4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
学习目标
1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质,提高数学抽象与直观想象的核心素养.
2.通过掌握正弦函数、余弦函数的符号,提高逻辑推理与数学抽象的核心素养.
知识探究
知识点1 正弦函数、余弦函数的性质
性质 正弦函数(v=sin α) 余弦函数(u=cos α)
定义域 R
值域 [-1,1]
最小值 当α=2kπ-,k∈Z时,vmin=-1 当α=(2k+1)π,k∈Z时,umin=-1
最大值 当α=2kπ+,k∈Z时,vmax=1 当α=2kπ,k∈Z时,umax=1
周期性 周期函数,最小正周期为2π
单调性 在区间[2kπ-,2kπ+],k∈Z上单调递增; 在区间[2kπ+,2kπ+],k∈Z上单调递减 在区间[2kπ,2kπ+π],k∈Z上单调递减; 在区间[2kπ+π,2kπ+2π],k∈Z上单调递增
知识点2 正弦函数值和余弦函数值的符号
三角函数 角α终边所在象限
一 二 三 四
sin α + + - -
cos α + - - +
正弦函数、余弦函数的记忆口诀
正弦:一二象限正,三四象限负.
余弦:一四象限正,二三象限负.
探究点一 正弦函数、余弦函数的性质
角度1 正弦函数、余弦函数的定义域
[例1] 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.
(1)sin α≥;
(2)cos α≤-.
利用单位圆解三角不等式的方法
(1)求解形如sin α≥a,sin α≤a(|a|<1)的不等式的具体方法:
①如图(a),画出单位圆;
②在y轴上截取OM=|a|,过点M(0,a)作y轴的垂线,交单位圆于P,P′两点,作射线OP,OP′;
③写出以射线OP与OP′为终边的角;
④图(a)中阴影部分(包括边界)为满足不等式sin α≤a的角α的终边的范围,空白部分(包括边界)为满足不等式sin α≥a的角α的终边的范围.
(2)求解形如cos α≥a,cos α≤a(|a|<1)的不等式的具体方法:
①如图(b),画出单位圆;
②在x轴上截取OM=|a|,过点M(a,0)作x轴的垂线,交单位圆于P,P′两点,作射线OP,OP′;
③写出以射线OP与OP′为终边的角;
④图(b)中阴影部分(包括边界)为满足不等式cos α≤a的角α的终边的范围,空白部分(包括边界)为满足不等式cos α≥a的角α的终边的范围.
[针对训练] 求下列函数的定义域.
(1)u=;
(2)v=lg(-sin α).
角度2 正弦函数、余弦函数的值域与最值
[例2] (1)求函数v=-2sin α,α∈[-,)的值域;
(2)求函数u=-cos α,α∈[,]的最大值和最小值,并写出取得最大值和最小值时的自变量α的值.
利用单位圆求解正弦函数、余弦函数在给定区间上的最值的方法是作出正弦函数、余弦函数在给定区间上的端点对应的角与单位圆的交点,结合区间的特征确定正弦函数、余弦函数的最值.
[针对训练] 求下列函数的值域.
(1)y=sin x,x∈[-,];
(2)y=-2cos x,x∈(,).
角度3 正弦函数、余弦函数的单调性
[例3] (1)在区间[0,2π]上,使y=sin x与y=cos x都单调递减的区间是( )
A.[0,] B.[,π]
C.[π,] D.[,2π]
(2)求下列函数的单调区间.
①y=2sin x,x∈[-π,π];
②y=-cos x,x∈[-,π].
利用单位圆、正弦函数和余弦函数的定义,即可得出在某个指定的区间上正弦函数、余弦函数的单调区间.
[针对训练] 求下列函数的单调性、最大值和最小值以及取得最大值和最小值时的自变量α的值.
(1)v=sin α,α∈[-,π];
(2)u=cos α,α∈[-π,].
探究点二 正弦函数值和余弦函数值的符号
角度1 利用三角函数值的符号判断角的终边位置
[例4] (1)坐标平面内点P的坐标为(sin 5,cos 5),则点P位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知sin α=-,cos α=-,则角α所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[针对训练] 若三角形的两个内角α,β满足sin α·cos β<0,则此三角形必为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都可能
角度2 利用三角函数值的符号求值
[例5] (多选题)设角α的终边不在坐标轴上,则y=+的值可以为( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
利用单位圆中正弦函数、余弦函数的定义以及坐标系中各个象限中横坐标、纵坐标的正负情况,即可由角α的终边确定正弦函数值和余弦函数值的符号.
[针对训练] 当角α为第三象限角时,-的值是( )
A.1 B.0 C.2 D.-2
当堂检测
1.函数y=2-sin x取最大值时,y,x的值分别为( )
A.y=3,x=
B.y=1,x=+2kπ(k∈Z)
C.y=3,x=-+2kπ(k∈Z)
D.y=3,x=+2kπ(k∈Z)
2.若sin θA.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(多选题)若函数f(x)=acos x+b的最大值是4,最小值是-2,则a-b的值为( )
A.3 B.1 C.2 D.-4
4.(1)函数y=的定义域为 ;
(2)函数y=的值域为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
正弦、余弦函数的简单性质 2,5,6,8,11
正弦、余弦函数值的符号 1,3,4,12
正弦、余弦函数简 单性质的综合应用 7,9,10
基础巩固
1.若-<α<0,则Q(sin α,cos α)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若sin x=2m+3,且x∈[-,],则m的取值范围为( )
A.[-,] B.[-,-]
C.[-,-] D.[-,]
3.若α=3,则( )
A.sin α>0,cos α>0 B.sin α>0,cos α<0
C.sin α<0,cos α>0 D.sin α<0,cos α<0
4.设α是第二象限角,且|cos|=-cos,则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.(多选题)函数y=sin x和y=cos x具有相同单调性的区间是( )
A.(0,) B.(,π)
C.(-π,-) D.(-,0)
6.y=2sin 2x在x∈[-,]上的最大值为 ,最小值为 .
7.函数y=+lg(cos x)的定义域是 .
能力提升
8.(多选题)已知函数f(x)=sin x+1,则( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)是奇函数
C.f(x)的图象关于直线x=π轴对称
D.f(x)的值域为[0,2]
9.使lg(sin θ·cos θ)+ 有意义的θ为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
10.函数y=(sin x-2)2+1的值域为 .
11.求下列函数的单调区间和值域,并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值.
(1)y=-sin x,x∈[,π];
(2)y=cos x,x∈[-π,π].
应用创新
12.(多选题)若sin xcos x>0,sin x+cos x>0,则可以是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
学习目标
1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质,提高数学抽象与直观想象的核心素养.
2.通过掌握正弦函数、余弦函数的符号,提高逻辑推理与数学抽象的核心素养.
知识探究
知识点1 正弦函数、余弦函数的性质
性质 正弦函数(v=sin α) 余弦函数(u=cos α)
定义域 R
值域 [-1,1]
最小值 当α=2kπ-,k∈Z时,vmin=-1 当α=(2k+1)π,k∈Z时,umin=-1
最大值 当α=2kπ+,k∈Z时,vmax=1 当α=2kπ,k∈Z时,umax=1
周期性 周期函数,最小正周期为2π
单调性 在区间[2kπ-,2kπ+],k∈Z上单调递增; 在区间[2kπ+,2kπ+],k∈Z上单调递减 在区间[2kπ,2kπ+π],k∈Z上单调递减; 在区间[2kπ+π,2kπ+2π],k∈Z上单调递增
知识点2 正弦函数值和余弦函数值的符号
三角函数 角α终边所在象限
一 二 三 四
sin α + + - -
cos α + - - +
正弦函数、余弦函数的记忆口诀
正弦:一二象限正,三四象限负.
余弦:一四象限正,二三象限负.
探究点一 正弦函数、余弦函数的性质
角度1 正弦函数、余弦函数的定义域
[例1] 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.
(1)sin α≥;
(2)cos α≤-.
解:(1)作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域[图(a)阴影部分]即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域[图(b)阴影部分]即为角α终边的范围,
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
利用单位圆解三角不等式的方法
(1)求解形如sin α≥a,sin α≤a(|a|<1)的不等式的具体方法:
①如图(a),画出单位圆;
②在y轴上截取OM=|a|,过点M(0,a)作y轴的垂线,交单位圆于P,P′两点,作射线OP,OP′;
③写出以射线OP与OP′为终边的角;
④图(a)中阴影部分(包括边界)为满足不等式sin α≤a的角α的终边的范围,空白部分(包括边界)为满足不等式sin α≥a的角α的终边的范围.
(2)求解形如cos α≥a,cos α≤a(|a|<1)的不等式的具体方法:
①如图(b),画出单位圆;
②在x轴上截取OM=|a|,过点M(a,0)作x轴的垂线,交单位圆于P,P′两点,作射线OP,OP′;
③写出以射线OP与OP′为终边的角;
④图(b)中阴影部分(包括边界)为满足不等式cos α≤a的角α的终边的范围,空白部分(包括边界)为满足不等式cos α≥a的角α的终边的范围.
[针对训练] 求下列函数的定义域.
(1)u=;
(2)v=lg(-sin α).
解:(1)要使函数有意义,则2cos α-1≥0,
所以cos α≥.
如图(a),作直线x=与单位圆相交于点A,B,且∠xOA=,∠xOB=-,终边落在图中所示的阴影区域内的每一个角α,其余弦值均大于或等于,因而满足cos α≥的角的集合为{α|-+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z},所以原函数定义域为[-+2kπ,+2kπ](k∈Z).
(2)为使v=lg(-sin α)有意义,则-sin α>0,所以 sin α<,所以角α的终边所在区域如图(b)所示.
所以2kπ-<α<2kπ+,k∈Z,
所以原函数的定义域是(2kπ-,2kπ+)(k∈Z).
角度2 正弦函数、余弦函数的值域与最值
[例2] (1)求函数v=-2sin α,α∈[-,)的值域;
(2)求函数u=-cos α,α∈[,]的最大值和最小值,并写出取得最大值和最小值时的自变量α的值.
解:(1)
在单位圆中,[-,)范围内的角如图(a)中阴影部分所示.
α=-∈[-,),
此时
vmax=-2sin(-)=2;
α=∈[-,),
此时vmin=-2sin =-2.
结合单位圆知函数的值域为[-2,2].
(2)在平面直角坐标系的单位圆中,[,]范围内的角如图(b)中阴影部分所示.
所以当α=π时,u=-cos α 取到最大值.
当α=时,u=-cos α取到最小值,为-cos =-×=-.
利用单位圆求解正弦函数、余弦函数在给定区间上的最值的方法是作出正弦函数、余弦函数在给定区间上的端点对应的角与单位圆的交点,结合区间的特征确定正弦函数、余弦函数的最值.
[针对训练] 求下列函数的值域.
(1)y=sin x,x∈[-,];
(2)y=-2cos x,x∈(,).
解:(1)函数y=sin x在区间[-,]上单调递增,在区间[,]上单调递减.
又sin =1,sin(-)=-,sin =,故函数y=sin x的值域为[-,1].
(2)函数y=cos x在区间(,π]上单调递减,在区间[π,)上单调递增,
又cos π=-1,cos =,cos =-,
故函数y=cos x的值域为[-1,).
所以函数y=-2cos x的值域为(-,2].
角度3 正弦函数、余弦函数的单调性
[例3] (1)在区间[0,2π]上,使y=sin x与y=cos x都单调递减的区间是( )
A.[0,] B.[,π]
C.[π,] D.[,2π]
(2)求下列函数的单调区间.
①y=2sin x,x∈[-π,π];
②y=-cos x,x∈[-,π].
(1)解析:在区间[0,2π]上,y=sin x的单调递减区间是[,],y=
cos x的单调递减区间是[0,π],所以y=sin x和y=cos x都单调递减的区间是[,]∩[0,π]=[,π].
故选B.
(2)解:①函数y=2sin x与函数y=sin x,x∈[-π,π]的单调性相同,
结合单位圆可知函数y=sin x,x∈[-π,π]在[-π,-]上单调递减,在[-,]上单调递增,在[,π]上单调递减,
所以函数y=2sin x,x∈[-π,π]的单调递减区间为[-π,-]和
[,π],单调递增区间为[-,].
②函数y=-cos x,x∈[-,π]与函数y=cos x,x∈[-,π]的单调性相反,
结合单位圆可知函数y=cos x,x∈[-,π]在[-,0]上单调递增,
在[0,π]上单调递减,
所以函数y=-cos x,x∈[-,π]的单调递减区间为[-,0],单调递增区间为[0,π].
利用单位圆、正弦函数和余弦函数的定义,即可得出在某个指定的区间上正弦函数、余弦函数的单调区间.
[针对训练] 求下列函数的单调性、最大值和最小值以及取得最大值和最小值时的自变量α的值.
(1)v=sin α,α∈[-,π];
(2)u=cos α,α∈[-π,].
解:(1)由图(a)可知,v=sin α在[-,]上单调递增,在[,π]上单调递减,且当α=时,v=sin α取最大值1,当α=-时,v=sin α取最小值-.
(2)由图(b)可知,u=cos α在[-π,0]上单调递增,在[0,]上单调递减,且当α=-π时取最小值-1,当α=0时取最大值1.
探究点二 正弦函数值和余弦函数值的符号
角度1 利用三角函数值的符号判断角的终边位置
[例4] (1)坐标平面内点P的坐标为(sin 5,cos 5),则点P位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知sin α=-,cos α=-,则角α所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:(1)因为<5<2π,
所以sin 5<0,cos 5>0,
则点P位于第二象限.
故选B.
(2)由sin α=-<0得角α的终边在第三或第四象限;由cos α=-<0得角α的终边在第二或第三象限.综上,角α所在的象限是第三象限.故选C.
[针对训练] 若三角形的两个内角α,β满足sin α·cos β<0,则此三角形必为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都可能
解析:由题意α,β∈(0,π),所以sin α>0,因为sin α·cos β<0,则cos β<0,所以β∈(,π),故此三角形为钝角三角形.故选B.
角度2 利用三角函数值的符号求值
[例5] (多选题)设角α的终边不在坐标轴上,则y=+的值可以为( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
解析:当α是第一象限角时,sin α,cos α均为正值,
所以+=2;
当α是第二象限角时,sin α为正值,cos α为负值,
所以+=0;
当α是第三象限角时,sin α,cos α均为负值,所以+=-2;
当α是第四象限角时,sin α为负值,cos α为正值,
所以+=0.
综上可知,y的值可以为-2,0,2.
故选ABD.
利用单位圆中正弦函数、余弦函数的定义以及坐标系中各个象限中横坐标、纵坐标的正负情况,即可由角α的终边确定正弦函数值和余弦函数值的符号.
[针对训练] 当角α为第三象限角时,-的值是( )
A.1 B.0 C.2 D.-2
解析:因为角α为第三象限角,所以sin α<0,cos α<0,所以-=--=0.故选B.
当堂检测
1.函数y=2-sin x取最大值时,y,x的值分别为( C )
A.y=3,x=
B.y=1,x=+2kπ(k∈Z)
C.y=3,x=-+2kπ(k∈Z)
D.y=3,x=+2kπ(k∈Z)
解析:当sin x=-1,即x=-+2kπ(k∈Z)时,y取得最大值3.故选C.
2.若sin θA.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由条件可知sin θ<0,cos θ>0,则θ为第四象限角.故选D.
3.(多选题)若函数f(x)=acos x+b的最大值是4,最小值是-2,则a-b的值为( CD )
A.3 B.1 C.2 D.-4
解析:当a>0时,f(x)max=a+b=4,f(x)min=-a+b=-2,解得a=3,b=1,a-b=2;当a<0时,f(x)max=-a+b=4,f(x)min=a+b=-2,解得a=-3,b=1,a-b=-4.综上a-b=2或-4.故选CD.
4.(1)函数y=的定义域为 ;
(2)函数y=的值域为 .
解析:(1)由题意,得cos x≠0,
所以题中函数的定义域为(kπ-,kπ+)(k∈Z).
(2)y===-1+,因为sin x∈[-1,1],
所以2-sin x∈[1,3],所以∈[,1],
所以-1+∈[-,0],
即∈[-,0].
答案:(1)(kπ-,kπ+)(k∈Z)
(2)[-,0]
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
正弦、余弦函数的简单性质 2,5,6,8,11
正弦、余弦函数值的符号 1,3,4,12
正弦、余弦函数简 单性质的综合应用 7,9,10
基础巩固
1.若-<α<0,则Q(sin α,cos α)所在的象限是( B )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为-<α<0,所以cos α>0,sin α<0,
所以点Q(sin α,cos α)在第二象限.故选B.
2.若sin x=2m+3,且x∈[-,],则m的取值范围为( C )
A.[-,] B.[-,-]
C.[-,-] D.[-,]
解析:因为x∈[-,],所以sin x∈[-,],即-≤2m+3≤,
所以-≤m≤-.
故选C.
3.若α=3,则( B )
A.sin α>0,cos α>0 B.sin α>0,cos α<0
C.sin α<0,cos α>0 D.sin α<0,cos α<0
解析:因为<α=3<π,所以α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0.
故选B.
4.设α是第二象限角,且|cos|=-cos,则是( C )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:因为α是第二象限角,所以是第一或第三象限角,
因为|cos|=-cos,所以cos<0,即是第三象限角.故选C.
5.(多选题)函数y=sin x和y=cos x具有相同单调性的区间是( BD )
A.(0,) B.(,π)
C.(-π,-) D.(-,0)
解析:
A × y=sin x在(0,)上单调递增,y=cos x在(0,)上单调递减
B √ y=sin x在(,π)上单调递减,y=cos x在(,π)上单调递减
C × y=sin x在(-π,-)上单调递减,y=cos x在(-π,-)上单调递增
D √ y=sin x在(-,0)上单调递增,y=cos x在 (-,0)上单调递增
6.y=2sin 2x在x∈[-,]上的最大值为 ,最小值为 .
解析:因为-≤x≤,所以-≤2x≤.结合单位圆可知;当2x=-时,ymin=2sin(-)=-1,当2x=时,ymax=2sin=2.
答案:2 -1
7.函数y=+lg(cos x)的定义域是 .
解析:由
得x∈[2kπ,2kπ+)(k∈Z).
答案:[2kπ,2kπ+)(k∈Z)
能力提升
8.(多选题)已知函数f(x)=sin x+1,则( AD )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)是奇函数
C.f(x)的图象关于直线x=π轴对称
D.f(x)的值域为[0,2]
解析:对于A,由正弦型函数的性质,可得f(x)的最小正周期为T=2π,所以A正确;对于B,由f(-x)=-sin x+1≠-f(x),所以f(x)不是奇函数,所以B错误;对于C,由f(π)=sin π+1=1不是函数f(x)的最值,所以f(x)的图象不关于直线x=π轴对称,所以C错误;对于D,由-1≤sin x≤1,可得0≤sin x+1≤2,所以函数f(x)的值域为[0,2],所以D正确.故选AD.
9.使lg(sin θ·cos θ)+ 有意义的θ为( C )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:依题意sin θcos θ>0且-cos θ≥0,由sin θcos θ>0得sin θ与cos θ同号,则θ为第一、第三象限角,由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二、第三象限角或角θ的终边在y轴或者x轴的负半轴上,所以θ为第三象限角.
故选C.
10.函数y=(sin x-2)2+1的值域为 .
解析:设t=sin x,
则有y=(t-2)2+1,t∈[-1,1],
所以当t=-1时,y=(t-2)2+1取得最大值10;
当t=1时,y=(t-2)2+1取得最小值2,
所以y=(sin x-2)2+1的值域为[2,10].
答案:[2,10]
11.求下列函数的单调区间和值域,并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值.
(1)y=-sin x,x∈[,π];
(2)y=cos x,x∈[-π,π].
解:(1)y=-sin x,x∈[,π]的单调递减区间为[,],单调递增区间为[,π].
当x=时,ymin=-1;当x=π时,ymax=0.故函数y=-sin x,x∈[,π]的值域为[-1,0].
(2)y=cos x,x∈[-π,π]的单调递减区间为[0,π],
单调递增区间为[-π,0].
当x=0时,ymax=1;当x=-π或π时,ymin=-1.
故函数y=cos x,x∈[-π,π]的值域为[-1,1].
应用创新
12.(多选题)若sin xcos x>0,sin x+cos x>0,则可以是( AC )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:因为sin xcos x>0,sin x+cos x>0,
所以sin x>0,cos x>0,故x是第一象限角,
由2kπ得kπ<当k为偶数时,是第一象限角;
当k为奇数时,是第三象限角.故选AC.
