§2 从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
2.2 向量的减法
学习目标
1.掌握向量加法运算,理解向量减法的定义,培养数学抽象的核心素养.
2.掌握向量加法的平行四边形法则、三角形法则、多边形法则,发展直观想象的核心素养.
3.掌握向量加法的运算律及应用,提升数学运算与逻辑推理的核心素养.
知识探究
知识点1 向量加法的定义、运算法则与运算律
(1)向量加法的定义.
求两个向量和的运算,称为向量的加法.
(2)向量加法的运算法则.
①平行四边形法则:已知两个不共线的向量a,b,如图,在平面内任取一点A,作有向线段=a,=b,以有向线段和为邻边作 ABCD,则有向线段表示的向量即为向量a与b的和,记作a+b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则.
②三角形法则:如图,作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b,连接A,C得到有向线段,也可以表示向量a与b的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则.
(3)向量加法的运算律.
交换律 结合律
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
[思考1] 向量的平行四边形法则与三角形法则是否适合于所有的两个非零向量的和
提示:当两向量共线时不能用平行四边形法则,只能用三角形法则.
[思考2] 两个非零向量a,b满足|a+b|=|a|+|b|时的条件是什么
提示:向量a,b同向共线.
(1)向量加法的多边形法则
如图,已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量.这个法则叫作向量求和的多边形法则.
(2)向量加法的两个法则的区别和联系
法则 三角形法则 平行四边形法则
区别 (1)强调“首尾相连”;(2)适用于所有的非零向量求和 (1)强调“共起点”;(2)仅适用于不共线的两个向量求和
联系 当两个向量不共线时,两个法则的实质一样,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半
知识点2 向量的减法
向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量,即a-b=a+(-b).如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是a-b,如图.
(1)向量减法的两个重要结论
①如果把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
②一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的起点相对于点O的位置向量,或简记“终点向量减起点向量”.
(2)向量加法与减法的几何意义的联系
如图所示,以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=a-b(=b-a),这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并牢记.
(3)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的理解
①当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立.
②当a,b不共线时,作=a,=b,则a+b=,如图(a)所示,根据三角形的性质,“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
③当a,b非零且共线时,a.当向量a与b同向时,作法同上,如图(b)所示,此时|a+b|=|a|+|b|.b.当向量a,b反向时,不妨设|a|>|b|,作法同上,如图(c)所示,此时|a+b|=|a|-|b|.
综上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
注意每个等号取得的条件,|a+b|=|a|+|b|或||a|-|b||=|a-b|成立的条件是a与b同向共线;|a+b|=||a|-|b||以及|a-b|=|a|+|b|成立的条件是a与b反向共线.
探究点一 向量的加法
角度1 向量加法的运算法则
[例1] 如图,已知向量a,b,c,求作和向量a+b+c.
用三角形法则求和向量,关键是抓住“首尾相连”,和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点,平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中,第一个向量的起点可任意选取,可在某一个向量上,也可在其他位置.两向量共线时,三角形法则仍适用,平行四边形法则不适用.
[针对训练] (1) 在 ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是( )
A.+=
B.+=
C.+=+
D.+=+
(2)在菱形ABCD中,∠BAD=60°,||=1,则|+|= .
角度2 向量加法的运算律
[例2] 如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)+++.
向量加法运算律的应用方法
由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行计算.
[针对训练] 化简:
(1)++;
(2)++;
(3)+++.
探究点二 向量的减法
[例3] 如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量 ,,.
[变式探究] (1)本例条件不变,试用向量a,b,c表示与;
(2)本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”,其他条件不变,结论又如何呢
用几个已知向量表示其他向量的一般步骤
探究点三 向量的加、减法的混合运算
[例4] 化简:
(1)-+;
(2)++--.
化简向量式的方法和技巧
要先观察向量的表达形式,利用向量加、减法的运算律及相反向量的性质化为首尾相连且为和的形式或起点相同且为差的形式,从而达到化简的目的.具体来说,对于用有向线段表示的向量的加减运算有以下四点技巧.
(1)加法:首尾连,起点到终点(++=).
(2)减法:共起点,连终点,指被减(-=).
(3)化减为加(-=+).
(4)凑零法(相反向量的和为0).
[针对训练] (多选题)下列各式能化简为 的是( )
A.(-)-
B.-(+)
C.-(+)-(+)
D.--+
当堂检测
1.在平面四边形ABCD中,下列表达式化简结果与相等的是( )
A.+ B.++
C.- D.+-
2. 在四边形ABCD中,=+,则四边形ABCD一定是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.平行四边形
3.|a|=|b|=1,则|a+b|的取值范围为 ,当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向 .
4.在△ABC中,D为BC的中点,设=c,=b,=a,=d,则d-a= .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的加减法运算 1,2,3,4,5,13
向量加减运算的实际应用 12,15
向量的加减法运算的综合应用 6,7,8,9,10,11,14
基础巩固
1.如图,在正六边形ABCDEF中,-等于( )
A. B. C. D.
2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于( )
A. B.
C. D.
3.(多选题)化简以下各式,结果为零向量的是( )
A.-+ B.+--
C.-+ D.++-
4.(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,下列计算错误的是( )
A.+=
B.++=
C.++=
D.++=0
5.(多选题)下列说法正确的是( )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若△ABC为等腰直角三角形,且A=90°,则一定有|+|=|-|
D.若a∥b,|a|=2|b|=8,则|a+b|可能为12
6.化简(-)-(-)= .
7.在△ABC中,||=||=||=1,则|-|= .
8.如图,O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,试用正六边形的六个顶点和点O为起点或终点,构造向量表示下列向量的和.
(1)+= ;
(2)+= .
能力提升
9.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若a,b同向,则有|a+b|=|a|+|b|
B.若a,b不共线,则有|a+b|>|a|+|b|
C.|a|<|a|+|b|恒成立
D.对任意两个向量a,b,总有|a+b|≤|a|+|b|
10.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|-+-
|,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
11.已知菱形ABCD的边长为2,则向量-+的模为 ,
||的取值范围是 .
12.在水流速度为4 km/h的河中,要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶,求船的航行速度的大小和方向.
13.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点.
(1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形 说明理由.
(2)化简--,并在图中作出表示该化简结果的向量.
应用创新
14.已知长度相等的三个非零向量,,满足++=0,则由A,B,C三点构成的△ABC的形状是 三角形.
15.一架直升机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km到达C地,求这架直升机飞行的路程及两次位移的和.§2 从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
2.2 向量的减法
学习目标
1.掌握向量加法运算,理解向量减法的定义,培养数学抽象的核心素养.
2.掌握向量加法的平行四边形法则、三角形法则、多边形法则,发展直观想象的核心素养.
3.掌握向量加法的运算律及应用,提升数学运算与逻辑推理的核心素养.
知识探究
知识点1 向量加法的定义、运算法则与运算律
(1)向量加法的定义.
求两个向量和的运算,称为向量的加法.
(2)向量加法的运算法则.
①平行四边形法则:已知两个不共线的向量a,b,如图,在平面内任取一点A,作有向线段=a,=b,以有向线段和为邻边作 ABCD,则有向线段表示的向量即为向量a与b的和,记作a+b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则.
②三角形法则:如图,作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b,连接A,C得到有向线段,也可以表示向量a与b的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则.
(3)向量加法的运算律.
交换律 结合律
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
[思考1] 向量的平行四边形法则与三角形法则是否适合于所有的两个非零向量的和
提示:当两向量共线时不能用平行四边形法则,只能用三角形法则.
[思考2] 两个非零向量a,b满足|a+b|=|a|+|b|时的条件是什么
提示:向量a,b同向共线.
(1)向量加法的多边形法则
如图,已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量.这个法则叫作向量求和的多边形法则.
(2)向量加法的两个法则的区别和联系
法则 三角形法则 平行四边形法则
区别 (1)强调“首尾相连”;(2)适用于所有的非零向量求和 (1)强调“共起点”;(2)仅适用于不共线的两个向量求和
联系 当两个向量不共线时,两个法则的实质一样,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半
知识点2 向量的减法
向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量,即a-b=a+(-b).如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是a-b,如图.
(1)向量减法的两个重要结论
①如果把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
②一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的起点相对于点O的位置向量,或简记“终点向量减起点向量”.
(2)向量加法与减法的几何意义的联系
如图所示,以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=a-b(=b-a),这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并牢记.
(3)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的理解
①当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立.
②当a,b不共线时,作=a,=b,则a+b=,如图(a)所示,根据三角形的性质,“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
③当a,b非零且共线时,a.当向量a与b同向时,作法同上,如图(b)所示,此时|a+b|=|a|+|b|.b.当向量a,b反向时,不妨设|a|>|b|,作法同上,如图(c)所示,此时|a+b|=|a|-|b|.
综上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
注意每个等号取得的条件,|a+b|=|a|+|b|或||a|-|b||=|a-b|成立的条件是a与b同向共线;|a+b|=||a|-|b||以及|a-b|=|a|+|b|成立的条件是a与b反向共线.
探究点一 向量的加法
角度1 向量加法的运算法则
[例1] 如图,已知向量a,b,c,求作和向量a+b+c.
解:法一(三角形法则) 如图(1),首先在平面内任取一点O,作向量=a,接着作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=a+b+c为所求.
法二(平行四边形法则) 如图(2),则有:
(1)在平面内任取一点O,作=a,=b;
(2)作平行四边形AOBC,则=a+b;
(3)再作向量=c;
(4)作 CODE,则=+c=a+b+c,
则即为所求.
用三角形法则求和向量,关键是抓住“首尾相连”,和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点,平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中,第一个向量的起点可任意选取,可在某一个向量上,也可在其他位置.两向量共线时,三角形法则仍适用,平行四边形法则不适用.
[针对训练] (1) 在 ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是( )
A.+=
B.+=
C.+=+
D.+=+
(2)在菱形ABCD中,∠BAD=60°,||=1,则|+|= .
解析:(1)根据向量加法的三角形法则,得+=,+=,所以+=+.故选C.
(2)如图,因为在菱形ABCD 中,∠BAD=60°,
所以△ABD为等边三角形,
所以|+|=||=||=1.
答案:(1)C (2)1
角度2 向量加法的运算律
[例2] 如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)+++.
解:(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
向量加法运算律的应用方法
由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行计算.
[针对训练] 化简:
(1)++;
(2)++;
(3)+++.
解:(1)++=++=+=.
(2)++=++=0.
(3)+++=+++=.
探究点二 向量的减法
[例3] 如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量 ,,.
解:因为四边形ACDE是平行四边形,
所以==c,=-=b-a,
=+=b-a+c.
[变式探究] (1)本例条件不变,试用向量a,b,c表示与;
(2)本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”,其他条件不变,结论又如何呢
解:(1)=-=c-a,
=-=c-b.
(2)因为四边形ACDE是平行四边形,所以==c,=-=b-a,=+=b-a+c.
用几个已知向量表示其他向量的一般步骤
探究点三 向量的加、减法的混合运算
[例4] 化简:
(1)-+;
(2)++--.
解:(1)-+=+=-=.
(2)++--=+++-=++=.
化简向量式的方法和技巧
要先观察向量的表达形式,利用向量加、减法的运算律及相反向量的性质化为首尾相连且为和的形式或起点相同且为差的形式,从而达到化简的目的.具体来说,对于用有向线段表示的向量的加减运算有以下四点技巧.
(1)加法:首尾连,起点到终点(++=).
(2)减法:共起点,连终点,指被减(-=).
(3)化减为加(-=+).
(4)凑零法(相反向量的和为0).
[针对训练] (多选题)下列各式能化简为 的是( )
A.(-)-
B.-(+)
C.-(+)-(+)
D.--+
解析:选项A中,(-)-=++=++=;选项B中,-(+)=-0=;选项C中,-(+)-(+)=----=+++=(++)+=.故选ABC.
当堂检测
1.在平面四边形ABCD中,下列表达式化简结果与相等的是( B )
A.+ B.++
C.- D.+-
解析:+=,不符合题意;++=+=,符合题意;-=,不符合题意;+-=+≠,不符合题意.故选B.
2. 在四边形ABCD中,=+,则四边形ABCD一定是( D )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.平行四边形
解析:在四边形ABCD中,=+,又=+.所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.故选D.
3.|a|=|b|=1,则|a+b|的取值范围为 ,当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向 .
解析:当两向量反向时|a+b|最小,此时|a+b|=0;当两向量同向时,|a+b|最大,此时|a+b|=2,
所以|a+b|的取值范围为[0,2].
答案:[0,2] 相同
4.在△ABC中,D为BC的中点,设=c,=b,=a,=d,则d-a= .
解析:d-a=d+(-a)=+==c.
答案:c
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的加减法运算 1,2,3,4,5,13
向量加减运算的实际应用 12,15
向量的加减法运算的综合应用 6,7,8,9,10,11,14
基础巩固
1.如图,在正六边形ABCDEF中,-等于( C )
A. B. C. D.
解析:-=-=+==.故选C.
2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于( C )
A. B.
C. D.
解析:设a=+,以OP,OQ为邻边作平行四边形(图略),则OP与OQ之间的对角线对应的向量,即为向量a=+,由a和长度相等,方向相同,得a=,即+=.故选C.
3.(多选题)化简以下各式,结果为零向量的是( ACD )
A.-+ B.+--
C.-+ D.++-
解析:-+=++=+=-=0;
+--=(-)+(-)=+=;
-+=(+)-=-=0;
++-=++=+=0.故选ACD.
4.(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,下列计算错误的是( BC )
A.+=
B.++=
C.++=
D.++=0
解析:根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义,可知+=,所以A正确;++=+=,所以B错误;
++=+=,所以C错误;++=+=0,
所以D正确.故选BC.
5.(多选题)下列说法正确的是( ABCD )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若△ABC为等腰直角三角形,且A=90°,则一定有|+|=|-|
D.若a∥b,|a|=2|b|=8,则|a+b|可能为12
解析:A显然正确;根据三角形法则将向量“首尾相连”,易得出++=0,所以B正确;在等腰直角三角形ABC中,||=||,以,为邻边的四边形是正方形,对角线相等,
故|+|=|-|,C正确;
由a∥b可知,a,b共线,当a,b方向相同,|a+b|=|a|+|b|=12,D正确.故选ABCD.
6.化简(-)-(-)= .
解析:(-)-(-)=--+=+-=-=0.
答案:0
7.在△ABC中,||=||=||=1,则|-|= .
解析:如图,在△ACD中,B为CD的中点.
AB=BD=1,∠ABD=120°,
-=+=+=.
易求得AD=,即||=,
所以|-|=.
答案:
8.如图,O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,试用正六边形的六个顶点和点O为起点或终点,构造向量表示下列向量的和.
(1)+= ;
(2)+= .
解析:连接OA2,OA4,OA5,OA6(图略),则四边形OA1A6A5和四边形OA1A2A3为菱形,所以+==;==.
又因为=,所以+=+=+=.
答案:(1)(或) (2)
能力提升
9.(多选题)下列说法正确的是( AD )
A.若a,b同向,则有|a+b|=|a|+|b|
B.若a,b不共线,则有|a+b|>|a|+|b|
C.|a|<|a|+|b|恒成立
D.对任意两个向量a,b,总有|a+b|≤|a|+|b|
解析:由向量形式的绝对值三角不等式可知,当a,b同向时,
有|a+b|=|a|+|b|;当a,b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|;
当a,b是任意向量时,有|a+b|≤|a|+|b|,故A,D正确,B错误.
当b=0时,|a|=|a|+|b|,故C错误.故选AD.
10.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|-+-
|,则△ABC是( B )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
解析:因为-+-=+,-=,
所以|+|=||,所以以AB,AC为邻边的平行四边形ABDC的两条对角线的长度相等,所以此平行四边形为矩形,所以AB⊥AC,
所以△ABC是直角三角形.故选B.
11.已知菱形ABCD的边长为2,则向量-+的模为 ,
||的取值范围是 .
解析:因为-+=++=,
又||=2,所以|-+|=||=2.
又因为=+,且在菱形ABCD中,
||=2,所以|||-|||<||=|+|<||+||,
即0<||<4.
答案:2 (0,4)
12.在水流速度为4 km/h的河中,要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶,求船的航行速度的大小和方向.
解:设表示水流的速度,表示船的航行速度,表示船的实际航行速度,如图所示,
+=.因为||=4,||=12,所以tan∠ACB==,
所以∠ACB=30°=∠CAD,||=||==8,
∠BAD=120°.
所以船的航行速度的大小为8 km/h,方向与水流速度成120°角.
13.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点.
(1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形 说明理由.
(2)化简--,并在图中作出表示该化简结果的向量.
解:(1)由条件知||=|++|=||,即AB=AD,又四边形ABCD是平行四边形,故四边形ABCD是菱形.
(2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知=.
所以--=--=-(+)=-=.
作出向量如图所示.
应用创新
14.已知长度相等的三个非零向量,,满足++=0,则由A,B,C三点构成的△ABC的形状是 三角形.
解析:如图,以OA,OB为邻边作菱形OAFB,
则+=,
所以+=0,
所以=-.
所以O,F,C三点共线.
因为四边形OAFB是菱形,
所以CE垂直平分AB.所以CA=CB.
同理,AB=AC,所以△ABC为等边三角形.
答案:等边
15.一架直升机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km到达C地,求这架直升机飞行的路程及两次位移的和.
解:如图,设,分别表示直升机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,
从B地按南偏东55°的方向飞行800 km,
则直升机飞行的路程指的是||+||.
两次飞行的位移的和指的是+=.
依题意,
得||+||=800+800=1 600(km),
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
所以||===800(km).
其中∠BAC=45°,
所以方向为北偏东35°+45°=80°.
所以这架直升机飞行的路程是1 600 km,
两次飞行的位移的和为800 km,
方向为北偏东80°.
