4.3 诱导公式与对称
4.4 诱导公式与旋转
学习目标
1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用,能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题,提升数学运算的核心素养.
2.理解诱导公式的推导过程,提高直观想象与逻辑推理的核心素养.
知识探究
知识点1 诱导公式与对称
(1)角α与-α的正弦函数、余弦函数关系.
sin(-α)=-sin α,正弦函数为奇函数;
cos(-α)=cos α,余弦函数为偶函数.
[思考1] 如果角α,β的终边关于x轴对称,你能得出角α,β的正弦函数、余弦函数的一个关系吗
提示:sin α=-sin β,cos α=cos β.
(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系.
sin(α±π)=-sin α,cos(α±π)=-cos α.
[思考2] 如果角α,β的终边关于坐标原点对称,你能得出角α,β的正弦函数、余弦函数的一个关系吗
提示:sin α=-sin β,cos α=-cos β.
(3)角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系.
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
[思考3] 如果角α,β的终边关于y轴对称,你能得出角α,β的正弦函数、余弦函数的一个关系吗
提示:sin α=sin β,cos α=-cos β.
问题1:如图,作P1关于直线y=x的对称点P2,以OP2为终边的角-α与角α有什么关系
提示:它们的终边关于直线y=x对称.
问题2:若设任意角α的终边与单位圆O的交点P1的坐标为(x,y),那么角-α的终边与单位圆O的交点P2的坐标是什么
提示:点P2的坐标为(y,x).
知识点2 角α与角α+的正弦函数、余弦函数关系
sin(α+)=cos α,cos(α+)=-sin α.
[思考4] 角α与角α-的正弦函数、余弦函数关系如何
提示:sin(α-)=-cos α,cos(α-)=sin α.
探究点一 利用诱导公式与对称求值
[例1] (1)cos 3 000°的值为( )
A. B.- C. D.-
(2)若角α顶点在原点,始边在x轴的非负半轴上,终边上一点P的坐标为(sin ,cos ),则角α为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
把sin β,cos β中的角β,写成-β,π±α(α∈[0,]),利用诱导公式,得出sin β,cos β与sin α,cos α的关系,达到求值的目的.
[针对训练] (1)cos 等于( )
A.- B.- C. D.
(2)cos(-210°)等于( )
A. B.- C. D.-
探究点二 利用诱导公式与旋转求值
[例2] 设角α的终边过点(1,-2),则等于( )
A. B.1 C.-1 D.-3
当α+β=±或者α-β=±时,考虑使用α±,±α的诱导公式.
[针对训练] (1)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边经过点P(4,-3),则sin(+α)·cos(-α)的值是( )
A.- B. C.- D.
(2)若角α的终边上一点的坐标为(,),将角α的终边按逆时针旋转得到角β,则sin β= .
探究点三 利用诱导公式求解条件求值问题
[例3] 已知cos(-α)=,求cos(+α)+sin2[+(α-)]的值.
[变式探究] (1)本例题中条件不变,求cos(+α)-sin2(α-)的值;
(2)本例题中的条件不变,求cos(-α)+sin2(α-)的值.
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
(3)结合单位圆与正弦、余弦的关系可知sin2α+cos2α=1是求值问题中常见的关系式.
当堂检测
1.已知角α的终边与单位圆的交点P(,),则sin(π-α)等于( )
A.- B.- C. D.
2.已知cos(-α)=,则sin(α+)等于( )
A.± B. C.- D.
3.下列各项与sin(-α)一定相等的是( )
A.cos(α-) B.sin(-α)
C.cos(π-α) D.sin(α+)
4.sin 315°-cos 135°+2sin 570°的值是 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
诱导公式与对称 5,6,7,9
诱导公式与旋转 1,2,3,8,10
诱导公式的综合应用 4,11,12,13,14
基础巩固
1.已知sin(+α)=,则cos α等于( )
A.- B. C.- D.
2.已知cos(α+37°)=,则sin(53°-α)等于( )
A. B.- C.- D.
3.已知角α的终边经过点P(-2,1),则cos(α+)的值为( )
A. B. C.- D.-
4.已知sin(π+α)+cos(+α)=-m,那么cos(-α)+2sin(2π-α)的值为( )
A.-m B.m C.-m D.m
5.(多选题)下列选项中与cos θ的值不恒相等的有( )
A.cos(-θ) B.cos(θ+π)
C.sin(θ-) D.sin(π-θ)
6.已知角α的终边与单位圆相交于点P(-,),则化简= .
7.如果A为△ABC的内角,sin(π+A)=-,那么cos(π-A)= .
能力提升
8.在平面直角坐标系中,已知角α的终边与单位圆交于点P(-,-),将角α的终边顺时针旋转后得到角β,则角β的终边与单位圆的交点坐标为( )
A.(-,) B.(-,)
C.(,-) D.(,-)
9.(多选题)已知n∈Z,则下列函数中,与 sin数值相同的是( )
A.sin(nπ+) B.cos(2nπ+)
C.sin(2nπ+) D.cos[(2n+1)π-]
10.已知α∈(-π,π),且sin α=-cos ,则α的值是( )
A.或 B.或-
C.-或 D.-或-
11.已知f(α)=,则f()= .
12.在平面直角坐标系xOy中,锐角α的顶点是坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边交单位圆于点A(,y0).将角α的终边按逆时针方向旋转得到角β.求:
(1)sin α与sin β的值;
(2)的值.
应用创新
13.计算cos +cos +cos +cos +cos +cos 等于( )
A.0 B.1 C.2 D.-14.3 诱导公式与对称
4.4 诱导公式与旋转
学习目标
1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用,能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题,提升数学运算的核心素养.
2.理解诱导公式的推导过程,提高直观想象与逻辑推理的核心素养.
知识探究
知识点1 诱导公式与对称
(1)角α与-α的正弦函数、余弦函数关系.
sin(-α)=-sin α,正弦函数为奇函数;
cos(-α)=cos α,余弦函数为偶函数.
[思考1] 如果角α,β的终边关于x轴对称,你能得出角α,β的正弦函数、余弦函数的一个关系吗
提示:sin α=-sin β,cos α=cos β.
(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系.
sin(α±π)=-sin α,cos(α±π)=-cos α.
[思考2] 如果角α,β的终边关于坐标原点对称,你能得出角α,β的正弦函数、余弦函数的一个关系吗
提示:sin α=-sin β,cos α=-cos β.
(3)角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系.
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
[思考3] 如果角α,β的终边关于y轴对称,你能得出角α,β的正弦函数、余弦函数的一个关系吗
提示:sin α=sin β,cos α=-cos β.
问题1:如图,作P1关于直线y=x的对称点P2,以OP2为终边的角-α与角α有什么关系
提示:它们的终边关于直线y=x对称.
问题2:若设任意角α的终边与单位圆O的交点P1的坐标为(x,y),那么角-α的终边与单位圆O的交点P2的坐标是什么
提示:点P2的坐标为(y,x).
知识点2 角α与角α+的正弦函数、余弦函数关系
sin(α+)=cos α,cos(α+)=-sin α.
[思考4] 角α与角α-的正弦函数、余弦函数关系如何
提示:sin(α-)=-cos α,cos(α-)=sin α.
探究点一 利用诱导公式与对称求值
[例1] (1)cos 3 000°的值为( )
A. B.- C. D.-
(2)若角α顶点在原点,始边在x轴的非负半轴上,终边上一点P的坐标为(sin ,cos ),则角α为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:(1)cos 3 000°=cos(8×360°+120°)=cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-.故选B.
(2)由诱导公式得,
sin =sin(+π)=-sin =-,
cos =cos(+π)=-cos =cos =.
因为P(-,)在第二象限,所以角α为第二象限角.故选B.
把sin β,cos β中的角β,写成-β,π±α(α∈[0,]),利用诱导公式,得出sin β,cos β与sin α,cos α的关系,达到求值的目的.
[针对训练] (1)cos 等于( )
A.- B.- C. D.
(2)cos(-210°)等于( )
A. B.- C. D.-
解析:(1)cos =cos (2π+π-)=cos(π-)=-cos=-.故选B.
(2)cos(-210°)=cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-.故选B.
探究点二 利用诱导公式与旋转求值
[例2] 设角α的终边过点(1,-2),则等于( )
A. B.1 C.-1 D.-3
解析:由题意sin α=-,cos α=,
原式==1.
故选B.
当α+β=±或者α-β=±时,考虑使用α±,±α的诱导公式.
[针对训练] (1)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边经过点P(4,-3),则sin(+α)·cos(-α)的值是( )
A.- B. C.- D.
(2)若角α的终边上一点的坐标为(,),将角α的终边按逆时针旋转得到角β,则sin β= .
解析:(1)因为α的终边经过点P(4,-3),
所以sin α==-,cos α=,
所以sin (+α)·cos(-α)=cos αsin α=×(-)=-.故选A.
(2)因为角α的终边上一点的坐标为(,),则cos α=,将角α的终边按逆时针旋转得到角β,则β=+α,故sin β=sin(+α)=
cos α=.
答案:(1)A (2)
探究点三 利用诱导公式求解条件求值问题
[例3] 已知cos(-α)=,求cos(+α)+sin2[+(α-)]的值.
解:因为cos(+α)=cos[π-(-α)]=-cos(-α)=-,
sin2[+(α-)]=cos2(α-)=cos2(-α)=.
所以原式=-+=-.
[变式探究] (1)本例题中条件不变,求cos(+α)-sin2(α-)的值;
(2)本例题中的条件不变,求cos(-α)+sin2(α-)的值.
解:(1)因为cos(+α)=cos[π-(-α)]=-cos(-α)=-,
sin2(α-)=sin2(-α)=1-cos2(-α)=1-()2=,
所以原式=--=-.
(2)因为cos(-α)+sin2(α-)
=cos[π+(-α)]+sin2[(α-)-2π]
=-cos(-α)+sin2(-α),
所以原式=-+=.
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
(3)结合单位圆与正弦、余弦的关系可知sin2α+cos2α=1是求值问题中常见的关系式.
当堂检测
1.已知角α的终边与单位圆的交点P(,),则sin(π-α)等于( C )
A.- B.- C. D.
解析:依题意sin α=,
sin(π-α)=sin α=.故选C.
2.已知cos(-α)=,则sin(α+)等于( D )
A.± B. C.- D.
解析:sin(α+)=sin[-(-α)]=cos(-α)=.故选D.
3.下列各项与sin(-α)一定相等的是( D )
A.cos(α-) B.sin(-α)
C.cos(π-α) D.sin(α+)
解析:sin(-α)=cos α.
对于A,cos(α-)=sin α,故A错误;
对于B,sin(-α)=-cos α,故B错误;
对于C,cos(π-α)=-cos α,故C错误;
对于D,sin(α+)=cos α,故D正确.故选D.
4.sin 315°-cos 135°+2sin 570°的值是 .
解析:sin 315°-cos 135°+2sin 570°
=sin(360°-45°)-cos(180°-45°)+2sin(360°+210°)
=-sin 45°+cos 45°+2sin 210°=2sin(180°+30°)
=-2sin 30°=-1.
答案:-1
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
诱导公式与对称 5,6,7,9
诱导公式与旋转 1,2,3,8,10
诱导公式的综合应用 4,11,12,13,14
基础巩固
1.已知sin(+α)=,则cos α等于( C )
A.- B. C.- D.
解析:因为sin(+α)=-cos α=,
所以cos α=-.故选C.
2.已知cos(α+37°)=,则sin(53°-α)等于( D )
A. B.- C.- D.
解析:sin(53°-α)=sin[90°-(α+37°)]=cos(α+37°)=.故选D.
3.已知角α的终边经过点P(-2,1),则cos(α+)的值为( A )
A. B. C.- D.-
解析:由题意,角α的终边经过点P(-2,1),可得r=|OP|==,
根据正弦函数的定义,可得sin α==,
所以cos(+α)=sin α=.故选A.
4.已知sin(π+α)+cos(+α)=-m,那么cos(-α)+2sin(2π-α)的值为( C )
A.-m B.m C.-m D.m
解析:由sin(π+α)+cos(+α)=-m,即-sin α-sin α=-m,得sin α=m,则cos(-α)+2sin(2π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-m.故选C.
5.(多选题)下列选项中与cos θ的值不恒相等的有( BCD )
A.cos(-θ) B.cos(θ+π)
C.sin(θ-) D.sin(π-θ)
解析:根据三角函数的诱导公式可得,
cos(-θ)=cos θ,cos(θ+π)=-cos θ,sin(θ-)=-cos θ,sin(π-θ)=-cos θ.故选BCD.
6.已知角α的终边与单位圆相交于点P(-,),则化简= .
解析:因为角α的终边与单位圆相交于点P(-,),所以sin α=,cos α=-.
由诱导公式得
=
====-.
答案:-
7.如果A为△ABC的内角,sin(π+A)=-,那么cos(π-A)= .
解析:因为sin(π+A)=-,
所以-sin A=-,即sin A=.
又A为△ABC的内角,即0
所以A=或A=.
因为cos(π-A)=-cos A,cos A=或cos A=-,所以cos(π-A)=-或cos(π-A)=.
答案:±
能力提升
8.在平面直角坐标系中,已知角α的终边与单位圆交于点P(-,-),将角α的终边顺时针旋转后得到角β,则角β的终边与单位圆的交点坐标为( B )
A.(-,) B.(-,)
C.(,-) D.(,-)
解析:由题知sin α=-,cos α=-,且β=α-.
结合诱导公式可得,sin β=sin(α-)=-sin(-α)=-cos α=,cos β=cos(α-)=sin α=-,因此角β的终边与单位圆的交点坐标为(-,).故选B.
9.(多选题)已知n∈Z,则下列函数中,与 sin数值相同的是( BC )
A.sin(nπ+) B.cos(2nπ+)
C.sin(2nπ+) D.cos[(2n+1)π-]
解析:对于A,当n=2k,k∈Z时,
sin(nπ+)=sin(2kπ+)=sin=sin(π+)=-sin,所以A错误;
对于B,cos(2nπ+)=cos =sin ,所以B正确;
对于C,sin(2nπ+)=sin ,所以C正确;
对于D,cos[(2n+1)π-]=cos(2nπ+π-)=cos(π-)=-cos =-sin ,所以D错误.故选BC.
10.已知α∈(-π,π),且sin α=-cos ,则α的值是( D )
A.或 B.或-
C.-或 D.-或-
解析:sin α=-cos =-sin(-)=-sin=sin(-),
因为α∈(-π,π),又sin(-)=sin(-π+)=-sin=sin(-),
所以α=-或α=-.故选D.
11.已知f(α)=,则f()= .
解析:因为f(α)===,
所以f()==2.
答案:2
12.在平面直角坐标系xOy中,锐角α的顶点是坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边交单位圆于点A(,y0).将角α的终边按逆时针方向旋转得到角β.求:
(1)sin α与sin β的值;
(2)的值.
解:(1)因为点A(,y0)在单位圆上,且α为锐角,
所以y0==,sin α=y0=,cos α=.
由题可知β=+α,
所以sin β=sin(α+)=cos α=.
(2)原式==,
由(1)得cos α=,sin α=,sin β=,
又cos β=cos(α+)=-sin α=-,
所以原式==-.
应用创新
13.计算cos +cos +cos +cos +cos +cos 等于( A )
A.0 B.1 C.2 D.-1
解析:原式=(cos +cos )+(cos +cos )+(cos +cos )
=[cos +cos(π-)]+[cos +cos (π-)]+[cos +cos (π-)]
=(cos -cos )+(cos -cos )+(cos -cos )=0.
故选A.