§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
学习目标
1.理解向量的有关概念及向量的表示方法,提升数学抽象、直观想象的核心素养.
2.了解零向量、单位向量、相等向量、共线向量及相反向量的概念,培养数学抽象的核心素养.
知识探究
知识点1 向量的概念与几个特殊向量
(1)向量的概念和表示方法.
①概念:既有大小又有方向的量统称为向量.
②有向线段:在数学中,具有方向和长度的线段称为有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段,记作.线段AB的长度称为有向线段的长度,记作||.
③向量的表示:
表示法 几何表示:用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向
字母表示:用黑斜体小写字母如a,b,c,…或,,,…(书写)来表示,手写时必须加箭头
(2)向量的模与特殊向量.
①向量的模的定义:向量的大小称作向量的模.
②向量模的表示:向量,a的大小分别记作||,|a|.
③特殊向量:
(ⅰ)长度为0的向量称为零向量,记作0,任何方向都可以作为零向量的方向.
(ⅱ)模等于1个单位长度的向量称为单位向量.
[思考1] 向量可以比较大小吗
提示:向量不可以比较大小,但向量的模可以比较大小.
[思考2] 有向线段就是向量吗
提示:有向线段只是向量的一种表示方法,它不是向量.
知识点2 向量的基本关系
名称 定义 表示方法
相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等,记作a=b
共线向量 (平行向量) 方向相同或相反的非零向量. 规定:零向量与任一向量共线 向量a与b共线或平行,记作 a∥b
相反向量 长度相等、方向相反的向量 向量a的相反向量记作-a
向量的夹角 已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作=a,=b,则θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角
说明:(1)关于夹角的特殊说明:①当θ=0°时,向量a与b同向;②当θ=180°时,向量a与b反向;③当θ=90°时,向量a与b垂直,记作a⊥b.
(2)规定:零向量与任一向量垂直.
[思考3] 对零向量与任意一个非零向量,如何理解其夹角问题
提示:有两条规定,零向量与任一向量共线(夹角为0°或180°),零向量与任一向量垂直(夹角为90°),由此可以认为零向量与任意一个非零向量的夹角也是任意的.
[思考4] 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合
提示:不一定.因为向量都是自由向量,只要大小相等、方向相同就是相等向量,与起点和终点的位置无关.
探究点一 向量有关概念的理解
[例1] 判断下列命题是否正确,请说明理由.
(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
(2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
(3)对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=b;
(4)由于0方向不确定,故0不与任意向量共线;
(5)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
向量有关概念的判断策略
解决与向量有关概念问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.如:共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制;相等向量的核心是方向相同且长度相等;单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是1个单位长度;零向量的核心是方向没有限制,长度是0;规定零向量与任一向量共线,也与任一向量垂直.
[针对训练] 给出下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0,则-a=0.其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
探究点二 向量的基本关系
[例2] 如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.
(1)的相反向量有哪些
(2)与共线的向量有哪些
(3)与相等的向量有哪些
在图形中寻找共线向量、相等向量、相反向量的方法
(1)在平面图形中寻找共线向量时,应逐个列举,做到不重不漏,可先找在同一条直线上的共线向量,然后找平行直线上的共线向量,要注意一条线段对应两个共线向量,方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量.
(2)相等向量、相反向量一定是共线向量,因此在找相等向量、相反向量时,均可以从共线向量中筛选,长度相等且方向相同的共线向量为相等向量,长度相等且方向相反的共线向量为相反向量.
注意:判断两向量是否共线的关键是看向量的起点和终点是否都在同一条直线上或观察其所在的直线是否平行;判断两向量是否为相等(相反)向量不仅要看向量所在的直线是否平行或重合,而且要看其模是否相等、方向是否相同(相反).
[针对训练] 如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠DAB=60°,分别以A,B,C,D,O中的不同两点为始点与终点的向量中:
(1)写出与共线的向量;
(2)写出与的模相等的向量.
探究点三 向量的夹角的理解
[例3] 如图是由两个边长为1的正方形拼接而成的长方形,则在以A,B,C,D,E,F为起点和终点的向量中,与向量的夹角为45°的单位向量有 个.
(1)若a∥b,c∥d,a与c的夹角为θ,则b与d的夹角为θ或180°-θ.
(2)在求两个向量的夹角时,一定要明确夹角的定义.当表示两个向量的有向线段的起点或终点重合时,所形成的角才是向量的夹角;当表示两个向量的有向线段中一个的起点与另一个的终点重合时,所形成的角是向量的夹角的补角.
[针对训练] 在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,则 与 的夹角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
当堂检测
1.下列各量:①密度;②浮力;③电量;④加速度.其中向量有( )
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
2.(多选题)已知向量a如图所示,下列说法正确的是( )
A.也可以用 表示
B.方向是由M指向N
C.起点是M
D.终点是M
3.下列结论正确的是( )
A.向量必须用有向线段来表示
B.表示一个向量的有向线段是唯一的
C.非零向量一定比0大
D.有向线段和表示的是相反向量
4.(多选题)下列关于向量的描述中,不正确的有( )
A.有向线段就是向量
B.若向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线
C.零向量没有方向
D.若a=b,则|a|=|b|
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的概念与表示 1,7,8
向量的基本关系 2,3,4,9
向量的夹角 5,6,12
向量的综合应用 10,11,13,14
基础巩固
1.下列叙述正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a=b,则3a>2b
C.已知非零向量a与b满足a∥b,则a与b的方向相同或相反
D.若a,b都是单位向量,则a=b
2.如图所示,梯形ABCD为等腰梯形,则向量与的关系是( )
A.= B.||=||
C.> D.<
3.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,则向量,,,,, 中的共线向量有( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
4.下列说法正确的是( )
A.若|a|=|b|且a∥b,则a=b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,则a与b共线
D.若a≠b,则a一定不与b共线
5.(多选题)在锐角三角形ABC中,关于向量的夹角的说法正确的是( )
A. 与 的夹角是锐角
B. 与 的夹角是锐角
C. 与 的夹角是钝角
D. 与 的夹角是钝角
6.已知向量a与向量b的夹角为45°,则向量-a与向量b的夹角为 ,向量-a与向量-b的夹角为 .
7.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||= .
8.如图,是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿南偏西 方向行走了 km.
能力提升
9.(多选题)如图所示,△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中画出了若干个向量,则下列说法中正确的是( )
A.||=||
B.与的夹角为60°
C.与向量相等的向量有5个(除外)
D.与向量共线且模相等的向量有5个(除外)
10.在四边形ABCD中,=且||=||,tan D=,则四边形ABCD的形状为 .
11.在△OAB中,=a,=b,=c,且a,b的夹角为120°,|b|=2|a|,求向量a与c的夹角.
12.在如图所示的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并说出向量c的终点的轨迹是什么.
应用创新
13.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,设点集S={A,B,C,D,O},集合T={|M,N∈S,且M,N不重合},则集合T中元素的个数为 .
14.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km 到达D地.画图表示向量,,,并指出向量的模和方向.§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
学习目标
1.理解向量的有关概念及向量的表示方法,提升数学抽象、直观想象的核心素养.
2.了解零向量、单位向量、相等向量、共线向量及相反向量的概念,培养数学抽象的核心素养.
知识探究
知识点1 向量的概念与几个特殊向量
(1)向量的概念和表示方法.
①概念:既有大小又有方向的量统称为向量.
②有向线段:在数学中,具有方向和长度的线段称为有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段,记作.线段AB的长度称为有向线段的长度,记作||.
③向量的表示:
表示法 几何表示:用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向
字母表示:用黑斜体小写字母如a,b,c,…或,,,…(书写)来表示,手写时必须加箭头
(2)向量的模与特殊向量.
①向量的模的定义:向量的大小称作向量的模.
②向量模的表示:向量,a的大小分别记作||,|a|.
③特殊向量:
(ⅰ)长度为0的向量称为零向量,记作0,任何方向都可以作为零向量的方向.
(ⅱ)模等于1个单位长度的向量称为单位向量.
[思考1] 向量可以比较大小吗
提示:向量不可以比较大小,但向量的模可以比较大小.
[思考2] 有向线段就是向量吗
提示:有向线段只是向量的一种表示方法,它不是向量.
知识点2 向量的基本关系
名称 定义 表示方法
相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等,记作a=b
共线向量 (平行向量) 方向相同或相反的非零向量. 规定:零向量与任一向量共线 向量a与b共线或平行,记作 a∥b
相反向量 长度相等、方向相反的向量 向量a的相反向量记作-a
向量的夹角 已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作=a,=b,则θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角
说明:(1)关于夹角的特殊说明:①当θ=0°时,向量a与b同向;②当θ=180°时,向量a与b反向;③当θ=90°时,向量a与b垂直,记作a⊥b.
(2)规定:零向量与任一向量垂直.
[思考3] 对零向量与任意一个非零向量,如何理解其夹角问题
提示:有两条规定,零向量与任一向量共线(夹角为0°或180°),零向量与任一向量垂直(夹角为90°),由此可以认为零向量与任意一个非零向量的夹角也是任意的.
[思考4] 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合
提示:不一定.因为向量都是自由向量,只要大小相等、方向相同就是相等向量,与起点和终点的位置无关.
探究点一 向量有关概念的理解
[例1] 判断下列命题是否正确,请说明理由.
(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
(2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
(3)对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=b;
(4)由于0方向不确定,故0不与任意向量共线;
(5)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
解:(1)不正确.因为两个向量不能比较大小.
(2)不正确.由|a|=|b|只能判定两向量长度相等,不能确定它们的方向关系.
(3)正确.因为|a|=|b|,且a与b同向,可得a=b.
(4)不正确.0与任意向量共线.
(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不定.
向量有关概念的判断策略
解决与向量有关概念问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.如:共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制;相等向量的核心是方向相同且长度相等;单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是1个单位长度;零向量的核心是方向没有限制,长度是0;规定零向量与任一向量共线,也与任一向量垂直.
[针对训练] 给出下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0,则-a=0.其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:对于①,前一个零是实数,后一个应是零向量,故①错误;对于②,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,它们的方向并不确定,故②错误;对于③,两个向量平行,它们的方向相同或相反,模未必相等,③错误;对于④,若a=0,则-a=0,④正确.故选A.
探究点二 向量的基本关系
[例2] 如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.
(1)的相反向量有哪些
(2)与共线的向量有哪些
(3)与相等的向量有哪些
解:(1)的相反向量有,,,.
(2)与共线的向量有,,,,,,,,.
(3)与相等的向量有,,.
在图形中寻找共线向量、相等向量、相反向量的方法
(1)在平面图形中寻找共线向量时,应逐个列举,做到不重不漏,可先找在同一条直线上的共线向量,然后找平行直线上的共线向量,要注意一条线段对应两个共线向量,方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量.
(2)相等向量、相反向量一定是共线向量,因此在找相等向量、相反向量时,均可以从共线向量中筛选,长度相等且方向相同的共线向量为相等向量,长度相等且方向相反的共线向量为相反向量.
注意:判断两向量是否共线的关键是看向量的起点和终点是否都在同一条直线上或观察其所在的直线是否平行;判断两向量是否为相等(相反)向量不仅要看向量所在的直线是否平行或重合,而且要看其模是否相等、方向是否相同(相反).
[针对训练] 如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠DAB=60°,分别以A,B,C,D,O中的不同两点为始点与终点的向量中:
(1)写出与共线的向量;
(2)写出与的模相等的向量.
解:(1)由题图可知,与共线的向量有,,.
(2)与的模相等的向量有,,,,,,,,.
探究点三 向量的夹角的理解
[例3] 如图是由两个边长为1的正方形拼接而成的长方形,则在以A,B,C,D,E,F为起点和终点的向量中,与向量的夹角为45°的单位向量有 个.
解析:与向量有相同起点且夹角为45°的单位向量有,.与向量共线且同向的单位向量有,,,与向量共线且同向的单位向量有,,这几个向量与的夹角也为45°.所以与向量的夹角为45°的单位向量有7个.
答案:7
(1)若a∥b,c∥d,a与c的夹角为θ,则b与d的夹角为θ或180°-θ.
(2)在求两个向量的夹角时,一定要明确夹角的定义.当表示两个向量的有向线段的起点或终点重合时,所形成的角才是向量的夹角;当表示两个向量的有向线段中一个的起点与另一个的终点重合时,所形成的角是向量的夹角的补角.
[针对训练] 在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,则 与 的夹角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:如图,作向量=,则∠BAD是 与的夹角,在△ABC中,因为∠C=90°,BC=AB,所以∠BAC=30°,所以∠BAD=120°.故选C.
当堂检测
1.下列各量:①密度;②浮力;③电量;④加速度.其中向量有( C )
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
解析:由向量的概念可知,浮力与加速度是向量,密度与电量是数量.故选C.
2.(多选题)已知向量a如图所示,下列说法正确的是( ABC )
A.也可以用 表示
B.方向是由M指向N
C.起点是M
D.终点是M
解析:向量 的终点为N,故D错误.故选ABC.
3.下列结论正确的是( D )
A.向量必须用有向线段来表示
B.表示一个向量的有向线段是唯一的
C.非零向量一定比0大
D.有向线段和表示的是相反向量
解析:向量除了可以用有向线段表示以外,还可用黑斜体小写字母表示,所以选项A错误;向量为自由向量,只要大小相等、方向相同就为同一个向量,而与它的具体位置无关,所以表示一个向量的有向线段不是唯一的,所以选项B错误;向量不可以比较大小,可以比较模长,非零向量的模长一定比零向量的模长大,选项C错误;有向线段和的方向相反、大小相等,表示的是相反向量,所以选项D正确.故选D.
4.(多选题)下列关于向量的描述中,不正确的有( ABC )
A.有向线段就是向量
B.若向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线
C.零向量没有方向
D.若a=b,则|a|=|b|
解析:有向线段是固定的,向量是可以平行移动的,有向线段是表示向量的工具,二者不是相等关系,A错误;若和是平行四边形的一组对边,此时向量与向量共线,但A,B,C,D四点不共线,B错误;零向量方向任意,C错误;若a=b,则a,b大小相等,方向相同,D正确.故选ABC.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的概念与表示 1,7,8
向量的基本关系 2,3,4,9
向量的夹角 5,6,12
向量的综合应用 10,11,13,14
基础巩固
1.下列叙述正确的是( C )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a=b,则3a>2b
C.已知非零向量a与b满足a∥b,则a与b的方向相同或相反
D.若a,b都是单位向量,则a=b
解析:当b=0时,a∥b,b∥c不一定有a∥c,A错误;向量不能比较大小,B错误;非零向量a与b满足a∥b,则a与b的方向相同或相反,C正确;单位向量仅要求模为1,并不限制方向,所以a与b不一定相等,D错误.故选C.
2.如图所示,梯形ABCD为等腰梯形,则向量与的关系是( B )
A.= B.||=||
C.> D.<
解析:||与||表示等腰梯形两腰的长度,故相等.故选B.
3.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,则向量,,,,, 中的共线向量有( C )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
解析: 与, 与, 与都是共线向量.故选C.
4.下列说法正确的是( C )
A.若|a|=|b|且a∥b,则a=b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,则a与b共线
D.若a≠b,则a一定不与b共线
解析:A中,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,不正确;B中,向量的模相等,但a与b的方向不确定,不正确;D中,a≠b,a可与b共线,不正确.故选C.
5.(多选题)在锐角三角形ABC中,关于向量的夹角的说法正确的是( BD )
A. 与 的夹角是锐角
B. 与 的夹角是锐角
C. 与 的夹角是钝角
D. 与 的夹角是钝角
解析:△ABC为锐角三角形, 与的夹角是钝角,A错误; 与的夹角是锐角,B正确; 与的夹角是锐角,C错误; 与的夹角是钝角,D正确.故选BD.
6.已知向量a与向量b的夹角为45°,则向量-a与向量b的夹角为 ,向量-a与向量-b的夹角为 .
解析:结合题意作出满足条件的向量a与向量b(图略),可知向量-a与向量b的夹角为135°,向量-a与向量-b的夹角为45°.
答案:135° 45°
7.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||= .
解析:因为正方形的对角线长为 2,所以||=.
答案:
8.如图,是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿南偏西 方向行走了 km.
答案:30° 2
能力提升
9.(多选题)如图所示,△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中画出了若干个向量,则下列说法中正确的是( AD )
A.||=||
B.与的夹角为60°
C.与向量相等的向量有5个(除外)
D.与向量共线且模相等的向量有5个(除外)
解析:由题意可知||=||,故A正确;与的夹角为120°,故B错误;与向量相等的向量有,,共2个,故C错误;与向量共线且模相等的向量有,,,,,共5个,故D正确.故选AD.
10.在四边形ABCD中,=且||=||,tan D=,则四边形ABCD的形状为 .
解析:因为在四边形ABCD中,=,
所以四边形ABCD是平行四边形.
因为tan D=,所以B=D=60°.
又||=||,所以△ABC是等边三角形,
所以AB=BC,所以四边形ABCD是菱形.
答案:菱形
11.在△OAB中,=a,=b,=c,且a,b的夹角为120°,|b|=2|a|,求向量a与c的夹角.
解:如图,在△OAB中,因为a与b的夹角为120°,所以∠OAB=60°.
取AB的中点C,连接OC.
因为|b|=2|a|,所以AC=OA,
因为∠OAB=60°,
所以△OAC为等边三角形.
所以∠AOC=∠ACO=60°,∠OCB=120°.
因为BC=CO,所以∠BOC=30°,
所以∠AOB=90°,
所以向量a与c的夹角为90°.
12.在如图所示的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并说出向量c的终点的轨迹是什么.
解:(1)由题意,以B为起点画一个向量b,使b=a,如图所示.
(2)因为|c|=,则向量c的终点表示以A为圆心,为半径的圆,如图所示.
应用创新
13.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,设点集S={A,B,C,D,O},集合T={|M,N∈S,且M,N不重合},则集合T中元素的个数为 .
解析:由题意可知,从点A,B,C,D,O中任取2个不同的点构成的向量共有20个,分别为,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等:=,=,=,=,=,=,
=,=.因为集合中的元素具有互异性.所以集合T中的元素共有12个.
答案:12
14.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km 到达D地.画图表示向量,,,并指出向量的模和方向.
解:如图,以A为原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.
由题意知点B在第一象限,
点C在x轴正半轴上,
点D在第四象限,
向量,,如图所示.由已知可得,
△ABC为正三角形,
所以AC=2 000 km.
又∠ACD=45°,CD=1 000 km,
所以△ADC为等腰直角三角形,
所以AD=1 000 km,∠CAD=45°.
故向量的模为1 000 km,方向为东南方向.
