§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
学习目标
1.了解平面向量基本定理的含义和基的含义,提升数学运算及逻辑推理的核心素养.
2.能够借助平面向量基本定理,用基表示向量,发展直观想象与数学运算的核心素养.
知识探究
知识点 平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理.
如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基、正交基和标准正交基.
我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为{e1,e2}.若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.
[思考1] 设e1,e2是平面向量的一组基,则e1,e2中可能有零向量吗
提示:由于零向量和任一向量共线,这不符合基中的向量特征,因此e1,e2中不能有零向量.
[思考2] 平面向量的基唯一吗
提示:不唯一,平面内任意不共线的两个向量均可以作为基.
[思考3] 如何理解平面向量基本定理中实数对的唯一性
提示:设e1,e2是平面向量的一组基,假设平面内的任意一个向量p有两种表示p=x1e1+y1e2,且p=x2e1+y2e2,则两式左右两边相减可得0=(x1-x2)·e1+(y1-y2)e2,由于e1,e2不共线,因此所以x1=x2,y1=y2,即平面向量基本定理中实数对是唯一的.
探究点一 基的理解
[例1](多选题)已知向量a=2e1-e2,b=e1+2e2,c=e1-e2,e1与e2不共线,则下面各组向量能构成基的是( )
A.a与b B.a与c
C.a-b与c D.a+b与c
判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
由基的定义可知,要判断两个向量a,b能否作为一组基,只需判断两向量是否共线,而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R,使a=λb成立.另外,作为基的向量必为非零向量.
[针对训练] 设e1,e2是两个不共线的向量,则下列四组向量中,不能作为平面向量的一组基的是( )
A.e1+e2和e1-e2
B.e1+2e2和e2+2e1
C.3e1-2e2和4e2-6e1
D.e2和e2+e1
探究点二 用基表示向量
角度1 利用平面图形中的基表示向量
[例2] 如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基表示向量与.
用几何图形中的基表示向量的方法
用几何图形中的基表示向量主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算,因此求解时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量.
[针对训练] 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E为CD的中点,AE与BD交于点F,若=a,=b,则等于( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
角度2 用已知向量表示未知向量问题
[例3] 设e1,e2是平面向量的一组基,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基a,b的线性组合,即e1+e2= .
用已知不共线的向量表示未知向量主要是找到已知向量与未知向量的关系,结合平面向量基本定理用方程的思想求出未知向量.
[针对训练] 已知{e1,e2}是平面α内所有向量的一组基,且a=e1+e2,
b=3e1-2e2,c=2e1+3e2,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ= .
探究点三 共线(平行)向量基本定理、平
面向量基本定理的综合运用
[例4] 如图所示,在△ABC中,=a,=b,D,F分别为线段BC,AC上一点,且BD=2DC,CF=3FA,BF和AD相交于点E.
(1)用向量a,b表示;
(2)假设=λ+(1-λ)=μ,λ,μ∈R,用向量a,b表示,并求出实数μ的值.
选用基向量,根据向量加减法和数乘的运算法则,表示其他向量,特别是从不同的侧面表示同一个向量,利用平面向量基本定理中实数λ1,λ2的唯一性得出方程组,求解其中设定的参数值.
[针对训练] 如图,在△ABC中,D是BC上一点,G是AD上一点,且==2,过点G作直线分别交AB,AC于点E,F.
(1)用向量与表示;
(2)若=,求和的值.
当堂检测
1.下列有关平面向量基本定理的四个命题错误的是( )
A.一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面向量的基
B.一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面向量的基
C.平面向量的一组基可能互相垂直
D.一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合
2.已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是该平面向量的一组基的是( )
A.{,} B.{,}
C.{,} D.{,}
3.如图所示,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则等于( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
4.如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
基的理解 1,2,7
平面向量基本定理的理解 3,4,5,6,12,14
平面向量基本定理的应用 8,9,10,11,13
基础巩固
1.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为该正六边形所在平面向量的一组基的是( )
A.{,}
B.{,}
C.{,}
D.{,}
2.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,下列向量中能作为平面向量的一组基的是( )
A.e1+e2,2e1+2e2
B.e1-2e2,-e1+e2
C.-e1+e2,-e1-e2
D.2e1+3e2,e1+e2
3.在平行四边形ABCD中,=,=3,则等于( )
A.+ B.+
C.- D.-
4.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,=2,若EC与BD交于点O,且=λ+,则λ等于( )
A. B. C. D.
5.(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2BC,E是线段CD的中点,线段AE与线段BD交于点F,则( )
A.=2 B.=-
C.=+ D.=
6.如图所示,||=||=1,||=,∠AOB=60°,⊥.设=x+y,则x+y= .
7.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面向量的一组基,则实数λ的取值范围为 .
8.在正八边形ABCDEFGH中,若=x+y(x,y∈R),则x+y=
.
能力提升
9.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则x,y满足的关系是( )
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
10.如图所示,,是两个不共线向量,N为线段OB的中点,M为线段OA上靠近点A的三等分点,点C在直线MN上,且=x+y
(x,y∈R),则x2+y2的最小值为( )
A. B. C. D.
11.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,
μ∈R),则等于( )
A.2 B.4 C.5 D.7
12.如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设=a,=b,若=2,则= .(用a和b表示)
13.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:向量a,b可以作为一组基.
(2)以{a,b}为一组基,求向量c=3e1-e2的分解式.
(3)若4e1-3e2=λa+μb(λ,μ∈R),求λ,μ的值.
14.如图,在△ABC中,AQ为边BC的中线,=,过点P作直线分别交边AB,AC于点M,N,且=λ,=μ,其中λ>0,μ>0.
(1)当∥时,用,线性表示.
(2)证明:+为定值.§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
学习目标
1.了解平面向量基本定理的含义和基的含义,提升数学运算及逻辑推理的核心素养.
2.能够借助平面向量基本定理,用基表示向量,发展直观想象与数学运算的核心素养.
知识探究
知识点 平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理.
如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基、正交基和标准正交基.
我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为{e1,e2}.若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.
[思考1] 设e1,e2是平面向量的一组基,则e1,e2中可能有零向量吗
提示:由于零向量和任一向量共线,这不符合基中的向量特征,因此e1,e2中不能有零向量.
[思考2] 平面向量的基唯一吗
提示:不唯一,平面内任意不共线的两个向量均可以作为基.
[思考3] 如何理解平面向量基本定理中实数对的唯一性
提示:设e1,e2是平面向量的一组基,假设平面内的任意一个向量p有两种表示p=x1e1+y1e2,且p=x2e1+y2e2,则两式左右两边相减可得0=(x1-x2)·e1+(y1-y2)e2,由于e1,e2不共线,因此所以x1=x2,y1=y2,即平面向量基本定理中实数对是唯一的.
探究点一 基的理解
[例1](多选题)已知向量a=2e1-e2,b=e1+2e2,c=e1-e2,e1与e2不共线,则下面各组向量能构成基的是( )
A.a与b B.a与c
C.a-b与c D.a+b与c
解析:设a=λb,即2e1-e2=λ(e1+2e2),则无解,故a与b不共线,能构成基;同理可得,a与c,a+b与c均不共线,均能构成基.
因为a-b=(2e1-e2)-(e1+2e2)=e1-3e2=2(e1-e2)=2c,所以a-b与c共线,不能构成基.故选ABD.
判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
由基的定义可知,要判断两个向量a,b能否作为一组基,只需判断两向量是否共线,而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R,使a=λb成立.另外,作为基的向量必为非零向量.
[针对训练] 设e1,e2是两个不共线的向量,则下列四组向量中,不能作为平面向量的一组基的是( )
A.e1+e2和e1-e2
B.e1+2e2和e2+2e1
C.3e1-2e2和4e2-6e1
D.e2和e2+e1
解析:对于A,e1+e2和e1-e2没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一组基;
对于B,e1+2e2和e2+2e1没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一组基;
对于C,4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共线向量,不能作为平面向量的一组基;
对于D,e2和e2+e1不共线,可作为平面向量的一组基.故选C.
探究点二 用基表示向量
角度1 利用平面图形中的基表示向量
[例2] 如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基表示向量与.
解:在平行四边形ABCD中,=a,=b,
H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,
所以=+=+=+=b+a,
=-=+-=a+b-b=a-b.
用几何图形中的基表示向量的方法
用几何图形中的基表示向量主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算,因此求解时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量.
[针对训练] 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E为CD的中点,AE与BD交于点F,若=a,=b,则等于( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
解析:平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,如图,
则==a,==b.
因为E为CD的中点,
所以==(-)=a-b.
由DE∥AB,得==,
则有==b,所以=+=b+a-b=a+b.故选C.
角度2 用已知向量表示未知向量问题
[例3] 设e1,e2是平面向量的一组基,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基a,b的线性组合,即e1+e2= .
解析:因为a=e1+2e2,①
b=-e1+e2,②
显然a与b不共线,①+②得a+b=3e2,
所以e2=,代入②得e1=e2-b=-b=a-b,故有e1+e2=a-b+a+b=a-b.
答案:a-b
用已知不共线的向量表示未知向量主要是找到已知向量与未知向量的关系,结合平面向量基本定理用方程的思想求出未知向量.
[针对训练] 已知{e1,e2}是平面α内所有向量的一组基,且a=e1+e2,
b=3e1-2e2,c=2e1+3e2,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ= .
解析:因为c=λa+μb=λ(e1+e2)+μ(3e1-2e2)=(λ+3μ)e1+(λ-2μ)e2,c=2e1+3e2,
所以解得所以λ+μ=.
答案:
探究点三 共线(平行)向量基本定理、平
面向量基本定理的综合运用
[例4] 如图所示,在△ABC中,=a,=b,D,F分别为线段BC,AC上一点,且BD=2DC,CF=3FA,BF和AD相交于点E.
(1)用向量a,b表示;
(2)假设=λ+(1-λ)=μ,λ,μ∈R,用向量a,b表示,并求出实数μ的值.
解:由题意得=3,=2,
所以=,=.
(1)因为=+,=a,=b,
所以=+=+(-)=+=-a+b.
(2)由(1)知=-a+b,而==b,=λ+(1-λ)=μ =-λa+(1-λ)b=μ(-a+b).因为a与b不共线,由平面向量基本定理得
解得所以=-a+b,μ=.
选用基向量,根据向量加减法和数乘的运算法则,表示其他向量,特别是从不同的侧面表示同一个向量,利用平面向量基本定理中实数λ1,λ2的唯一性得出方程组,求解其中设定的参数值.
[针对训练] 如图,在△ABC中,D是BC上一点,G是AD上一点,且==2,过点G作直线分别交AB,AC于点E,F.
(1)用向量与表示;
(2)若=,求和的值.
解:(1)=+=+=++=+.
(2)因为=,所以=.
设=μ,==(+)
=+=+,
因为G,E,F三点共线,所以+=1,
解得μ=,所以=.
因为=+=-+,
=+=-++
=-+=(-+),
所以=,即=.
当堂检测
1.下列有关平面向量基本定理的四个命题错误的是( A )
A.一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面向量的基
B.一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面向量的基
C.平面向量的一组基可能互相垂直
D.一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合
解析:根据平面向量基本定理知一个平面内任意一对不平行的向量都可作为表示该平面向量的基,故A错误;一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面向量的基,故B正确;平面向量的一组基只要不共线,也可能互相垂直,故C正确;一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合,故D正确.故选A.
2.已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是该平面向量的一组基的是( D )
A.{,} B.{,}
C.{,} D.{,}
解析:由于,不共线,所以可作为一组基.故选D.
3.如图所示,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则等于( B )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
解析:=+=+=+(-)=a+(b-a)=a+b.故选B.
4.如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .
解析:设=a,=b,
则=a+b,=a+b.
又因为=a+b,所以=(+),
即λ=μ=,所以λ+μ=.
答案:
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
基的理解 1,2,7
平面向量基本定理的理解 3,4,5,6,12,14
平面向量基本定理的应用 8,9,10,11,13
基础巩固
1.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为该正六边形所在平面向量的一组基的是( B )
A.{,}
B.{,}
C.{,}
D.{,}
解析:由题图可知,与,与,与均共线,故{,},{,},{,}均不能作为该平面向量的一组基;与不共线,故{,}可作为该平面向量的一组基.故选B.
2.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,下列向量中能作为平面向量的一组基的是( C )
A.e1+e2,2e1+2e2
B.e1-2e2,-e1+e2
C.-e1+e2,-e1-e2
D.2e1+3e2,e1+e2
解析:e1,e2是平面内两个不共线的向量,
2e1+2e2=2(e1+e2),
即向量e1+e2,2e1+2e2共线,A不符合题意;
e1-2e2=-2(-e1+e2),
即向量e1-2e2,-e1+e2共线,B不符合题意;
2e1+3e2=(e1+e2),
即向量2e1+3e2,e1+e2共线,D不符合题意;
因为=1≠,
即向量-e1+e2与-e1-e2不共线,
则向量-e1+e2与-e1-e2能作为平面向量的一组基,C符合题意.故选C.
3.在平行四边形ABCD中,=,=3,则等于( B )
A.+ B.+
C.- D.-
解析:=+=+=+.故选B.
4.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,=2,若EC与BD交于点O,且=λ+,则λ等于( A )
A. B. C. D.
解析:由四边形ABCD是平行四边形,且=2,可知△BOE∽△DOC,且==,
所以==(-)=+,
则λ=.故选A.
5.(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2BC,E是线段CD的中点,线段AE与线段BD交于点F,则( ACD )
A.=2 B.=-
C.=+ D.=
解析:对于选项A,由已知条件可知=2,则A正确;
对于选项B,=-,则B错误;
对于选项C,如图,连接AC,
因为E是线段CD的中点,
所以=+
=(+)+
=++
=+,则C正确;
对于选项D,设=λ(λ∈R),点B,F,D三点共线,
则存在实数m,使得=m,
=+=+=+(-)=(1-)+,
λ=λ(+)=λ+λ,所以
消去m得1-λ=λ,解得λ=,所以=,则D正确.故选ACD.
6.如图所示,||=||=1,||=,∠AOB=60°,⊥.设=x+y,则x+y= .
解析:过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D,连接BC(图略).
由||=1,||=,∠AOB=60°,⊥,知∠COD=30°,
∠OCD=90°,CD=1.所以在Rt△OCD中,可得OD=2CD=2,
则=+=-2+,所以x=-2,y=1,则x+y=-1.
答案:-1
7.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面向量的一组基,则实数λ的取值范围为 .
解析:若a,b能作为平面向量的一组基,则a与b不共线,
则a≠kb(k∈R),又a=e1+2e2,b=2e1+λe2,所以λ≠4.
答案:(-∞,4)∪(4,+∞)
8.在正八边形ABCDEFGH中,若=x+y(x,y∈R),则x+y=
.
解析:如图,连接CH,
则AB∥CH.
不妨设AB=2,则CH=2+2,
即=(+1),
所以=+=(+1)+,
则x=+1,y=1,故x+y=+2.
答案:+2
能力提升
9.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则x,y满足的关系是( A )
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
解析:由=λ,得-=λ(-),
即=(1+λ)-λ,又2=x+y,所以
消去λ得x+y=2,即x+y-2=0.故选A.
10.如图所示,,是两个不共线向量,N为线段OB的中点,M为线段OA上靠近点A的三等分点,点C在直线MN上,且=x+y
(x,y∈R),则x2+y2的最小值为( A )
A. B. C. D.
解析:因为C,M,N三点共线,所以存在实数λ,μ使=λ+μ=λ+μ,且λ+μ=1.又=x+y(x,y∈R),
所以x=λ,y=μ=(1-λ).
故x2+y2=(λ)2+(1-λ)2=λ2-+=(λ-)2+,易知当λ=时,x2+y2取得最小值,最小值为.故选A.
11.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,
μ∈R),则等于( B )
A.2 B.4 C.5 D.7
解析:根据题意不妨取如图所示的两个互相垂直的单位向量e1,e2,
则a=-e1+e2,b=6e1+2e2,c=-e1-3e2.因为c=λa+μb(λ,μ∈R),
所以-e1-3e2=λ(-e1+e2)+μ(6e1+2e2)=(-λ+6μ)e1+(λ+2μ)e2,
所以解得
所以=4.故选B.
12.如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设=a,=b,若=2,则= .(用a和b表示)
解析:设=λ,λ∈R,
则=λ(+)=λ(+)=λ+λ.
因为D,O,B三点共线,所以λ+λ=1,
所以λ=,所以=+=a+b.
答案:a+b
13.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:向量a,b可以作为一组基.
(2)以{a,b}为一组基,求向量c=3e1-e2的分解式.
(3)若4e1-3e2=λa+μb(λ,μ∈R),求λ,μ的值.
(1)证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,
即e1-2e2=λ(e1+3e2) (1-λ)e1-(2+3λ)e2=0,由e1和e2不共线,所以1-λ=0,且2+3λ=0,λ无解,所以a,b不共线,可以作为一组基.
(2)解:设c=ma+nb(m,n∈R),
则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
因为e1与e2不共线,
所以
所以c=2a+b.
(3)解:由4e1-3e2=λa+μb,
得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2,
所以
故所求λ,μ的值分别为3和1.
14.如图,在△ABC中,AQ为边BC的中线,=,过点P作直线分别交边AB,AC于点M,N,且=λ,=μ,其中λ>0,μ>0.
(1)当∥时,用,线性表示.
(2)证明:+为定值.
(1)解:因为AQ为边BC的中线,
所以=+.
因为∥,=,
所以=,=,
所以=×+× =+.
(2)证明:由(1)可得==(+)=(+).
因为=λ,=μ,
所以=,=,
所以=+.
由M,P,N三点共线,
可得+=1,
即+=5(定值).
