§8 三角函数的简单应用
学习目标
1.了解三角函数知识在实际生活中的应用,提高数学建模与数学抽象的核心素养.
2.将实际问题抽象为三角函数模型,提升数学建模与数学抽象的核心素养.
探究点一 匀速圆周运动的数学模型
[例1] 如图,某摩天轮轮盘直径为124 m,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点时距离地面145 m,匀速转动一周大约需要30 min.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过t min后游客甲距离地面的高度为H m,已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+)+B(其中A>0,ω>0,||≤),求摩天轮转动一周的解析式H(t).
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52 m
解:(1)因为该摩天轮轮盘直径为124 m,
且摩天轮最高点距离地面145 m,
所以摩天轮最低点距离地面145-124=21(m),
即H(t)max=145,H(t)min=21,
所以解得
又摩天轮匀速转动一周大约需要30 min,
所以H(t)的最小正周期为T=30,
所以ω===,
所以H(t)=62sin(t+)+83.
又H(0)=62sin +83=21,
所以sin =-1.
因为||≤,
所以=-,
所以H(t)=62sin(t-)+83=-62cost+83,
所以摩天轮转动一周的解析式为
H(t)=-62cost+83(0≤t≤30).
(2)由(1)知,H(t)=-62cost+83(0≤t≤30),
令-62cost+83=52,
解得cost=.
要求摩天轮第一次距离地面的高度为52 m,
所以0≤t≤15,
所以0≤t≤π,
所以t=,
所以t=5.
即游客甲坐上摩天轮后5 min,距离地面的高度第一次恰好达到52 m.
建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤
[针对训练] 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.现有一个筒车按逆时针方向匀速转动.每分钟转动 5圈,如图,将该筒车抽象为圆O,筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P,已知圆O的半径为4 m,圆心O距离水面2 m,且当圆O上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)根据如图所示的平面直角坐标系,将点P到水面的距离h(单位:m,在水面下,h为负数)表示为时间t(单位:s)的函数,并求当t=13时,点P到水面的距离.
(2)在点P从P0开始转动的一圈内,点P到水面的距离不低于4 m的时间有多长
解:(1)筒车按逆时针方向匀速转动.每分钟转动5圈,故筒车每秒转动的角速度为=(rad/s),故h(t)=4sin(t-)+2,t≥0.
当t=13时,h(13)=4sin(-)+2=2,故点P到水面的距离为2 m.
(2)点P从P0开始转动的一圈,所用时间t0=12,
令h(t)=4sin(t-)+2≥4,其中t∈[0,12],解得2≤t≤6,
则6-2=4,故点P到水面的距离不低于4 m的时间为4 s.
探究点二 物理学中周期变化的数学模型
[例2] 如图,弹簧挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h(t)=
Asin(ωt+)确定,其中A>0,ω>0,t∈[0,+∞).在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.
(1)求小球相对平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式.
(2)小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,求t0的取值范围.
解:(1)因为小球振动过程中最高点与最低点间的距离为10 cm,
所以A==5.
因为在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,
所以周期为2,
即T=2=,所以ω=π.
所以h(t)=5sin(πt+),t≥0.
(2)由题意,当t=时,小球第一次到达最高点,
以后每隔一个周期都出现一次最高点.
因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,
所以+49T≤t0<+50T.
因为T=2,
所以98≤t0<100,
所以t0的取值范围为[98,100).
解该类题的关键是求出y=Asin(ωt+)中的参数A,ω,,其中A为振幅,ω=(T为周期,即重复变化一次所用时间),为当t=0时的位置,解题时只需根据已知条件求出上述三个参数即得函数解析式,其他问题均可依据解析式解决.
[针对训练] 已知电流I(单位:A)与时间t(单位:s)的关系为I=Asin(ωt+)(A>0,ω>0,||<).
(1)函数I=Asin(ωt+)在一个周期内的图象如图所示,求I=
Asin(ωt+)的解析式.
(2)为了使在任意一个s的时间段内的电流I能取得最大值与最小值,正整数ω的最小值应是多少
解:(1)由题图可知,A=300.
=-(-)=,
则T=,故ω==100 π.
由图象知-ω+=0,可知=,
所以I=300sin(100πt+).
(2)问题等价于T≤,即≤,ω≥200π,
故正整数ω的最小值为629.
当堂检测
1.某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin(160πt)+115,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为( C )
A.60 B.70 C.80 D.90
解析:由题意,得函数的周期为T==,
所以频率f==80,
所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C.
2.如图,一个摩天轮的半径为10 m,轮子的最低处距离地面2 m.如果此摩天轮按逆时针匀速转动,每30 min转一圈,且当摩天轮上某人经过点P(点P与摩天轮中心O的高度相同)时开始计时,在摩天轮转动的一圈内,此人相对于地面的高度不小于 17 m 的时间大约是( B )
A.8 min B.10 min C.12 min D.14 min
解析:设时间为t时,此人相对于地面的高度为h,
则由题可得当t=0时,h=12,
在时间t时,此人转过的角为t=t,
此时此人相对于地面的高度
h=10sint+12(0≤t≤30),
令10sint+12≥17,则sint≥,
所以≤t≤,解得≤t≤,故在摩天轮转动的一圈内,此人相对于地面的高度不小于17 m的时间大约是-=10(min).故选B.
3.如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<π)(y表示温度,x表示时间),则该市这一天中午12时的温度大约是( C )
A.25 ℃ B.26 ℃ C.27 ℃ D.28 ℃
解析:由题意及函数的图象可知,
A+B=30,-A+B=10,
所以A=10,B=20.
因为=14-6=8,所以T=16.
因为T=,所以ω=,
所以y=10sin(x+)+20.
因为图象经过点(14,30),
所以30=10sin(×14+)+20.
所以×14+=+2kπ,k∈Z,
即=2kπ-,k∈Z,又||<π,
所以=,
所以y=10sin(x+)+20.
当x=12时,y=10sin(×12+)+20=5+20≈27.故选C.
4.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器[如图(1)],各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt.图(2)是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为 .
解析:由题图可得,ω>0,T=4×=,即=,则ω=400π.
答案:400π
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
物理学中的周期变化模型 1,3,9
生活中的周期变化模型 2,4,5,6,7
三角函数模型的综合应用 8,10,11,12
基础巩固
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙的位置将移至( C )
A.x轴上 B.最低点
C.最高点 D.不确定
解析:相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.故选C.
2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=
3sin(x+)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( C )
A.5 B.6 C.8 D.10
解析:根据图象得函数的最小值为2,
有-3+k=2,k=5,最大值为3+k=8.故选C.
3.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式是s=
3cos(t+),其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l等于( D )
A. B. C. D.
解析:因为周期T=,
所以==2π,
则 l=.故选D.
4.如图,记某时钟的中心点为O,分针针尖对应的端点为A.已知分针长OA=5 cm,且分针从12点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动.若以中心点O为原点,3点和12点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系,则点A到x轴的距离y(单位:cm)与时间t(单位:min)的函数解析式为( D )
A.y=5|sin t| B.y=5|cos t|
C.y=5|sin t| D.y=5|cos t|
解析:由题意得分针每分转=(rad),
则t分钟转了t rad,
则点A到x轴的距离y与时间t的关系可设为 y=5|sin(-t+)|.
当t=0时,点A在钟表的12点处,此时y=5,
所以5=5|sin(-×0+)| |sin |=1,
所以可以取=,故y=5|cos t|.
故选D.
5.如图,为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”,画法如下:在水平直线l上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,以此类推,则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为( B )
A. B.14π C.24π D.10π
解析:第1次画弧:以点B为圆心,1为半径,旋转,
画的圆弧长为1×=.
第2次画弧:以点C为圆心,2为半径,旋转,画的圆弧长为2×=.
第3次画弧:以点A为圆心,3为半径,旋转,画的圆弧长为3×=.
第4次画弧:以点B为圆心,4为半径,旋转,画的圆弧长为4×=.
第5次画弧:以点C为圆心,5为半径,旋转,画的圆弧长为5×=.
第6次画弧:以点A为圆心,6为半径,旋转,画的圆弧长为6×=.
累计画的圆弧的总长度为+++++=14π.故选B.
6.某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律,因而一年中的第n个月从事旅游服务工作的人数f(n)可以近似用函数f(n)=3 000cos(+)+4 000来表示(其中n=1,2,…,12).当该旅游区从事旅游服务工作的人数在5 500或5 500以上时,该旅游区进入了一年中的“旅游旺季”,那么该地区一年中进入“旅游旺季”的月份有 个.
解析:令3 000cos(+)+4 000≥5 500,
则cos(+)≥,
则-+2kπ≤+≤+2kπ,k∈Z,
解得-6+12k≤n≤-2+12k,k∈Z.
因为1≤n≤12,所以6≤n≤10.
因为n是正整数,所以n=6,7,8,9,10,共5个月.
答案:5
7.如图所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,若60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设点B与地面距离为h,则h与θ间关系的函数解析式是 ;设从OA开始转动,经过t秒到达OB,则h与t间关系的函数解析式是 .(要求的两个函数关系式均表示为正弦型函数)
解析:如图,过点O作地面的平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于点M.
当<θ≤π时,∠BOM=θ-,
h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin(θ-);
当0≤θ≤,π<θ≤2π时,上述解析式也适合.
综上所述,h=5.6+4.8sin(θ-).
点A在☉O上逆时针转动的角速度是 rad/s,
所以t s转过的弧度数为t,
所以h=4.8sin(t-)+5.6,t∈[0,+∞).
答案:h=5.6+4.8sin(θ-) h=4.8sin(t-)+5.6,t∈[0,+∞)
能力提升
8.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线,我们叫葫芦曲线,它每过相同的间隔振幅就变化一次,且过点P(,2),其对应的方程为|y|=(2-[])|sin ωx|(x≥0,其中[x]为不超过x的最大整数,0<
ω<5).若该葫芦曲线上一点M到y轴的距离为,则点M到x轴的距离为( D )
A. B. C. D.
解析:将P(,2)代入|y|=(2-[])|sin ωx|中得,
(2-[])|sin|=2,即|sin|=1.
因为0<ω<5,所以0<<,
所以=,解得ω=2,
故|y|=(2-[])|sin 2x|.
当x=时,|y|=(2-[])|sin|=|sin|=.故选D.
9.(多选题)筒车亦称“水转筒车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.筒车发明于隋而盛于唐,距今已有1 000多年的历史.如图,假设在水流量稳定的情况下,一个半径为3 m的筒车按逆时针方向做每
6分钟转一圈的匀速圆周运动,筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5 m,设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点),从此处开始计时,下列结论正确的是( ACD )
A.t分钟时,以射线OA为始边,OP为终边的角为t-
B.t分钟时,该盛水筒距水面距离为[sin(t-)+] m
C.1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等
D.1小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3 m
解析:如图,以O为坐标原点建立平面直角坐标系,
依题意,设函数解析式为y=Asin(ωt+)+b,
因为半径为3,所以A=3,
O距水面的距离为1.5,所以b=1.5,
每6分钟转一圈,所以T=6,
所以ω==,所以y=3sin(t+)+1.5,
当t=0时,y=0,
所以3sin +1.5=0,即sin =-,
所以=-,
所以y=3sin(t-)+1.5(t≥0).
所以t分钟时,以射线OA为始边,OP为终边的角为t-,
故A正确,B错误.
当t=1时,y=3sin(-)+1.5=3;当t=3时,y=3sin(×3-)+1.5=3,
故C正确.
令y=3sin(t-)+1.5≥3,即sin(t-)≥,
在一个周期内≤t-≤,解得 1≤t≤3,有2分钟,
1小时内有10个周期,所以有 2×10=20(min),故D正确.故选ACD.
10.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9 000元,7月份价格最低为5 000元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为 .
解析:由条件可知
所以B=7 000,A=2 000.
又T=2×(7-3)=8,所以ω=,
令3×+=+2kπ,k∈Z,
因为||<,所以=-,
所以f(x)=2 000sin(x-)+7 000,x∈[1,12]且x∈N*.
答案:f(x)=2 000sin(x-)+7 000,x∈[1,12]且x∈N*
11.某市通宵营业的大型商场,在气温低于0℃时,才开放中央空调,否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温(单位:℃)随时间t
(0≤t≤24,单位:时)的大致变化曲线,若该曲线近似满足f(t)=Asin(ωt+)+b(A>0,ω>0,-π<<π)关系.
(1)求y=f(t)的表达式.
(2)请根据(1)的结论,求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
解:(1)由题意,得解得
又=15-3=12,所以T==24,
又ω>0,所以ω=.
因为f(t)=8sin(t+)+4过(15,12),
则12=8sin(×15+)+4,
即sin(+)=1,所以+=+2kπ,k∈Z,
即=-+2kπ,k∈Z,又-π<<π,
所以=-,
所以f(t)=8sin(t-)+4(0≤t≤24).
(2)根据题设,令8sin(t-)+4<0,
即sin(t-)<-,
由y=sin x的性质得+2kπ解得23+24k又因为0≤t≤24,
当k=-1时,0≤t<7;
当k=0时,23所以0≤t<7或23所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时.
12.下表是某地一年中10天的白昼时间统计表(时间精确到
0.1小时):
日期 日期位置序号x 白昼时间y/时
1月1日 1 5.6
2月28日 59 10.2
3月21日 80 12.4
4月27日 117 16.4
5月6日 126 17.3
6月21日 172 19.4
8月13日 225 16.4
9月20日 263 12.4
10月25日 298 8.5
12月21日 355 5.4
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标,白昼时间y为纵坐标,在如图给定的坐标系中画出这些数据的散点图;
(2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.(注:①求出所选用的函数关系式;②一年按365天计算)
(3)用(2)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.
解:(1)散点图如图所示.
(2)由图知白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系近似为y=Asin(ωx+)+t(A>0,ω>0,||<π).由题意知函数的最大值为19.4,最小值为5.4,
即ymax=19.4,ymin=5.4.
由19.4-5.4=14,得A=7,
所以t=19.4-7=12.4=.
又T=365,所以ω=.
当x=172时,+=+2kπ(k∈Z),
又||<π,所以=-.
所以y=7sin(x-)+(1≤x≤365,x∈N*).
(3)由y>15.9,
得sin(x-)>,
所以+2kπ即+365k又1≤x≤365,x∈N*,
所以111≤x≤232x∈N*.
所以该地大约有121天白昼时间大于15.9小时.§8 三角函数的简单应用
学习目标
1.了解三角函数知识在实际生活中的应用,提高数学建模与数学抽象的核心素养.
2.将实际问题抽象为三角函数模型,提升数学建模与数学抽象的核心素养.
探究点一 匀速圆周运动的数学模型
[例1] 如图,某摩天轮轮盘直径为124 m,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点时距离地面145 m,匀速转动一周大约需要30 min.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过t min后游客甲距离地面的高度为H m,已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+)+B(其中A>0,ω>0,||≤),求摩天轮转动一周的解析式H(t).
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52 m
建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤
[针对训练] 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.现有一个筒车按逆时针方向匀速转动.每分钟转动 5圈,如图,将该筒车抽象为圆O,筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P,已知圆O的半径为4 m,圆心O距离水面2 m,且当圆O上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)根据如图所示的平面直角坐标系,将点P到水面的距离h(单位:m,在水面下,h为负数)表示为时间t(单位:s)的函数,并求当t=13时,点P到水面的距离.
(2)在点P从P0开始转动的一圈内,点P到水面的距离不低于4 m的时间有多长
探究点二 物理学中周期变化的数学模型
[例2] 如图,弹簧挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h(t)=
Asin(ωt+)确定,其中A>0,ω>0,t∈[0,+∞).在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.
(1)求小球相对平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式.
(2)小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,求t0的取值范围.
解该类题的关键是求出y=Asin(ωt+)中的参数A,ω,,其中A为振幅,ω=(T为周期,即重复变化一次所用时间),为当t=0时的位置,解题时只需根据已知条件求出上述三个参数即得函数解析式,其他问题均可依据解析式解决.
[针对训练] 已知电流I(单位:A)与时间t(单位:s)的关系为I=Asin(ωt+)(A>0,ω>0,||<).
(1)函数I=Asin(ωt+)在一个周期内的图象如图所示,求I=
Asin(ωt+)的解析式.
(2)为了使在任意一个s的时间段内的电流I能取得最大值与最小值,正整数ω的最小值应是多少
当堂检测
1.某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin(160πt)+115,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为( )
A.60 B.70 C.80 D.90
2.如图,一个摩天轮的半径为10 m,轮子的最低处距离地面2 m.如果此摩天轮按逆时针匀速转动,每30 min转一圈,且当摩天轮上某人经过点P(点P与摩天轮中心O的高度相同)时开始计时,在摩天轮转动的一圈内,此人相对于地面的高度不小于 17 m 的时间大约是( )
A.8 min B.10 min C.12 min D.14 min
3.如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<π)(y表示温度,x表示时间),则该市这一天中午12时的温度大约是( )
A.25 ℃ B.26 ℃ C.27 ℃ D.28 ℃
4.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器[如图(1)],各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt.图(2)是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
物理学中的周期变化模型 1,3,9
生活中的周期变化模型 2,4,5,6,7
三角函数模型的综合应用 8,10,11,12
基础巩固
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙的位置将移至( )
A.x轴上 B.最低点
C.最高点 D.不确定
2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=
3sin(x+)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
3.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式是s=
3cos(t+),其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l等于( )
A. B. C. D.
4.如图,记某时钟的中心点为O,分针针尖对应的端点为A.已知分针长OA=5 cm,且分针从12点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动.若以中心点O为原点,3点和12点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系,则点A到x轴的距离y(单位:cm)与时间t(单位:min)的函数解析式为( )
A.y=5|sin t| B.y=5|cos t|
C.y=5|sin t| D.y=5|cos t|
5.如图,为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”,画法如下:在水平直线l上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,以此类推,则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为( )
A. B.14π C.24π D.10π
6.某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律,因而一年中的第n个月从事旅游服务工作的人数f(n)可以近似用函数f(n)=3 000cos(+)+4 000来表示(其中n=1,2,…,12).当该旅游区从事旅游服务工作的人数在5 500或5 500以上时,该旅游区进入了一年中的“旅游旺季”,那么该地区一年中进入“旅游旺季”的月份有 个.
7.如图所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,若60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设点B与地面距离为h,则h与θ间关系的函数解析式是 ;设从OA开始转动,经过t秒到达OB,则h与t间关系的函数解析式是 .(要求的两个函数关系式均表示为正弦型函数)
能力提升
8.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线,我们叫葫芦曲线,它每过相同的间隔振幅就变化一次,且过点P(,2),其对应的方程为|y|=(2-[])|sin ωx|(x≥0,其中[x]为不超过x的最大整数,0<
ω<5).若该葫芦曲线上一点M到y轴的距离为,则点M到x轴的距离为( )
A. B. C. D.
9.(多选题)筒车亦称“水转筒车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.筒车发明于隋而盛于唐,距今已有1 000多年的历史.如图,假设在水流量稳定的情况下,一个半径为3 m的筒车按逆时针方向做每
6分钟转一圈的匀速圆周运动,筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5 m,设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点),从此处开始计时,下列结论正确的是( )
A.t分钟时,以射线OA为始边,OP为终边的角为t-
B.t分钟时,该盛水筒距水面距离为[sin(t-)+] m
C.1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等
D.1小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3 m
10.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9 000元,7月份价格最低为5 000元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为 .
11.某市通宵营业的大型商场,在气温低于0℃时,才开放中央空调,否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温(单位:℃)随时间t
(0≤t≤24,单位:时)的大致变化曲线,若该曲线近似满足f(t)=Asin(ωt+)+b(A>0,ω>0,-π<<π)关系.
(1)求y=f(t)的表达式.
(2)请根据(1)的结论,求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
12.下表是某地一年中10天的白昼时间统计表(时间精确到
0.1小时):
日期 日期位置序号x 白昼时间y/时
1月1日 1 5.6
2月28日 59 10.2
3月21日 80 12.4
4月27日 117 16.4
5月6日 126 17.3
6月21日 172 19.4
8月13日 225 16.4
9月20日 263 12.4
10月25日 298 8.5
12月21日 355 5.4
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标,白昼时间y为纵坐标,在如图给定的坐标系中画出这些数据的散点图;
(2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.(注:①求出所选用的函数关系式;②一年按365天计算)
(3)用(2)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.
