§5 从力的做功到向量的数量积
5.1 向量的数量积
学习目标
1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义,提高数学抽象的核心素养.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系,增强直观想象的核心素养.
3.掌握向量数量积的运算律及其应用,提升数学抽象与数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 向量的数量积的定义
(1)非零向量a与b的夹角记为
或θ(0°≤θ≤180°),|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos=|a||b|cos θ.
(2)规定:零向量与任一向量的数量积为0.
[做一做1] 已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角是120°,则a·b等于( B )
A.3 B.-3 C.-3 D.3
解析:由数量积的定义,
得a·b=|a||b|cos 120°=×2×(-)=-3.故选B.
知识点2 投影向量和投影数量
(1)投影向量.
如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,过点A向直线OB作垂线,垂足为A′,得到向量γ=,γ称为a在b上的投影向量.
(2)投影向量的数量.
|a|cos称为投影向量γ的数量,也称为向量a在向量b方向上的投影数量,可以表示为a·.
[思考] 两个向量的数量积a·b的几何意义是什么
提示:设a,b的夹角为θ,则a·b的几何意义是b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积;或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积.
[做一做2] 已知|a|=3,向量a与b的夹角θ为,则a在b方向上的投影数量为 .
解析:向量a在b方向上的投影数量为|a|cos θ=3×cos=.
答案:
知识点3 数量积的运算性质
(1)数量积的运算律.(对任意的向量a,b,c和实数λ)
①交换律:a·b=b·a.
②与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
③关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
(2)数量积的性质.
①若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos.
②若a,b是非零向量,则a·b=0 a⊥b.
③a·a=|a|2,即|a|=.
④cos=(|a||b|≠0).
⑤|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
[做一做3] 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 .
解析:|a-b|====,
设向量a与a-b的夹角为θ,
则cos θ===.
又θ∈[0,π],所以θ=.
答案:
探究点一 向量数量积的计算
[例1] 已知|a|=5,|b|=4,当a与b满足下列条件时,分别求a·b.
(1)a与b的夹角为.
(2)a⊥b.
(3)a与b的夹角为.
(4)a∥b.
解:(1)a·b=|a||b|cos=5×4×(-)=-10.
(2)a·b=|a||b|cos=0.
(3)a·b=|a||b|cos=5×4×=10.
(4)因为a∥b,所以当a,b同向时,
a·b=|a||b|cos=5×4×1=20;
当a,b反向时,a·b=|a||b|cos=5×4×(-1)=-20.
求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
[针对训练] (多选题)已知向量a,b,c,下列选项中正确的有( )
A.|a|2=a2
B.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
C.a·(b+c)=a·b+a·c
D.|a·b|≤|a||b|
解析:选项A中,a2=a·a=|a|·|a|·cos 0=|a|2,A正确;选项B中,左边=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|2=右边,所以B正确;选项C中,a·(b+c)=a·b+a·c满足分配律,C正确;选项D中,|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|(其中θ为向量a与b的夹角),D正确.故选ABCD.
探究点二 投影向量和投影数量
[例2] (1)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,(a+b)·(2a-3b)=12,则向量b在向量a上的投影向量为( )
A.a B.2b C.a D.2b
(2)已知a·b=16,若a在b方向上的投影数量为4,则|b|= .
解析:(1)a·b=|a|·|b|cos 45°=4|b|cos 45°=2|b|,又(a+b)·(2a-3b)=|a|2+a·b-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12,解得|b|=或|b|=-(舍去).则向量b在向量a上的投影向量为
|b|cos 45°=1×=a.故选A.
(2)设a与b的夹角为θ,因为a·b=16,
所以|a||b|cos θ=16.
又因为a在b方向上的投影数量为4,
所以|a|cos θ=4,所以|b|=4.
答案:(1)A (2)4
a在b方向上的投影数量是一个“数量”,其值为|a|cos=a·,而a在b上的投影是向量,这个向量等于(|a|cos)·=·b.
[针对训练] (1)已知|a|=2,|b|=10,a与b的夹角为120°,与a同向的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为( )
A.e B.-e C.5e D.-5e
(2)在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,则在方向上的投影数量为 ,在方向上的投影数量为 .
解析:(1)向量b在向量a上的投影向量为
e=e=-5e.故选D.
(2)因为||=5,||=4,||=3,所以△ABC是直角三角形.
因为cos A=,所以在方向上的投影数量为||cos A=3×=.
因为cos B=,
所以在方向上的投影数量为||·(-cos B)=5×(-)=-4.
答案:(1)D (2) -4
探究点三 求向量的模和向量的夹角
[例3] 已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|;
(2)当a·b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ.
解:(1)因为(a-b)·(a+b)=,即a2-b2=,
即|a|2-|b|2=,
所以|b|2=|a|2-=1-=,故|b|=.
(2)因为|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=1-1+1=1,所以|a+2b|=1.
又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=,
所以cos θ==,
又θ∈[0,π],故θ=.
求向量的模与向量夹角的思路
(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2,即|a|=.
(2)求向量的夹角,主要是利用公式cos=求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
[针对训练] (1)若平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且|a+b|=|a-b|,则|2a+b|等于( )
A. B.2 C.2 D.8
(2)已知向量a,b,|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,若a+b与ta-b的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 .
解析:(1)因为|a|=1,|b|=2,且|a+b|=|a-b|,所以a⊥b,所以a·b=0.故|2a+b|===2.故选B.
(2)因为a+b与ta-b的夹角为钝角,所以(a+b)·(ta-b)=ta2-a·b+ta·b-b2<0.又|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,所以ta2-a·b+ta·b-b2=t-+t-1<0,即t-<0,解得t<1.又a+b与ta-b不共线,所以t≠-1,所以实数t的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,1).
答案:(1)B (2)(-∞,-1)∪(-1,1)
探究点四 与向量垂直有关的问题
[例4] (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|等于( )
A. B. C. D.1
解析:因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,
即b2=2a·b.
又因为|a|=1,|a+2b|=2,
所以(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1+6b2=4,
从而|b|=.故选B.
对于非零向量a,b,a⊥b a·b=0是向量中非常重要的性质,其作用主要有:(1)证明两向量垂直;(2)利用a·b=0列方程求未知数的值;(3)解决平面几何图形中的垂直问题.
[针对训练] 在△ABC中,∠A=60°,AB=1,AC=2,=λ+(1-λ),且⊥,则实数λ的值为( )
A. B. C. D.
解析:因为=λ+(1-λ)=-λ+(1-λ)(-)=
(1-λ)-,又⊥,所以·=[(1-λ)-]·
=(1-λ)-·=0,所以4(1-λ)-1×2×=0.解得λ=.
故选D.
当堂检测
1.若两个单位向量的数量积等于-1,则这两个单位向量的夹角为( D )
A.0 B. C. D.π
解析:设两个单位向量分别为e1,e2,
则e1·e2=|e1|·|e2|cos=cos=-1,
因为∈[0,π],所以=π.故选D.
2.已知||=,||=1,且,的夹角为,则||等于( D )
A.1 B. C.2 D.
解析:由题意得=-,
所以||2==-2·+
=1-2××1×cos+2=5,故||=.
故选D.
3.已知|a|=2,且a与b的夹角为60°,e为与b方向相同的单位向量,则向量a在向量b上的投影向量为 .
解析:因为a与b的夹角为60°,所以a在向量b上的投影向量为|a|cos 60°e=2×e=e.
答案:e
4.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ= .
解析:因为a⊥b,所以a·b=0,所以(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0,所以λ=.
答案:
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量数量积的定义、投影向量 1,3
向量数量积的运算律 2,4,6,7
向量数量积的应用 5,8,9,10
基础巩固
1.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=4,向量a与向量b的夹角的余弦值为,则向量a在向量b上的投影向量为( D )
A.a B.3a C.b D.b
解析:向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos)=(3×) =b.故选D.
2.设a,b是单位向量,若a⊥b,则(a+b)·b的值为( A )
A.1 B.0 C.-1 D.-
解析:因为a⊥b,所以a·b=0,所以(a+b)·b=a·b+b2=0+1=1.故选A.
3.短边与长边的比为≈0.618的矩形叫作黄金矩形,它广泛地出现在艺术、建筑、人体和自然界中.在黄金矩形ABCD中,BC=-1,AB>BC,那么·的值为( C )
A.-1 B.+1
C.4 D.2+2
解析:由黄金矩形的定义,可得AB=2.在矩形ABCD中,cos∠CAB=,则·=||||·cos∠CAB=||2=4.故选C.
4.已知平面向量a与b为单位向量,它们的夹角为,则|2a+b|等于( D )
A. B. C. D.
解析:因为a·b=|a||b|cos=cos=,
所以|2a+b|====.故选D.
5.(多选题)下列说法正确的是( ACD )
A.已知a,b为平面内两个不共线的向量,则{a+b,-a+3b}可作为平面的一组基
B.若a∥b,则存在唯一实数λ,使得a=λb
C.两个非零向量a,b,若|2a+3b|=-2|a|+3|b|,则a与b共线且反向
D.在△ABC中,·=||||,(-)·(+)=0,
则△ABC为等边三角形
解析:由a,b为平面内两个不共线的向量,所以设a+b=λ(-a+3b)=
-λa+3λb(λ∈R),所以则λ不存在,所以a+b与-a+3b不共线,则{a+b,-a+3b}可作为平面的一组基,故A正确;只有当b≠0时,若a∥b,则存在唯一实数λ,使得a=λb,故B错误;因为两个非零向量a,b,设a与b夹角为α,由|2a+3b|=-2|a|+3|b|,平方得4a2+12a·
b+9b2=4|a|2-12|a|·|b|+9|b|2,a·b=-|a|·|b|,所以cos α=-1,又α∈[0,π],所以α=π,则a与b共线且反向,故C正确;在△ABC中,·=||||,所以cos A=,A∈(0,π),所以A=,由(-)·(+)=0,得-=0,即||=||,则△ABC为等边三角形,故D正确.故选ACD.
6.已知平面向量a,b满足|a-2b|=,|a|=3,若cos=,则|b|= .
解析:由题知,|a-2b|=,|a|=3,
cos=,
则|a-2b|====,
整理可得4|b|2-3|b|-10=0,
解得|b|=2或-(舍去),故|b|=2.
答案:2
7.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为 .
解析:设|b|=1,则|a+b|=|a-b|=2.
由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,
故以a,b为邻边的平行四边形是矩形,且|a|=.
设向量a+b与a的夹角为θ,
则cos θ==
==,
又0≤θ≤π,所以θ=.
答案:
能力提升
8.如图所示,在边长为2的正三角形ABC中,= +,=+,则·等于( D )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
解析:因为=+,=+,
所以=,=.
所以=+=-++
=-++ - =+.
所以·=(+)·
=+·
=+||·||cos 60°=2.故选D.
9.(多选题)已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的点,且=,=2,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是( ABD )
A.=+
B.|++|=
C.·=-1
D.在上的投影向量为
解析:如图,
因为BD与CE交于点O,则,共线,,共线,
设=λ(λ∈R),
因为=+=-,
所以=-=λ+
=-λ+ λ+-
=(λ-1)+(1-λ).
又=-=-+,且与共线,
所以 μ∈R,使得=μ,
即( λ-1)+(1-λ)=-μ+.因为,不共线,
所以解得
所以=×(-+)=-,
所以=+=+,故A正确.由A项分析可知,=-,=+,=-+,所以++=-+,所以|++|=|++|===,故B正确.由A项分析知,=-+,=-,所以·=(-+)·(-)=--+·=-×22-×22+×22×=-2,故C错误.因为=-=-+,=-+,所以·=(-+)·(-+)=+-·=×4+×4-×2=,又||=2,所以在上的投影向量为()=,故D正确.故选ABD.
10.单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-,且a与b不共线,若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为 .
解析:因为ka+b与a+3b的夹角为锐角,
所以(ka+b)·(a+3b)>0,
且ka+b与a+3b不共线,当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b),λ∈R,即ka+b=λa+3λb.
又a与b不共线,所以解得k=,所以当ka+b与a+3b不共线时,k≠.
由(ka+b)·(a+3b)>0,
得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0,
即k+(3k+1)×+3>0,解得k>-,
所以k>-且k≠.
答案:(-,)∪(,+∞)§5 从力的做功到向量的数量积
5.1 向量的数量积
学习目标
1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义,提高数学抽象的核心素养.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系,增强直观想象的核心素养.
3.掌握向量数量积的运算律及其应用,提升数学抽象与数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 向量的数量积的定义
(1)非零向量a与b的夹角记为或θ(0°≤θ≤180°),|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos=|a||b|cos θ.
(2)规定:零向量与任一向量的数量积为0.
[做一做1] 已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角是120°,则a·b等于( )
A.3 B.-3 C.-3 D.3
知识点2 投影向量和投影数量
(1)投影向量.
如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,过点A向直线OB作垂线,垂足为A′,得到向量γ=,γ称为a在b上的投影向量.
(2)投影向量的数量.
|a|cos称为投影向量γ的数量,也称为向量a在向量b方向上的投影数量,可以表示为a·.
[思考] 两个向量的数量积a·b的几何意义是什么
提示:设a,b的夹角为θ,则a·b的几何意义是b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积;或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积.
[做一做2] 已知|a|=3,向量a与b的夹角θ为,则a在b方向上的投影数量为 .
知识点3 数量积的运算性质
(1)数量积的运算律.(对任意的向量a,b,c和实数λ)
①交换律:a·b=b·a.
②与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
③关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
(2)数量积的性质.
①若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos.
②若a,b是非零向量,则a·b=0 a⊥b.
③a·a=|a|2,即|a|=.
④cos=(|a||b|≠0).
⑤|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
[做一做3] 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 .
探究点一 向量数量积的计算
[例1] 已知|a|=5,|b|=4,当a与b满足下列条件时,分别求a·b.
(1)a与b的夹角为.
(2)a⊥b.
(3)a与b的夹角为.
(4)a∥b.
求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
[针对训练] (多选题)已知向量a,b,c,下列选项中正确的有( )
A.|a|2=a2
B.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
C.a·(b+c)=a·b+a·c
D.|a·b|≤|a||b|
探究点二 投影向量和投影数量
[例2] (1)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,(a+b)·(2a-3b)=12,则向量b在向量a上的投影向量为( )
A.a B.2b C.a D.2b
(2)已知a·b=16,若a在b方向上的投影数量为4,则|b|= .
a在b方向上的投影数量是一个“数量”,其值为|a|cos=a·,而a在b上的投影是向量,这个向量等于(|a|cos)·=·b.
[针对训练] (1)已知|a|=2,|b|=10,a与b的夹角为120°,与a同向的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为( )
A.e B.-e C.5e D.-5e
(2)在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,则在方向上的投影数量为 ,在方向上的投影数量为 .
探究点三 求向量的模和向量的夹角
[例3] 已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|;
(2)当a·b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ.
求向量的模与向量夹角的思路
(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2,即|a|=.
(2)求向量的夹角,主要是利用公式cos=求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
[针对训练] (1)若平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且|a+b|=|a-b|,则|2a+b|等于( )
A. B.2 C.2 D.8
(2)已知向量a,b,|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,若a+b与ta-b的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 .
探究点四 与向量垂直有关的问题
[例4] (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|等于( )
A. B. C. D.1
对于非零向量a,b,a⊥b a·b=0是向量中非常重要的性质,其作用主要有:(1)证明两向量垂直;(2)利用a·b=0列方程求未知数的值;(3)解决平面几何图形中的垂直问题.
[针对训练] 在△ABC中,∠A=60°,AB=1,AC=2,=λ+(1-λ),且⊥,则实数λ的值为( )
A. B. C. D.
当堂检测
1.若两个单位向量的数量积等于-1,则这两个单位向量的夹角为( )
A.0 B. C. D.π
2.已知||=,||=1,且,的夹角为,则||等于( )
A.1 B. C.2 D.
3.已知|a|=2,且a与b的夹角为60°,e为与b方向相同的单位向量,则向量a在向量b上的投影向量为 .
4.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ= .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量数量积的定义、投影向量 1,3
向量数量积的运算律 2,4,6,7
向量数量积的应用 5,8,9,10
基础巩固
1.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=4,向量a与向量b的夹角的余弦值为,则向量a在向量b上的投影向量为( )
A.a B.3a C.b D.b
2.设a,b是单位向量,若a⊥b,则(a+b)·b的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.-
3.短边与长边的比为≈0.618的矩形叫作黄金矩形,它广泛地出现在艺术、建筑、人体和自然界中.在黄金矩形ABCD中,BC=-1,AB>BC,那么·的值为( )
A.-1 B.+1
C.4 D.2+2
4.已知平面向量a与b为单位向量,它们的夹角为,则|2a+b|等于( )
A. B. C. D.
5.(多选题)下列说法正确的是( )
A.已知a,b为平面内两个不共线的向量,则{a+b,-a+3b}可作为平面的一组基
B.若a∥b,则存在唯一实数λ,使得a=λb
C.两个非零向量a,b,若|2a+3b|=-2|a|+3|b|,则a与b共线且反向
D.在△ABC中,·=||||,(-)·(+)=0,
则△ABC为等边三角形
6.已知平面向量a,b满足|a-2b|=,|a|=3,若cos=,则|b|= .
7.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为 .
能力提升
8.如图所示,在边长为2的正三角形ABC中,= +,=+,则·等于( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
9.(多选题)已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的点,且=,=2,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是( )
A.=+
B.|++|=
C.·=-1
D.在上的投影向量为
10.单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-,且a与b不共线,若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为 .