4.2 平面向量及运算的坐标表示
学习目标
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示,发展数学抽象的核心素养.
2.掌握向量和、差、数乘以及向量平行的坐标表示,培养数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 平面向量的坐标表示
如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作=a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数x,y,使=xi+yj.因此,a=xi+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a=(x,y).
[思考1] 向量终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗 请简要说明.
提示:向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同,当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同.
[思考2] 向量可以根据需要进行平移,则平移后的向量坐标变化吗 变化的是什么
提示:当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.变化的是向量的起点坐标与终点坐标.
知识点2 平面向量运算的坐标表示
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),平面向量的坐标运算法则如表所示.
运算 自然语言 坐标表示
加法 两个向量a,b的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法 两个向量a,b的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 a-b=(x1-x2,y1-y2)
数乘 实数λ与向量a数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 λa=(λx1,λy1),λ∈R
(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).
(3)中点坐标公式:若点A(x1,y1),点B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则此公式为线段AB的中点坐标公式.
知识点3 平面向量平行的坐标表示
在平面直角坐标系中,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a,b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
[思考3] 若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a∥b时一定有=成立吗
提示:不一定.当b1,b2均不为0时,=成立.
[做一做] 已知非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,则实数m的值为( )
A.-1或 B.1或-
C.-1 D.
向量的坐标与点的坐标的区别
(x,y)在平面直角坐标系中有双重含义,既可以表示一个点,也可以表示一个向量.为了区分,我们通常说点A(x,y),向量a=(x,y).
向量坐标前带“=”,而点的坐标前不带.
探究点一 平面向量的坐标表示
[例1] 已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,,的坐标.
求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对于坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.
(2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的起点、终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标.
[针对训练] 设点A(1,2),B(3,5),将向量平移后得到的的坐标为( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,7)
探究点二 平面向量线性运算的坐标表示
[例2] 已知A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),若线段BC的中点为M,求,+,-的坐标.
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的坐标运算可类比数的运算进行.
[针对训练] 已知a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
探究点三 平面向量坐标运算的应用
[例3] 已知点A(2,3),B(5,4),=(5λ,7λ)(λ∈R).若=+,试求λ为何值时:
(1)点P在第一、第三象限的角平分线上;
(2)点P在第三象限内.
[变式探究] 本例条件不变,若点P在第二、第四象限的角平分线上呢
坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件:相等向量的对应坐标相等.
(2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可以求出某些参数的值或点的坐标.
探究点四 平面向量平行的坐标表示
角度1 利用平面向量平行的坐标运算求参数
[例4] 已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若(a+λb)∥c,则实数λ等于( )
A.2 B.1 C. D.
两平面向量平行的坐标运算公式的应用方法
(1)已知两个向量共线,求点或向量的坐标、求参数的值,要注意利用两个向量共线的坐标表示列方程求解.
(2)求解与向量a,b的线性运算有关的共线问题,应先求线性运算的向量的坐标后再利用共线向量的坐标表示求解.
[针对训练] 已知a=(3,m),b=(2m+1,1),则“m=1”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
角度2 利用共线向量的坐标运算求解三点共线问题
[例5] 已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断与是否共线.如果共线,它们的方向相同还是相反
根据三点的坐标研究三点共线的方法
已知三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求解三点共线问题,可从三点中选定一个点作为起点,另外两点作为终点构造向量,分别求出向量的坐标,利用平面向量平行的坐标表示求解.
[针对训练] 设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),其中k∈R.若A,B,C三点共线,则k= .
当堂检测
1.设点A在30°角的终边上,||=2(O是坐标原点),则向量的坐标为( )
A.(,) B.(,)
C.(-,-) D.(-,-)
2.已知向量=(1,-5),=(-2,1),则等于( )
A.(4,-6) B.(-1,-4)
C.(-2,4) D.(2,-4)
3.已知向量a=(x,1),b=(1,2),且a∥b,则x的值是( )
A. B.0 C.1 D.2
4.已知三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,则m的值为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
平面向量的坐标及坐标运算 1,4,7
共线向量的坐标表示 3,5,6,11
平面向量坐标的综合应用 2,8,9,10,12,13,14,15
基础巩固
1.在四边形ABCD中,A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分别为边AB,CD的中点,则等于( )
A.(4,2) B.(-4,-2)
C.(8,4) D.(-8,-4)
2.(多选题)下列各组向量中,不能作为基的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(1,2),e2=(-2,1)
C.e1=(-3,4),e2=(,-)
D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)
3.已知向量a=(1,1),b=(2,-1),若(λa+b)∥(a-2b),则实数λ等于( )
A. B.- C.2 D.-2
4.若{a,b}是一组基,向量c=xa+yb(x,y∈R),则称(x,y)为向量c在基{a,b}下的坐标.现已知向量t在基{p=(1,2),q=(-1,1)}下的坐标为(-1,-3),则向量t在另一组基{m=(1,-1),n=(0,-1)}下的坐标为( )
A.(-1,-3) B.(2,-3)
C.(2,-5) D.(2,3)
5.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述不正确的是( )
A.存在实数x,使a∥b
B.存在实数x,使(a+b)∥a
C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a
D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b
6.(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= .
7.已知点A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若=2,AC与BD交于点M,则点M的坐标为 .
8.设a=(1,2),b=(-1,1),c=(-5,-4).
(1)试用a,b表示c;
(2)若(a+kb)∥c,求k的值,说明此时(a+kb)与c是同向还是反向.
能力提升
9.(多选题)已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),D是BC上靠近点B的三等分点,点M是△ABC的重心,且=,则( )
A.M(,) B.D(,)
C.N(,) D.3-=(4,-2)
10.(多选题)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),则下列选项正确的是( )
A.+=(λ-1,1-μ)
B.若∥,则λ=2,μ=
C.若A是BD的中点,则B,C两点重合
D.若点B,C,D共线,则μ=1
11.已知a=(x,m),b=(3x-2,x+2).
(1)若a=b,则m= ;
(2)若存在实数x,使得a∥b,则实数m的取值范围是 .
12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,-2),B(2,1),C(3,2).
(1)若点D(-2,3),=a,=b,试用基{a,b}表示++.
(2)若=+λ(λ∈R),且点P在第四象限,求λ的取值范围.
13.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点分别为A(-2,-1),
B(2,2),C(1,3),且A,B,C,D按逆时针方向排列.
(1)求点D的坐标.
(2)在①b=,②b=这两个条件中任选一个填序号补充在下面的横线上,并解答.
已知a=(1,2), ,且ka+b与平行,求k的值.
应用创新
14.设=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为 .
15.已知在平行四边形ABCD中,=2,=2,=2.
(1)用,表示 .
(2)若||=6,||=3,∠BAD=45°,如图建立平面直角坐标系,求和的坐标.4.2 平面向量及运算的坐标表示
学习目标
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示,发展数学抽象的核心素养.
2.掌握向量和、差、数乘以及向量平行的坐标表示,培养数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 平面向量的坐标表示
如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作=a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数x,y,使=xi+yj.因此,a=xi+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a=(x,y).
[思考1] 向量终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗 请简要说明.
提示:向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同,当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同.
[思考2] 向量可以根据需要进行平移,则平移后的向量坐标变化吗 变化的是什么
提示:当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.变化的是向量的起点坐标与终点坐标.
知识点2 平面向量运算的坐标表示
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),平面向量的坐标运算法则如表所示.
运算 自然语言 坐标表示
加法 两个向量a,b的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法 两个向量a,b的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 a-b=(x1-x2,y1-y2)
数乘 实数λ与向量a数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 λa=(λx1,λy1),λ∈R
(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).
(3)中点坐标公式:若点A(x1,y1),点B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则此公式为线段AB的中点坐标公式.
知识点3 平面向量平行的坐标表示
在平面直角坐标系中,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a,b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
[思考3] 若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a∥b时一定有=成立吗
提示:不一定.当b1,b2均不为0时,=成立.
[做一做] 已知非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,则实数m的值为( D )
A.-1或 B.1或-
C.-1 D.
解析:由题意得-2(m2-1)-1×(m+1)=0,且m≠-1,解得m=.
向量的坐标与点的坐标的区别
(x,y)在平面直角坐标系中有双重含义,既可以表示一个点,也可以表示一个向量.为了区分,我们通常说点A(x,y),向量a=(x,y).
向量坐标前带“=”,而点的坐标前不带.
探究点一 平面向量的坐标表示
[例1] 已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,,的坐标.
解:如图,正三角形ABC的边长为2,
则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),
所以C(1,),D(,),
所以=(2,0),=(1,),=(1-2,-0)=(-1,),
=(-2,-0)=(-,).
求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对于坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.
(2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的起点、终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标.
[针对训练] 设点A(1,2),B(3,5),将向量平移后得到的的坐标为( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,7)
解析:因为A(1,2),B(3,5),所以=(2,3),
由题意知与方向相同,大小也相等,只是位置不同,
于是==(2,3).
故选B.
探究点二 平面向量线性运算的坐标表示
[例2] 已知A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),若线段BC的中点为M,求,+,-的坐标.
解:由线段BC的中点为M可知M(,),即M(-4,8),
所以=(-6,12).因为=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),
所以+=(-2,10)+(-8,4)=(-10,14),
-=(-8,4)-(-10,14)=(-3,-3).
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的坐标运算可类比数的运算进行.
[针对训练] 已知a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)
=(-2,4)+(6,3)
=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)
=(-1,2)-(6,3)
=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)
=(-,1)-(,)
=(-,).
探究点三 平面向量坐标运算的应用
[例3] 已知点A(2,3),B(5,4),=(5λ,7λ)(λ∈R).若=+,试求λ为何值时:
(1)点P在第一、第三象限的角平分线上;
(2)点P在第三象限内.
解:设点P的坐标为(x,y),
则=(x-2,y-3),
+=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ).
因为=+,
所以则
(1)若点P在第一、第三象限角的平分线上,
则5+5λ=4+7λ,所以λ=.
(2)若点P在第三象限内,则
所以λ<-1.
[变式探究] 本例条件不变,若点P在第二、第四象限的角平分线上呢
解:由本例解题过程可知,若点P在第二、第四象限的角平分线上,则5+5λ+4+7λ=0,
所以λ=-.
坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件:相等向量的对应坐标相等.
(2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可以求出某些参数的值或点的坐标.
探究点四 平面向量平行的坐标表示
角度1 利用平面向量平行的坐标运算求参数
[例4] 已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若(a+λb)∥c,则实数λ等于( )
A.2 B.1 C. D.
解析:因为a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),所以a+λb=(1+λ,2).因为(a+λb)∥c,所以4(1+λ)-2×3=0,解得λ=.故选C.
两平面向量平行的坐标运算公式的应用方法
(1)已知两个向量共线,求点或向量的坐标、求参数的值,要注意利用两个向量共线的坐标表示列方程求解.
(2)求解与向量a,b的线性运算有关的共线问题,应先求线性运算的向量的坐标后再利用共线向量的坐标表示求解.
[针对训练] 已知a=(3,m),b=(2m+1,1),则“m=1”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由a∥b可得m(2m+1)=3,解得m=-或m=1,所以“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
角度2 利用共线向量的坐标运算求解三点共线问题
[例5] 已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断与是否共线.如果共线,它们的方向相同还是相反
解:由题意,得=(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
法一 因为(-2)×(-6)-3×4=0,且(-2)×4<0,所以与共线且方向相反.
法二 因为=-2,所以与共线且方向相反.
根据三点的坐标研究三点共线的方法
已知三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求解三点共线问题,可从三点中选定一个点作为起点,另外两点作为终点构造向量,分别求出向量的坐标,利用平面向量平行的坐标表示求解.
[针对训练] 设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),其中k∈R.若A,B,C三点共线,则k= .
解析:由题意知,共线.
因为=-=(4-k,-7),
=-=(10-k,k-12),
所以(4-k)×(k-12)=(10-k)×(-7),
所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.
故若A,B,C三点共线,则k=-2或11.
答案:-2或11
当堂检测
1.设点A在30°角的终边上,||=2(O是坐标原点),则向量的坐标为( A )
A.(,) B.(,)
C.(-,-) D.(-,-)
解析:因为点A在30°角的终边上,||=2(O是坐标原点),所以点A在第一象限,且到原点的距离为2,则A的横坐标为x=2cos 30°=,纵坐标为y=2sin 30°=,所以向量的坐标为(,).故选A.
2.已知向量=(1,-5),=(-2,1),则等于( B )
A.(4,-6) B.(-1,-4)
C.(-2,4) D.(2,-4)
解析:=+=(-1,-4).故选B.
3.已知向量a=(x,1),b=(1,2),且a∥b,则x的值是( A )
A. B.0 C.1 D.2
解析:因为a∥b,所以2x-1=0 x=.
故选A.
4.已知三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,则m的值为 .
解析:由题知=(1,2),=(2,m-2).
因为A,B,C三点共线,所以与共线,
所以m-2-4=0,所以m=6.
答案:6
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
平面向量的坐标及坐标运算 1,4,7
共线向量的坐标表示 3,5,6,11
平面向量坐标的综合应用 2,8,9,10,12,13,14,15
基础巩固
1.在四边形ABCD中,A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分别为边AB,CD的中点,则等于( A )
A.(4,2) B.(-4,-2)
C.(8,4) D.(-8,-4)
解析:由题意知E(-,),F(,),
所以=(,)-(-,)=(4,2).故选A.
2.(多选题)下列各组向量中,不能作为基的是( ACD )
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(1,2),e2=(-2,1)
C.e1=(-3,4),e2=(,-)
D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)
解析:对于A,e1=(0,0),e2=(1,1),由零向量与任意向量共线,可知两个向量不能作为基;对于B,因为e1=(1,2),e2=(-2,1),所以1×1-2×(-2)=5≠0,所以两个向量不共线,可以作为基;对于C,因为e1=(-3,4),e2=(,-),所以-3×(-)-4×=0,可知两个向量共线,故不可以作为基;对于D,由e1=(2,6),e2=(-1,-3),得2×(-3)-6×(-1)=0,可知两个向量共线,故不能作为基.故选ACD.
3.已知向量a=(1,1),b=(2,-1),若(λa+b)∥(a-2b),则实数λ等于( B )
A. B.- C.2 D.-2
解析:由已知得λa+b=(λ+2,λ-1),a-2b=(-3,3),又因为(λa+b)∥(a-2b),
所以3(λ+2)=-3(λ-1),解得λ=-.故选B.
4.若{a,b}是一组基,向量c=xa+yb(x,y∈R),则称(x,y)为向量c在基{a,b}下的坐标.现已知向量t在基{p=(1,2),q=(-1,1)}下的坐标为(-1,-3),则向量t在另一组基{m=(1,-1),n=(0,-1)}下的坐标为( D )
A.(-1,-3) B.(2,-3)
C.(2,-5) D.(2,3)
解析:由已知条件知,t=-(1,2)-3(-1,1)=(2,-5),即t在标准正交基下的坐标为(2,-5).
设t=xm+yn,则t=x(1,-1)+y(0,-1)=(x,-x-y)=(2,-5),所以解得x=2,y=3,故向量t在基{m,n}下的坐标为(2,3).故选D.
5.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述不正确的是( ABC )
A.存在实数x,使a∥b
B.存在实数x,使(a+b)∥a
C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a
D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b
解析:只有D正确,可令m=0,则ma+b=b,无论x为何值,都有b∥b.故选ABC.
6.(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= .
解析:因为a∥b,所以a=kb(k∈R),
即(2,5)=k(λ,4),得解得
答案:
7.已知点A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若=2,AC与BD交于点M,则点M的坐标为 .
解析:结合题意,如图,设C(x,y),M(x1,y1),
易得=(x-3,y-2),=(1,4),
由=2,可得(x-3,y-2)=2(1,4),
解得即C(5,10).
因为=2,所以△DMA∽△BMC,
所以==,所以=,
即(x1+1,y1-1)=(6,9)=(2,3),
解得即点M的坐标为(1,4).
答案:(1,4)
8.设a=(1,2),b=(-1,1),c=(-5,-4).
(1)试用a,b表示c;
(2)若(a+kb)∥c,求k的值,说明此时(a+kb)与c是同向还是反向.
解:(1)设c=xa+yb(x,y∈R),
依题意,(-5,-4)=x(1,2)+y(-1,1)=(x-y,2x+y),从而
解得所以c=-3a+2b.
(2)依题意,a+kb=(1-k,2+k),
而c=(-5,-4),由(a+kb)∥c,
得=,解得k=-,
此时a+kb=(,)与c反向.
能力提升
9.(多选题)已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),D是BC上靠近点B的三等分点,点M是△ABC的重心,且=,则( ABD )
A.M(,) B.D(,)
C.N(,) D.3-=(4,-2)
解析:设点M(x,y),则
A正确;D是BC上靠近点B的三等分点,则3=,设D(a,b),则3(a-2,b-3)=(-4,2),即解得B正确;设N(c,d),则=(c-,d-),又=(1,1),=,所以解得C错误;3-=3(,)-(-3,3)=(4,-2),D正确.故选ABD.
10.(多选题)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),则下列选项正确的是( AC )
A.+=(λ-1,1-μ)
B.若∥,则λ=2,μ=
C.若A是BD的中点,则B,C两点重合
D.若点B,C,D共线,则μ=1
解析:A选项,+=-+-=-=(λ,1)-(1,μ)=
(λ-1,1-μ),A选项正确;若∥,则λ·μ=1,故可取λ=3,
μ=,B选项错误;若A是BD的中点,则=-,即(λ,1)=
(-1,-μ) λ=μ=-1,所以==(-1,1),所以B,C两点重合,C选项正确;由于B,C,D三点共线,所以∥,
=-=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),
=-=(1-λ,μ-1),
则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ) λ=-1或μ=1,所以D选项错误.
故选AC.
11.已知a=(x,m),b=(3x-2,x+2).
(1)若a=b,则m= ;
(2)若存在实数x,使得a∥b,则实数m的取值范围是 .
解析:(1)因为a=b,所以
即 m=3.
(2)因为a∥b,所以存在实数λ,使得a=λb成立,则有 x(x+2)=m(3x-2),因为该方程有实数解,所以x2+(2-3m)x+2m=0,于是有Δ=(2-3m)2-8m≥0 m≥2或m≤.
答案:(1)3 (2)(-∞,]∪[2,+∞)
12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,-2),B(2,1),C(3,2).
(1)若点D(-2,3),=a,=b,试用基{a,b}表示++.
(2)若=+λ(λ∈R),且点P在第四象限,求λ的取值范围.
解:(1)=(1,3),=(2,4),=(-3,5),=(-4,2),=(-5,1),
所以++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
由题意,知存在实数m,n,使得++=m+n,
则(-12,8)=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n),
可得解得
所以++=32-22,
即++=32a-22b.
(2)设P(x,y),则=(x-1,y+2),
又=+λ=(1,3)+λ(2,4)=(1+2λ,3+4λ),则即
又点P在第四象限,
所以解得-1<λ<-.
故λ的取值范围是(-1,-).
13.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点分别为A(-2,-1),
B(2,2),C(1,3),且A,B,C,D按逆时针方向排列.
(1)求点D的坐标.
(2)在①b=,②b=这两个条件中任选一个填序号补充在下面的横线上,并解答.
已知a=(1,2), ,且ka+b与平行,求k的值.
解:(1)设D(x,y),=(2,2)-(-2,-1)=(4,3),=(1,3)-(x,y)=(1-x,3-y),
因为=,
所以解得故D(-3,0).
(2)选择①,a=(1,2),b=(4,3),ka+b=(k,2k)+(4,3)=(k+4,2k+3),=(-3,0)-(2,2)=(-5,-2),由题意得-2(k+4)=-5(2k+3),解得k=-.
选择②,a=(1,2),b=(-1,1),ka+b=(k,2k)+(-1,1)=(k-1,2k+1),
=(-3,0)-(2,2)=(-5,-2),由题意得-2(k-1)=-5(2k+1),解得k=-.
应用创新
14.设=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为 .
解析:由题意,得=-=(-a+2,-2),=-=(b+2,-4).又A,B,C三点共线,则∥,所以-4(-a+2)=-2(b+2),整理得2a+b=2,
又a>0,b>0,所以+=(2a+b)(+)=(3++)≥(3+2)=
,当且仅当a=2-,b=2-2时,等号成立.
答案:
15.已知在平行四边形ABCD中,=2,=2,=2.
(1)用,表示 .
(2)若||=6,||=3,∠BAD=45°,如图建立平面直角坐标系,求和的坐标.
解:(1)=+,=+,
又=2,所以-=2(-),
所以=+=+.
(2)过点D作AB的垂线交AB于点D′,如图,
于是在Rt△ADD′中,由∠BAD=45°可知,AD′=3,根据题意得各点坐标为A(0,0),B(6,0),D(3,3),F(7,1),
=+=(6,0)+(3,3)=(,),
=-=(,-),=(4,-2).
