§3 从速度的倍数到向量的数乘
3.1 向量的数乘运算
3.2 向量的数乘与向量共线的关系
学习目标
1.掌握向量数乘的定义并理解其几何意义,发展直观想象和逻辑推理的核心素养.
2.了解向量数乘运算的运算律,提升数学运算的核心素养.
3.理解共线(平行)向量基本定理,提升数学运算和逻辑推理的核心素养.
知识探究
知识点1 向量的数乘运算
(1)数乘运算的定义.
实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:
①当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;
当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;
当λ=0时,0a=0.
②|λa|=|λ||a|.
这种运算称为向量的数乘.
(2)数乘运算的运算律.
设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:
①(λ+μ)a=λa+μa;
②λ(μa)=(λμ)a;
③λ(a+b)=λa+λb.
(3)向量的线性运算.
向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c由向量a,b的线性运算得出,则称向量c可以用向量a,b线性表示.
(4)单位向量:在非零向量a方向上的单位向量是.
(1)关于λa的理解
①数乘运算定义的实质.
(ⅰ)条件:一个实数与一个向量相乘.
(ⅱ)结论:结果为一个向量,其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积,其方向与实数的正负有关.
②从两个角度看数乘运算.
(ⅰ)代数角度:
a.λ是实数,a是向量,它们的积仍然是向量;
b.λa=0的条件是λ=0或a=0.
(ⅱ)几何角度:
a.当|λ|>1时,有|λa|>|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<-1)上伸长到|a|的|λ|倍;
b.当0<|λ|<1时,有|λa|<|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍.
(2)对数乘运算的运算律的两点说明
①数乘运算的运算律满足的条件:三种运算律中的λ与μ都是实数.
②实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算.
知识点2 共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb.
[思考] 在共线(平行)向量基本定理中,为什么要求b≠0
提示:若b=0,当a≠0时不存在实数λ;若b=0,且a=0时实数λ可以有无数个值.
在共线(平行)向量基本定理中
(1)a=λb通常称为a能用b表示.
(2)其中的“唯一”指的是,如果还有a=μb,则有λ=μ.
[做一做] 若|a|=1,|b|=2,且a与b方向相同,则下列关系式正确的是( )
A.b=2a B.b=-2a
C.a=2b D.a=-2b
探究点一 数乘运算在几何中应用
[例1] 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,则等于( )
A.+ B.+
C.+ D.+
由平面图形中的已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联合三角形法则以及向量加法、减法和数乘以及几何图形的性质、定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用.
[针对训练] (多选题)在△ABC中,D在AB边上,=2,E是CD的中点,则( )
A.=- B.=+
C.=+ D.=2-3
探究点二 向量的线性运算
[例2] (1)化简下列各式.
①(-3)×4a;
②3(a+b)-2(a-b)-a;
③(2a+3b-c)-(3a-2b+c);
④(2λ-μ)a-λa-(λ-μ)(a-b)(λ,μ为实数).
(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,且向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,试用a,b表示x,y.
向量数乘运算的方法
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
易错警示:由于向量的线性运算的结果是一个向量,因此涉及结果为零向量时,要将结果写为0而不是实数0.
[针对训练] (1)已知向量a,b,x,且(x-2a)-(3b-x)=x-(2a+3b),则x= .
(2)计算下列各式.
①4(a+b)-3(a-b);
②3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).
探究点三 共线(平行)向量基本定理的应用
角度1 利用共线(平行)向量基本定理求参数
[例3] 设e1与e2是不共线的向量,若ke1+4e2与e1+ke2共线且方向相反,则实数k的值是 .
若a,b不共线,且存在实数λ,μ,使μa+λb=0,则必有μ=λ=0.因为a,b不共线,则a,b必为非零向量,若λ≠0,则b=-a,若μ≠0,则a=-b,无论哪种情况都有a,b共线与已知矛盾,故必有λ=μ=0.
[针对训练] 已知a与b为非零向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb
(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则2λ+μ等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
角度2 证明三点共线
[例4] 已知两个非零向量a与b不共线,=a-2b,=3a-2b,
=-a-2b,求证:A,B,D三点共线.
证明平面上三点共线的方法
证明平面上三点共线的理论依据是:若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线有公共点,则这两条直线共线.
具体方法是选择三点中的一个点为起点,另外两个点为终点构造向量求解.例如,若向量=λ,则, 共线,又 与 有公共点A,从而A,B,C三点共线.
[针对训练] 已知任意两向量a,b且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
角度3 直线的向量表示
[例5] 在△ABC中,=,P是BN上一点,若=t+,则实数t的值为( )
A. B. C. D.
已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R),则m+n=1是A,P,B三点共线的充要条件.
[针对训练] 在△ABC中,=-,则点P( )
A.在线段BC上,且=
B.在线段CB的延长线上,且=
C.在线段BC的延长线上,且=
D.在线段BC上,且=
学海拾贝
一个与三角形面积有关向量式的应用
已知点O为△ABC内任意一点,则S△AOC·+S△AOB·+S△BOC·=0.
证明如下:
如图,延长AO交BC于点M,则=+.
又=·,
则=+·=+·(-)=·+·,
则=·=··+··
=··+··,
即S△ABC·=S△AOC·+S△AOB·.
由于=-,=-,
则S△ABC·=S△AOC·(-)+S△AOB·(-),
所以S△AOC·+S△AOB·+(S△ABC-S△AOC-S△AOB)=0,
即S△AOC·+S△AOB·+S△BOC·=0.
[典例探究] 已知O是△ABC内一点,若2++3=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,求S△AOC∶S△ABC.
[应用探究] 已知O为正三角形ABC内的一点,且满足+λ+
(1+λ)=0,若△AOB的面积与△BOC的面积的比值为3,则λ的值为( )
A. B. C.2 D.3
当堂检测
1.(2a-b)-(2a+b)等于( )
A.a-2b B.-2b C.0 D.b-a
2.(多选题)对于非零向量a,下列说法正确的是( )
A.|2a|是|a|的2倍,且2a与a方向相同
B.|-|是|a|的,且-与a方向相反
C.若λ=0,则λa=0
D.若λ=,则λa是与a同向的单位向量
3.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则等于( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
4.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则 k= .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的数乘及向量的线性运算 1,3,4,6
共线(平行)向量基本定理 5,7,8,9
数乘运算的综合应用 2,10,11
基础巩固
1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,则等于( )
A.- B.-
C.+ D.+
2.若5+3=0,且||=||,则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.等腰梯形
3.(多选题)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列说法正确的是( )
A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|=λa
C.a与λ2a方向相同 D.|-2λa|=2|λ||a|
4.(多选题)在△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,CA,AB的中线,O是它们的交点,则( )
A.=-2
B.-=
C.=(+)
D.+=2(+)
5.(多选题)已知e1,e2是不共线的向量,下列向量a,b共线的有( )
A.a=e1,b=-2e2
B.a=e1-3e2,b=-2e1+6e2
C.a=3e1-e2,b=2e1-e2
D.a=e1+e2,b=e1-3e2
6.(a+2b)-(5a-2b)+a= .
7.设a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,a-b共线,则实数t=
.
能力提升
8.已知P是△ABC所在平面上一点,满足++=2,若S△PAB=4,则△ABC的面积为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
9.已知a,b是不共线的向量,=λa+μb,=3a-2b,=2a+3b,若A,B,C三点共线,则实数λ,μ满足 .
10.设P是△ABC所在平面内的一点,且=2,则△PAB与△PBC的面积之比是 .
11.如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=.设=a,=b.
(1)试用a,b表示,.
(2)若G为长方形ABCD内部一点,且=a+b,求证:E,G,F三点共线.§3 从速度的倍数到向量的数乘
3.1 向量的数乘运算
3.2 向量的数乘与向量共线的关系
学习目标
1.掌握向量数乘的定义并理解其几何意义,发展直观想象和逻辑推理的核心素养.
2.了解向量数乘运算的运算律,提升数学运算的核心素养.
3.理解共线(平行)向量基本定理,提升数学运算和逻辑推理的核心素养.
知识探究
知识点1 向量的数乘运算
(1)数乘运算的定义.
实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:
①当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;
当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;
当λ=0时,0a=0.
②|λa|=|λ||a|.
这种运算称为向量的数乘.
(2)数乘运算的运算律.
设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:
①(λ+μ)a=λa+μa;
②λ(μa)=(λμ)a;
③λ(a+b)=λa+λb.
(3)向量的线性运算.
向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c由向量a,b的线性运算得出,则称向量c可以用向量a,b线性表示.
(4)单位向量:在非零向量a方向上的单位向量是.
(1)关于λa的理解
①数乘运算定义的实质.
(ⅰ)条件:一个实数与一个向量相乘.
(ⅱ)结论:结果为一个向量,其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积,其方向与实数的正负有关.
②从两个角度看数乘运算.
(ⅰ)代数角度:
a.λ是实数,a是向量,它们的积仍然是向量;
b.λa=0的条件是λ=0或a=0.
(ⅱ)几何角度:
a.当|λ|>1时,有|λa|>|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<-1)上伸长到|a|的|λ|倍;
b.当0<|λ|<1时,有|λa|<|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍.
(2)对数乘运算的运算律的两点说明
①数乘运算的运算律满足的条件:三种运算律中的λ与μ都是实数.
②实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算.
知识点2 共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb.
[思考] 在共线(平行)向量基本定理中,为什么要求b≠0
提示:若b=0,当a≠0时不存在实数λ;若b=0,且a=0时实数λ可以有无数个值.
在共线(平行)向量基本定理中
(1)a=λb通常称为a能用b表示.
(2)其中的“唯一”指的是,如果还有a=μb,则有λ=μ.
[做一做] 若|a|=1,|b|=2,且a与b方向相同,则下列关系式正确的是( A )
A.b=2a B.b=-2a
C.a=2b D.a=-2b
解析:因为|a|=1,|b|=2,且a,b同向,
所以b=2a.故选A.
探究点一 数乘运算在几何中应用
[例1] 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,则等于( )
A.+ B.+
C.+ D.+
解析:如图所示,过点O作AF的平行线,交CD于点G,
在△CAF和△DOG中,
由中位线定理得G是CF的中点,F是DG的中点,从而=2.
法一 由=2,得-=2(-),即=+.则=+=+=+×+×=+.故选B.
法二 =+=+=+(-)
=+(-)=+.故选B.
由平面图形中的已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联合三角形法则以及向量加法、减法和数乘以及几何图形的性质、定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用.
[针对训练] (多选题)在△ABC中,D在AB边上,=2,E是CD的中点,则( )
A.=- B.=+
C.=+ D.=2-3
解析:对于选项A,由向量的减法法则可知=-,故A错误;
对于选项B,=+=+=+(-)=+,
故B正确;
对于选项C,=+=+=+(+)=+
=+(-)=+,故C正确;
对于选项D,=-=-3=-3(-)=2-3,故D正确.故选BCD.
探究点二 向量的线性运算
[例2] (1)化简下列各式.
①(-3)×4a;
②3(a+b)-2(a-b)-a;
③(2a+3b-c)-(3a-2b+c);
④(2λ-μ)a-λa-(λ-μ)(a-b)(λ,μ为实数).
(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,且向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,试用a,b表示x,y.
解:(1)①原式=(-3×4)a=-12a.
②原式=3a+3b-2a+2b-a=5b.
③原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.
④原式=2λa-μa-λa-λ(a-b)+μ(a-b)
=2λa-μa-λa-λa+λb+μa-μb
=(λ-μ)b.
(2)
由①×3+②×2得,x=3a+2b,
代入①得3×(3a+2b)-2y=a,
所以y=4a+3b.
所以x=3a+2b,y=4a+3b.
向量数乘运算的方法
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
易错警示:由于向量的线性运算的结果是一个向量,因此涉及结果为零向量时,要将结果写为0而不是实数0.
[针对训练] (1)已知向量a,b,x,且(x-2a)-(3b-x)=x-(2a+3b),则x= .
(2)计算下列各式.
①4(a+b)-3(a-b);
②3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).
(1)解析:由(x-2a)-(3b-x)=x-(2a+3b),得2x-2a-3b=x-2a-3b,即x=0.
答案:0
(2)解:①4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.
②3(a-2b+c)-(2a+b-3c)
=3a-6b+3c-2a-b+3c
=a-7b+6c.
③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)
=a-b-a-b+a+b
=(-+)a+(--+)b
=0a+0b
=0+0
=0.
探究点三 共线(平行)向量基本定理的应用
角度1 利用共线(平行)向量基本定理求参数
[例3] 设e1与e2是不共线的向量,若ke1+4e2与e1+ke2共线且方向相反,则实数k的值是 .
解析:若ke1+4e2与e1+ke2共线,
则存在实数x,使得ke1+4e2=x(e1+ke2),
因为e1与e2是不共线的向量,
所以所以k=±2,
又ke1+4e2与e1+ke2方向相反,所以k=-2.
答案:-2
若a,b不共线,且存在实数λ,μ,使μa+λb=0,则必有μ=λ=0.因为a,b不共线,则a,b必为非零向量,若λ≠0,则b=-a,若μ≠0,则a=-b,无论哪种情况都有a,b共线与已知矛盾,故必有λ=μ=0.
[针对训练] 已知a与b为非零向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb
(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则2λ+μ等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:由题意知,=a-2b,=(λ-2)a+(μ+1)b,A,B,C三点共线,故,共线,故不妨设存在实数k(k≠0),使得=k(k≠0),则所以λ-2=,解得2λ+μ=3.故选D.
角度2 证明三点共线
[例4] 已知两个非零向量a与b不共线,=a-2b,=3a-2b,
=-a-2b,求证:A,B,D三点共线.
证明:因为=a-2b,=3a-2b,=-a-2b,
所以=+=3a-2b+(-a-2b)=3a-2b-a-2b=2a-4b=2.
所以,共线.
因为它们有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
证明平面上三点共线的方法
证明平面上三点共线的理论依据是:若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线有公共点,则这两条直线共线.
具体方法是选择三点中的一个点为起点,另外两个点为终点构造向量求解.例如,若向量=λ,则, 共线,又 与 有公共点A,从而A,B,C三点共线.
[针对训练] 已知任意两向量a,b且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
解析:A选项,=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2,所以A,B,D三点一定共线,A正确;B选项,设=μ(μ∈R),则a+2b=μ(-5a+6b),即无解,B错误;C选项,设=m(m∈R),则-5a+6b=m(7a-2b),即无解,C错误;D选项,=+=a+2b-5a+6b=-4a+8b,设=n(n∈R),即-4a+8b=n(7a-2b),即无解,D错误.故选A.
角度3 直线的向量表示
[例5] 在△ABC中,=,P是BN上一点,若=t+,则实数t的值为( )
A. B. C. D.
解析:=-,
又因为=,
所以=,
所以=t+=t+.
因为点P,B,N三点共线,
所以t+=1,
解得t=.故选D.
已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R),则m+n=1是A,P,B三点共线的充要条件.
[针对训练] 在△ABC中,=-,则点P( )
A.在线段BC上,且=
B.在线段CB的延长线上,且=
C.在线段BC的延长线上,且=
D.在线段BC上,且=
解析:由题意,得-=(-),则=,所以C,P,B三点共线,且点P在线段CB的延长线上,=.故选B.
学海拾贝
一个与三角形面积有关向量式的应用
已知点O为△ABC内任意一点,则S△AOC·+S△AOB·+S△BOC·=0.
证明如下:
如图,延长AO交BC于点M,则=+.
又=·,
则=+·=+·(-)=·+·,
则=·=··+··
=··+··,
即S△ABC·=S△AOC·+S△AOB·.
由于=-,=-,
则S△ABC·=S△AOC·(-)+S△AOB·(-),
所以S△AOC·+S△AOB·+(S△ABC-S△AOC-S△AOB)=0,
即S△AOC·+S△AOB·+S△BOC·=0.
[典例探究] 已知O是△ABC内一点,若2++3=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,求S△AOC∶S△ABC.
解:法一 由2++3=0可知S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=2∶1∶3,
因此S△AOC∶S△ABC=1∶6.
法二 如图,设D,E分别是AC,BC的中点,
由题意有2(+)+(+)=0,
即 4+2=0,=-2,所以O,D,E三点共线且OE=2OD,
过E,O,B分别作AC上的高h1,h2,h3,易知=,=,则=,
所以S△AOC∶S△ABC=1∶6.
[应用探究] 已知O为正三角形ABC内的一点,且满足+λ+
(1+λ)=0,若△AOB的面积与△BOC的面积的比值为3,则λ的值为( )
A. B. C.2 D.3
解析:法一 由于+λ+(1+λ)=0,
变为++λ(+)=0.
如图,D,E分别是BC,AC的中点,
由平行四边形法则知+=2,
λ(+)=2λ,故=-λ.
在正三角形ABC中,
因为S△COB=S△AOB=×S△ABC=S△ABC,
S△COA=S△ABC-S△ABC-S△ABC=S△ABC.
且△AOC与△COB的底边相等,面积之比为2,
得λ=2.故选C.
法二 由已知条件+λ+(1+λ)=0可知S△AOB∶S△BOC=1+λ=3,因此λ=2.故选C.
当堂检测
1.(2a-b)-(2a+b)等于( B )
A.a-2b B.-2b C.0 D.b-a
解析:原式=2a-2a-b-b=-2b.故选B.
2.(多选题)对于非零向量a,下列说法正确的是( ABD )
A.|2a|是|a|的2倍,且2a与a方向相同
B.|-|是|a|的,且-与a方向相反
C.若λ=0,则λa=0
D.若λ=,则λa是与a同向的单位向量
解析:由数乘运算的定义知A,B,D中说法正确.对于C,若λ=0,则λa=0(实数与向量的乘积仍是一个向量),故C错误.故选ABD.
3.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则等于( B )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
解析:因为BD=2DA,所以=3,
所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B.
4.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则 k= .
解析:因为A,B,D三点共线,
故存在一个实数λ,使得=λ.
又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,
所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,
所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,
所以
解得k=-.
答案:-
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知识点、方法 题号
向量的数乘及向量的线性运算 1,3,4,6
共线(平行)向量基本定理 5,7,8,9
数乘运算的综合应用 2,10,11
基础巩固
1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,则等于( B )
A.- B.-
C.+ D.+
解析:因为AD为BC边上的中线,所以=(+).
又因为E为AD的中点,
所以=+=+=(+)+(-)=-.
故选B.
2.若5+3=0,且||=||,则四边形ABCD是( D )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.等腰梯形
解析:由5+3=0知,∥且||≠||,所以此四边形为梯形.又||=||,所以梯形ABCD为等腰梯形.故选D.
3.(多选题)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列说法正确的是( CD )
A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|=λa
C.a与λ2a方向相同 D.|-2λa|=2|λ||a|
解析:由已知可得若λ<0,则a与-λa的方向相同,故A错误;
由于实数与向量不能比较大小,故B错误;
a与λ2a方向相同,故C正确;
|-2λa|=2|λ||a|,故D正确.故选CD.
4.(多选题)在△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,CA,AB的中线,O是它们的交点,则( AC )
A.=-2
B.-=
C.=(+)
D.+=2(+)
解析:根据三角形重心的性质,知O为线段FC靠近点F的三等分点,所以=-2,故A正确;-=-==-,
故B错误;
==×(+)=(+),故C正确;
+=2,+=2=2×=,
所以+=3(+),故D错误.故选AC.
5.(多选题)已知e1,e2是不共线的向量,下列向量a,b共线的有( BC )
A.a=e1,b=-2e2
B.a=e1-3e2,b=-2e1+6e2
C.a=3e1-e2,b=2e1-e2
D.a=e1+e2,b=e1-3e2
解析:因为e1,e2是不共线的向量,
所以e1,e2都不是零向量.
对于A,若a与b共线,则e1,e2共线,这与已知矛盾,所以a与b不共线.
对于B,因为b=-2e1+6e2=-2(e1-3e2)=-2a,所以a与b共线.
对于C,因为b=2e1-e2=(3e1-e2)=a,
所以a与b共线.
对于D,若a与b共线,则存在实数λ∈R,使a=λb,
即e1+e2=λ(e1-3e2),
所以(1-λ)e1+(1+3λ)e2=0.
因为e1,e2是不共线的向量,
所以所以λ不存在,
所以a与b不共线.故选BC.
6.(a+2b)-(5a-2b)+a= .
解析:原式=a+b-a+b+a=-a+b.
答案:-a+b
7.设a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,a-b共线,则实数t=
.
解析:因为b-ta与a-b共线,
所以b-ta=λ(a-b)=a-b.
又a,b是两个不共线的向量,
所以
解得t=.
答案:
能力提升
8.已知P是△ABC所在平面上一点,满足++=2,若S△PAB=4,则△ABC的面积为( B )
A.8 B.12 C.16 D.20
解析:因为++=2,
所以++=2(+),
所以3=,
所以与共线,且方向相同,
所以3||=||.
又S△PAB=4,
所以S△ABC=3S△PAB=3×4=12.
故选B.
9.已知a,b是不共线的向量,=λa+μb,=3a-2b,=2a+3b,若A,B,C三点共线,则实数λ,μ满足 .
解析:法一 因为A,B,C三点共线,
所以设=m+(1-m),
即λa+μb=m(3a-2b)+(1-m)(2a+3b)=(m+2)a+(-5m+3)b,
所以消去m得5λ+μ=13.
法二 =-=(λa+μb)-(3a-2b)=(λ-3)a+(μ+2)b,=-=2a+3b-(3a-2b)=-a+5b.
因为A,B,C三点共线,
所以∥,=n,
故
①×5+②得5λ+μ=13.
答案:5λ+μ=13
10.设P是△ABC所在平面内的一点,且=2,则△PAB与△PBC的面积之比是 .
解析:作出图形如图所示.
因为=2,所以P为边AC上靠近点A的三等分点.
又△PAB与△PBC的底边长之比为||∶||=1∶2,且高相等,
所以△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.
答案:1∶2
11.如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=.设=a,=b.
(1)试用a,b表示,.
(2)若G为长方形ABCD内部一点,且=a+b,求证:E,G,F三点共线.
(1)解:由题意可知=+=+=+=b+a,
=+=+=-=a-b.
(2)证明:连接AF(图略),=+=+=a+b,
=a+b=(b+a)+(a+b)=+,
因为+=1,
所以E,G,F三点共线.
