇到,牢记它们解题可事半功倍.
探究点一 单位圆与三角函数的定义
[例1] 在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(,),则sin α等于( )
A. B. C. D.
解析:因为终边经过点P(,),且()2+()2=1,
所以sin α=.故选B.
[针对训练] 在平面直角坐标系中,已知sin α=-,cos α=,那么角α的终边与单位圆的交点坐标为( )
A.(,-) B.(-,)
C.(-,) D.(,-)
解析:因为sin α=-,cos α=,所以角α的终边与单位圆的交点坐标为(,-).故选A.
探究点二 任意角的正弦函数和余弦函数
角度1 利用任意角的正弦函数和余弦函数定义求值
[例2] 已知角α的终边经过点P(m,-6),且cos α=-,则m等于( )
A.-8 B.±8 C.±4 D.4
解析:由题意,可得r=|OP|==,
根据三角函数的定义,可得cos α==-,且m<0,解得m=-8.故选A.
[针对训练] 若角α的终边经过点P(a,-a)(a>0),则sin α等于( )
A.- B.- C. D.
解析:由题意可知,x=a,y=-a,r=|OP|=2a(O为坐标原点),所以sin α==-.故选B.(三角函数值只与角α的终边所在的位置有关,与点P在终边上的位置无关)
角度2 三角函数定义的应用
[例3] 若角750°的终边上有一点P(a,3),则a的值是( )
A. B.3 C.- D.-3
解析:因为750°=2×360°+30°,
所以750°与30°的终边相同,
从而cos 750°==cos 30°=,且a>0,解得a=3.故选B.
利用正弦函数、余弦函数的定义,求一个角的正弦值、余弦值,需要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r.特别注意,当点的坐标含有参数时,应分类讨论.
[针对训练] 已知角α的顶点与原点重合,始边与 x轴非负半轴重合,终边在直线x-y=0上,则角α的余弦值为 .
解析:因为角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线x-y=0上,
所以角α的终边在第一象限或第三象限.
当角α的终边在第一象限时,可取角α的终边上点(1,),
所以cos α==;
当角α的终边在第三象限时,可取角α的终边上点(-1,-),
所以cos α==-.综上,角α的余弦值为±.
答案:±
当堂检测
1.在平面直角坐标系xOy中,角α以x轴的非负半轴为始边,点P(-,1)在角α的终边上,则cos α等于( C )
A.- B.- C.- D.-
解析:由余弦函数的定义得cos α==-.故选C.
2.(多选题)已知角α的终边过点P(x,1),且cos α=,则x的值可以是( CD )
A.± B.±1 C.± D.0
解析:由题意得cos α=.又cos α=,则=,解得x=0或x2=3,即x的值可以是0,±.故选CD.
3.已知角α的终边经过点P(-3m,4m)(m>0),则sin α-cos α的值为 .
解析:因为m>0,角α的终边经过点P(-3m,4m),
所以r=OP==5m,
所以sin α==,cos α==-,
所以sin α-cos α=.
答案:
4.角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,α=,则角α的终边与单位圆的交点坐标为 .
解析:由于角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,因此由α的终边与单位圆的交点坐标为(cos α,sin α)及cos=,sin=可知,交点坐标为(,).
答案:(,)
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
单位圆与正弦函数、余弦函数 1,2,5
任意角的正弦、余弦函数 3,4,6,7,8,9,12,14
综合应用 10,11,13,15
基础巩固
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cos α的值为( D )
A. B.-
C. D.-
解析:由题意,点A的纵坐标为,点A的横坐标为-=-,所以由三角函数的定义可得cos α==-.故选D.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若
∠AOP=θ,则点P的坐标是( A )
A.(cos θ,sin θ)
B.(-cos θ,sin θ)
C.(sin θ,cos θ)
D.(-sin θ,cos θ)
解析:由题意可知,点P的横坐标为cos θ,纵坐标为sin θ,故点P的坐标为(cos θ,sin θ).故选A.
3.已知角α的终边经过点P(2,-1),则sin α+cos α等于( C )
A. B.- C. D.-
解析:因为角α的终边经过点P(2,-1),r==,于是有sin α==-,cos α==,所以sin α+cos α=-+=.故选C.
4.已知点P(2cos ,1)是角α终边上一点,则sin α等于( C )
A. B. C. D.
解析:由点P(2cos ,1)是角α终边上一点,
则sin α==.故选C.
5.已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(-,-),则等于( C )
A.-7 B.- C. D.7
解析:因为角α的终边与单位圆的交点为(-,-),
所以cos α=-,sin α=-,所以==.故选C.
6.(多选题)若P(x,)是角α终边上一点,且cos α=x,则x的值可以是( ACD )
A.0 B.1 C.- D.
解析:由题意得cos α==x,
当x=0时,上式成立;
当x≠0时,=.
则x2=3,所以x=±.故选ACD.
7.sin = ,cos 2π= .
解析:由于角的终边与单位圆的交点坐标为(0,-1),因此sin=-1,
由于角2π的终边与单位圆的交点坐标为(1,0),因此cos 2π=1.
答案:-1 1
8.已知角α的终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sin α+sin β= .
解析:因为角α的终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,所以P(1,2).
因为角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,所以Q(1,-2).
由正弦函数、余弦函数的定义可知sin α=,sin β=-,所以sin α+sin β=-=0.
答案:0
能力提升
9.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cos θ=,则实数a的值是( B )
A.-2 B. C.-2或 D.1
解析:由题设得=且2a+1>0,即a>-,所以=,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=,结合a>-可知a=.故选B.
10.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=3x上,则sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ的值为( A )
A. B.- C.- D.
解析:由于直线y=3x经过第一、第三象限,故角θ的终边在第一或第三象限.
①若角θ的终边在第一象限,在角θ的终边上任意取一点(1,3),则由任意角的三角函数的定义,可得sin θ=,cos θ=,故sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=;
②若角θ的终边在第三象限,在角 θ的终边上任意取一点(-1,-3),则由任意角的三角函数的定义,可得sin θ=-,cos θ=-,故sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=.综上,所求的值为.故选A.
11.单位圆上一点P从(0,1)出发,按逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为( A )
A.(-,) B.(,)
C.(,-) D.(-,)
解析:点P从(0,1)出发,沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点Q,所以∠QOx=+=, 所以Q(cos ,sin ),
其中cos =-,sin =,即点Q的坐标为(-,).故选A.
12.(多选题)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0),则2sin α-
cos α的值可以是( AD )
A.- B. C.- D.
解析:若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0),
则cos α===
sin α===
所以2sin α-cos α=
故选AD.
13.在平面直角坐标系xOy中,角α终边上有一点P(-1,),则与角α终边相同的角的集合为 .
解析:角α终边上有一点P(-1,),则点P在第二象限,
sin α=,cos α=-,
解得α的一个值为,
则与角α终边相同的角的集合为{β|β=2kπ+,k∈Z}.
答案:{β|β=2kπ+,k∈Z}
14.已知角α的终边落在直线x+y=0上,求sin α,cos α的值.
解:法一 由
解得或
从而或
法二 直线x+y=0,即y=-x,经过第二、第四象限.
在第二象限取直线上的一点P0(-1,),则r=|OP0|==2(O为坐标原点),
所以sin α=,cos α=-;
在第四象限取直线上一点P1(1,-),则r=|OP1|==2,
所以sin α=-,cos α=.综上,sin α=,
cos α=-或sin α=-,cos α=.
应用创新
15.在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点M(m,n)(m>0,n>0),且cos α=.
(1)求的值;
(2)求的值.
解:(1)由题知cos α==,
又m>0,n>0,所以=.
(2)由sin2α+cos2α=1,
得sin α=或sin α=-(舍去),
则==.§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
学习目标
1.掌握单位圆中的正弦函数、余弦函数的定义,提高数学抽象的核心素养.
2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,提高数学抽象的核心素养.
知识探究
知识点1 锐角的正弦函数和余弦函数
在平面直角坐标系中,把锐角α的顶点放在坐标原点,角的始边放在x轴的非负半轴上,角α的终边与单位圆交于点P(u,v)(如图),则v=sin α,u=cos α.
[思考1] 单位圆上任意一点P(u,v)的坐标满足u2+v2=1,从这个事实出发,你能得到什么结论
提示:sin2α+cos2α=1.
[思考2] 怎样理解单位圆
提示:在平面直角坐标系中,以坐标原点为圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆.
知识点2 任意角的正弦函数和余弦函数
(1)单位圆中正弦函数、余弦函数的定义.
在平面直角坐标系中,把任意角α的顶点放在坐标原点、始边放在x轴的非负半轴上,角α的终边与单位圆交于点P(u,v),则把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值,记作v=sin α;把点P的横坐标u叫作角α的余弦值,记作u=cos α(如图).
(2)角α的正弦函数、余弦函数的定义.
设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α=,cos α=,其中r=.
[思考3] 根据三角函数的定义,角α的正弦与余弦与点的选取有关系吗
提示:没有.
知识点3 特殊角的正弦函数值、余弦函数值
α 0
y=sin α 0 1
y=cos α 1 0 - -
α π 2π
y=sin α 0 - - -1 - - 0
y=cos α -1 - - 0 1
注意:该表格解答了教材第16页[思考交流],上述特殊角对应的正弦、余弦函数值在解题中经常遇到,牢记它们解题可事半功倍.
探究点一 单位圆与三角函数的定义
[例1] 在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(,),则sin α等于( )
A. B. C. D.
[针对训练] 在平面直角坐标系中,已知sin α=-,cos α=,那么角α的终边与单位圆的交点坐标为( )
A.(,-) B.(-,)
C.(-,) D.(,-)
探究点二 任意角的正弦函数和余弦函数
角度1 利用任意角的正弦函数和余弦函数定义求值
[例2] 已知角α的终边经过点P(m,-6),且cos α=-,则m等于( )
A.-8 B.±8 C.±4 D.4
[针对训练] 若角α的终边经过点P(a,-a)(a>0),则sin α等于( )
A.- B.- C. D.
角度2 三角函数定义的应用
[例3] 若角750°的终边上有一点P(a,3),则a的值是( )
A. B.3 C.- D.-3
利用正弦函数、余弦函数的定义,求一个角的正弦值、余弦值,需要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r.特别注意,当点的坐标含有参数时,应分类讨论.
[针对训练] 已知角α的顶点与原点重合,始边与 x轴非负半轴重合,终边在直线x-y=0上,则角α的余弦值为 .
当堂检测
1.在平面直角坐标系xOy中,角α以x轴的非负半轴为始边,点P(-,1)在角α的终边上,则cos α等于( )
A.- B.- C.- D.-
2.(多选题)已知角α的终边过点P(x,1),且cos α=,则x的值可以是( )
A.± B.±1 C.± D.0
3.已知角α的终边经过点P(-3m,4m)(m>0),则sin α-cos α的值为 .
4.角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,α=,则角α的终边与单位圆的交点坐标为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
单位圆与正弦函数、余弦函数 1,2,5
任意角的正弦、余弦函数 3,4,6,7,8,9,12,14
综合应用 10,11,13,15
基础巩固
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cos α的值为( )
A. B.-
C. D.-
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若
∠AOP=θ,则点P的坐标是( )
A.(cos θ,sin θ)
B.(-cos θ,sin θ)
C.(sin θ,cos θ)
D.(-sin θ,cos θ)
3.已知角α的终边经过点P(2,-1),则sin α+cos α等于( )
A. B.- C. D.-
4.已知点P(2cos ,1)是角α终边上一点,则sin α等于( )
A. B. C. D.
5.已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(-,-),则等于( )
A.-7 B.- C. D.7
6.(多选题)若P(x,)是角α终边上一点,且cos α=x,则x的值可以是( )
A.0 B.1 C.- D.
7.sin = ,cos 2π= .
8.已知角α的终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sin α+sin β= .
能力提升
9.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cos θ=,则实数a的值是( B )
A.-2 B. C.-2或 D.1
10.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=3x上,则sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ的值为( )
A. B.- C.- D.
11.单位圆上一点P从(0,1)出发,按逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为( )
A.(-,) B.(,)
C.(,-) D.(-,)
12.(多选题)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0),则2sin α-
cos α的值可以是( )
A.- B. C.- D.
13.在平面直角坐标系xOy中,角α终边上有一点P(-1,),则与角α终边相同的角的集合为 .
14.已知角α的终边落在直线x+y=0上,求sin α,cos α的值.
应用创新
15.在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点M(m,n)(m>0,n>0),且cos α=.
(1)求的值;
(2)求的值.
