5.2 余弦函数的图象与性质再认识
学习目标
1.会用“五点法”画出余弦函数在[0,2π]上的图象,提升直观想象的核心素养.
2.通过由余弦函数图象得到余弦函数的性质以及性质的应用的过程,提升数学抽象、逻辑推理的核心素养.
知识探究
问题1:利用“五点法”作正弦函数在区间[0,2π]上的图象,“五点”中的横坐标分别是什么
提示:0,,π,,2π.
问题2:借助诱导公式cos x=sin(+x)及正弦函数图象的“五点法”,你能得到作余弦函数在[0,2π]上图象的“五个点”吗
提示:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
问题3:函数y=f(x+a)(a>0)的图象可以由函数y=f(x)的图象怎样平移而得到
提示:将函数y=f(x)的图象沿着x轴向左平移a个单位长度而得到.
知识点1 余弦函数的图象
(1)余弦函数图象的画法.
在区间[0,2π]上取一系列的x值,例如0,,,,…,2π,列表如下:
x 0
y= cos x 1 0 - -
x π 2π
y= cos x -1 - - 0 1
利用表中的数据,先在平面直角坐标系内描点,结合对函数y=cos x性质的了解,用光滑曲线将它们顺次连接起来,就可以得到区间[0,2π]上y=cos x 的图象[如图(a)].
由周期性可知,函数y=cos x在区间[2kπ,2(k+1)π],k∈Z,k≠0上与在区间[0,2π]上的函数图象形状完全相同,只是位置不同.将函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到余弦函数y=cos x,x∈R的图象[如图(b)].余弦函数y=cos x,x∈R的图象称作余弦曲线.
(2)“五点(画图)法”作余弦函数图象的五个关键点为(0,1),(,0),
(π,-1),(,0),(2π,1).
[思考1] 若不利用“五点法”,利用函数y=sin x的图象能够得到函数y=cos x的图象吗
提示:根据cos x=sin(+x),可以将函数y=sin x的图象沿着x轴向左平移 个单位长度而得到.
问题4:(1)观察如下余弦函数y=cos x,x∈R的图象,你能写出函数y=cos x在区间[-π,π]上的单调递增区间和单调递减区间吗
(2)结合余弦函数的周期性,它还有哪些单调区间
提示:(1)函数y=cos x的单调递增区间是[-π,0],单调递减区间是
[0,π].
(2)在[-π,0]及[0,π]的每一个端点上分别加上 ±2π,±4π,±6π,…,都是它的单调区间.
问题5:(1)观察如下余弦曲线的图象,余弦函数是否存在最大值和最小值 若存在,其最大值和最小值分别为多少
(2)在何处余弦函数取得最大值和最小值
提示:(1)存在.余弦函数的最大值和最小值分别是1和-1.
(2)过图象上最高(低)点分别作x轴的垂线,与x轴有无数个交点,在每一个交点处函数分别取得最大(小)值.
知识点2 余弦函数性质的再认识
函数 y=cos x
定义域 R
值域 [-1,1]
奇偶性 偶函数
周期性 周期函数、最小正周期是2π
单调性 在每一个闭区间[2kπ-π,2kπ] (k∈Z)上都单调递增; 在每一个闭区间[2kπ,2kπ+π] (k∈Z)上都单调递减
最大值与 最小值 当x=2kπ(k∈Z)时取最大值1; 当x=2kπ+π(k∈Z)时取最小值-1
[思考2] 观察余弦曲线,你能发现余弦曲线的对称中心与对称轴吗
提示:y=cos x的对称中心是(kπ+,0)(k∈Z),对称轴是直线x=kπ(k∈Z).
探究点一 余弦函数的图象
[例1] 用“五点法”作出函数y=3+2cos x在一个周期内的图象.
类似作正弦函数图象,作余弦函数图象也用“五点法”作出其一个周期内的图象,再根据周期性进行延展.
[针对训练] 作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
探究点二 余弦函数的性质
[例2] 已知f(x)=2+cos x.
(1)判断函数的奇偶性.
(2)求函数的单调区间.
(3)求函数的最小正周期.
对于余弦函数的性质,要善于结合余弦函数图象并类比正弦函数的相关性质进行记忆,其解题方法与正弦函数的对应性质的解题方法一致.
[针对训练] (1)求函数y=1-cos x的单调区间.
(2)利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
①sin 196°与cos 156°;
②cos(-)与cos.
当堂检测
1.下列区间中,是函数y=cos x的一个单调递增区间的是( )
A.[0,π] B.[,]
C.[-,] D.[π,2π]
2.(多选题)已知函数f(x)=|2cos x|,则( )
A.函数f(x)的最小正周期T=2π
B.函数f(x)在(,3π)上单调递增
C.函数f(x)在(-,)上的值域为(0,)
D.函数f(x)的图象关于直线x=2 025 π对称
3.函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A.(,1) B.(π,1)
C.(0,1) D.(2π,1)
4.在[0,2π]上,使cos x≤-成立的x的取值集合为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
余弦函数的图象 8,10
余弦函数的性质 1,3,4,5,6
余弦函数的图象、性质的综合应用 2,7,9,11
基础巩固
1.已知函数y=sin x和y=cos x在区间I上都单调递减,那么区间I可以是( )
A.(0,) B.(,π) C.(π,) D.(,2π)
2.函数y=cos x-2在x∈[-π,π]上的大致图象是( )
A B
C D
3.函数y=2cos x-3的值不可能是( )
A.0 B.-1 C.-3 D.-5
4.y=cos(x-)在[0,]上的值域为 .
5.函数y=的定义域为 .
6.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是 .(用“>”连接)
能力提升
7.(多选题)规定max{a,b}=若函数f(x)=max{sin x,cos x},则( )
A.f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
B.f(x)的值域是[-1,1]
C.当2kπ+π
D.当且仅当x∈[kπ+,kπ+](k∈Z)时,函数f(x)单调递增
8.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内( )
A.没有根 B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根
9.函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是
.
10.函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是 .
11.已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象;
(2)若f(x)=,求x的值;
(3)若a∈R,讨论方程f(x)=a的解的个数.5.2 余弦函数的图象与性质再认识
学习目标
1.会用“五点法”画出余弦函数在[0,2π]上的图象,提升直观想象的核心素养.
2.通过由余弦函数图象得到余弦函数的性质以及性质的应用的过程,提升数学抽象、逻辑推理的核心素养.
知识探究
问题1:利用“五点法”作正弦函数在区间[0,2π]上的图象,“五点”中的横坐标分别是什么
提示:0,,π,,2π.
问题2:借助诱导公式cos x=sin(+x)及正弦函数图象的“五点法”,你能得到作余弦函数在[0,2π]上图象的“五个点”吗
提示:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
问题3:函数y=f(x+a)(a>0)的图象可以由函数y=f(x)的图象怎样平移而得到
提示:将函数y=f(x)的图象沿着x轴向左平移a个单位长度而得到.
知识点1 余弦函数的图象
(1)余弦函数图象的画法.
在区间[0,2π]上取一系列的x值,例如0,,,,…,2π,列表如下:
x 0
y= cos x 1 0 - -
x π 2π
y= cos x -1 - - 0 1
利用表中的数据,先在平面直角坐标系内描点,结合对函数y=cos x性质的了解,用光滑曲线将它们顺次连接起来,就可以得到区间[0,2π]上y=cos x 的图象[如图(a)].
由周期性可知,函数y=cos x在区间[2kπ,2(k+1)π],k∈Z,k≠0上与在区间[0,2π]上的函数图象形状完全相同,只是位置不同.将函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到余弦函数y=cos x,x∈R的图象[如图(b)].余弦函数y=cos x,x∈R的图象称作余弦曲线.
(2)“五点(画图)法”作余弦函数图象的五个关键点为(0,1),(,0),
(π,-1),(,0),(2π,1).
[思考1] 若不利用“五点法”,利用函数y=sin x的图象能够得到函数y=cos x的图象吗
提示:根据cos x=sin(+x),可以将函数y=sin x的图象沿着x轴向左平移 个单位长度而得到.
问题4:(1)观察如下余弦函数y=cos x,x∈R的图象,你能写出函数y=cos x在区间[-π,π]上的单调递增区间和单调递减区间吗
(2)结合余弦函数的周期性,它还有哪些单调区间
提示:(1)函数y=cos x的单调递增区间是[-π,0],单调递减区间是
[0,π].
(2)在[-π,0]及[0,π]的每一个端点上分别加上 ±2π,±4π,±6π,…,都是它的单调区间.
问题5:(1)观察如下余弦曲线的图象,余弦函数是否存在最大值和最小值 若存在,其最大值和最小值分别为多少
(2)在何处余弦函数取得最大值和最小值
提示:(1)存在.余弦函数的最大值和最小值分别是1和-1.
(2)过图象上最高(低)点分别作x轴的垂线,与x轴有无数个交点,在每一个交点处函数分别取得最大(小)值.
知识点2 余弦函数性质的再认识
函数 y=cos x
定义域 R
值域 [-1,1]
奇偶性 偶函数
周期性 周期函数、最小正周期是2π
单调性 在每一个闭区间[2kπ-π,2kπ] (k∈Z)上都单调递增; 在每一个闭区间[2kπ,2kπ+π] (k∈Z)上都单调递减
最大值与 最小值 当x=2kπ(k∈Z)时取最大值1; 当x=2kπ+π(k∈Z)时取最小值-1
[思考2] 观察余弦曲线,你能发现余弦曲线的对称中心与对称轴吗
提示:y=cos x的对称中心是(kπ+,0)(k∈Z),对称轴是直线x=kπ(k∈Z).
探究点一 余弦函数的图象
[例1] 用“五点法”作出函数y=3+2cos x在一个周期内的图象.
解:取值列表:
x 0 π 2π
y=cos x 1 0 -1 0 1
y=3+2cos x 5 3 1 3 5
描点得y=3+2cos x在一个周期内的图象(如图所示).
类似作正弦函数图象,作余弦函数图象也用“五点法”作出其一个周期内的图象,再根据周期性进行延展.
[针对训练] 作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
解:取值列表:
x 0 π 2π
y=cos x 1 0 -1 0 1
y=1-cos x 0 1 2 1 0
描点并用光滑的曲线顺次连接起来,可得函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图,如图所示.
探究点二 余弦函数的性质
[例2] 已知f(x)=2+cos x.
(1)判断函数的奇偶性.
(2)求函数的单调区间.
(3)求函数的最小正周期.
解:(1)因为f(x)=2+cos x的定义域为R,图象关于y轴对称,且f(-x)=f(x),
所以函数f(x)=2+cos x为偶函数.
(2)因为y=cos x在[2kπ-π,2kπ],k∈Z上单调递增,在[2kπ,2kπ+π],k∈Z上单调递减,
所以y=2+cos x的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z,单调递减区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z.
(3)由cos x的周期性知y=2+cos x的最小正周期为2π.
对于余弦函数的性质,要善于结合余弦函数图象并类比正弦函数的相关性质进行记忆,其解题方法与正弦函数的对应性质的解题方法一致.
[针对训练] (1)求函数y=1-cos x的单调区间.
(2)利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
①sin 196°与cos 156°;
②cos(-)与cos.
解:(1)因为-<0,
所以y=1-cos x的单调性与y=cos x的单调性相反.
因为y=cos x的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ],k∈Z,单调递减区间是[2kπ,2kπ+π],k∈Z,
所以y=1-cos x的单调递减区间是[2kπ-π,2kπ],k∈Z,单调递增区间是[2kπ,2kπ+π],k∈Z.
(2)①sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°=-cos 74°,cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°,
因为0°<24°<74°<90°,所以cos 24°>cos 74°,
所以-cos 74°>-cos 24°,
即sin 196°>cos 156°.
②cos(-)=cos(-6π-)=cos ,
cos =cos(16π+)=cos,
因为y=cos x在[0,]上单调递减,
所以cos>cos,
即cos(-)>cos.
当堂检测
1.下列区间中,是函数y=cos x的一个单调递增区间的是( D )
A.[0,π] B.[,]
C.[-,] D.[π,2π]
解析:因为函数y=cos x的单调递增区间是[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,所以结合选项知,函数y=cos x的一个单调递增区间为[π,2π].故选D.
2.(多选题)已知函数f(x)=|2cos x|,则( BD )
A.函数f(x)的最小正周期T=2π
B.函数f(x)在(,3π)上单调递增
C.函数f(x)在(-,)上的值域为(0,)
D.函数f(x)的图象关于直线x=2 025 π对称
解析:因为f(x)=|2cos x|=2|cos x|,如图,作出函数的大致图象,可知函数f(x)的最小正周期T=π,故A错误;由图象可知函数的增区间为[kπ-,kπ](k∈Z),故函数f(x)在(,3π)上单调递增,故B正确;当x∈[-,]时,f(x)∈[0,2],故C错误;因为f(2 025 π)=
2|cos(2 025π)|=2,所以函数f(x)的图象关于直线x=2 025π对称,故D正确.故选BD.
3.函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( B )
A.(,1) B.(π,1)
C.(0,1) D.(2π,1)
解析:画出y=-cos x(x>0)的图象如图所示,由图可知,与y轴最近的最高点的坐标为(π,1).故选B.
4.在[0,2π]上,使cos x≤-成立的x的取值集合为 .
解析:画出y=cos x在[0,2π]上的简图,如图所示.
当cos x=-时,x=或x=.
由图象可知,在[0,2π]上,
使cos x≤-成立的角x的取值集合为{x|≤x≤}.
答案:{x|≤x≤}
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
余弦函数的图象 8,10
余弦函数的性质 1,3,4,5,6
余弦函数的图象、性质的综合应用 2,7,9,11
基础巩固
1.已知函数y=sin x和y=cos x在区间I上都单调递减,那么区间I可以是( B )
A.(0,) B.(,π) C.(π,) D.(,2π)
解析:y=sin x在区间(0,)上单调递增;y=cos x在区间(π,)上单调递增;y=sin x,y=cos x在区间(,2π)上都单调递增.故排除A,C,D.故选B.
2.函数y=cos x-2在x∈[-π,π]上的大致图象是( A )
A B
C D
解析:函数y=cos x-2在x∈[-π,π]上的图象,是余弦函数y=cos x在x∈[-π,π]上的图象向下平移2个单位长度,所以函数y=cos x-2在x∈[-π,π]上的大致图象是选项A.
3.函数y=2cos x-3的值不可能是( A )
A.0 B.-1 C.-3 D.-5
解析:因为-1≤cos x≤1,所以-2≤2cos x≤2,-5≤2cos x-3≤-1,即函数y=2cos x-3的值域为[-5,-1].故函数y=2cos x-3的值不可能是0.故选A.
4.y=cos(x-)在[0,]上的值域为 .
解析:因为0≤x≤,所以-≤x-≤,
所以≤cos(x-)≤1,即y∈[,1].
答案:[,1]
5.函数y=的定义域为 .
解析:由题意得2cos x-≥0,所以cos x≥.
因为cos =cos(-)=,结合余弦函数的图象可得函数的定义域为{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}.
答案:{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}
6.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是 .(用“>”连接)
解析:因为0<1<2<3<π,且y=cos x在[0,π]上单调递减,
所以cos 1>cos 2>cos 3.
答案:cos 1>cos 2>cos 3
能力提升
7.(多选题)规定max{a,b}=若函数f(x)=max{sin x,cos x},则( AC )
A.f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
B.f(x)的值域是[-1,1]
C.当2kπ+πD.当且仅当x∈[kπ+,kπ+](k∈Z)时,函数f(x)单调递增
解析:作出f(x)的图象,如图所示.由图易知A正确,B错误.当且仅当2kπ+π2kπ+或2kπ+≤x≤2kπ+2π,k∈Z时,函数f(x)单调递增,故D错误.故选AC.
8.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内( C )
A.没有根 B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根
解析:求解方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内根的个数问题,可转化为求解函数f(x)=|x|和g(x)=cos x的图象在(-∞,+∞)内的交点个数问题,画出f(x)=|x|和g(x)=cos x的图象如图所示.显然有两个交点,即原方程有且仅有两个根.
故选C.
9.函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是
.
解析:因为y=cos x在区间[-π,0]上单调递增,在区间[0,π]上单调递减,所以只有-π答案:(-π,0]
10.函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是 .
解析:如图所示,将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方,可得一个矩形OABC,其面积为2π×2=4π.
答案:4π
11.已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象;
(2)若f(x)=,求x的值;
(3)若a∈R,讨论方程f(x)=a的解的个数.
解:(1)函数f(x)的图象如图.
(2)当-π≤x<0时,f(x)=cos x=,
解得x=-.
当0≤x≤π时,f(x)=sin x=,
解得x=或.
综上,x=-或或.
(3)方程f(x)=a的解的个数等价于y=f(x)与y=a的图象的交点个数,
则由(1)中函数图象可得,
当a>1或a<-1时,解的个数为0;
当-1≤a<0或a=1时,解的个数为1;
当0≤a<1时,解的个数为3.