5.2 向量数量积的坐标表示
5.3 利用数量积计算长度与角度
学习目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算,培养数学运算的核心素养.
2.能够用向量的坐标表示及向量数量积的运算律求向量的夹角与长度,提高数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 向量数量积的坐标表示
如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
数量积 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
[思考1] 已知向量a=(x,y),则与a垂直的向量的坐标是什么
提示:由向量垂直的关系式可得b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,因此λ(-y,x)=(-λy,λx)(λ∈R)是与a=(x,y)垂直的向量的坐标.
[做一做1] 已知a=(-1,3),b=(2,4),则a·b的值是 .
解析:a·b=(-1)×2+3×4=10.
答案:10
知识点2 向量模的坐标表示
向量的模 设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或 |a|=
两点间的 距离公式 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 ||=
[思考2] 已知向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是什么
提示:设与a共线的单位向量为a0,则a0=±a=±(,)=
±(,)(x2+y2≠0),其中正号、负号分别表示与a同向和反向.
[做一做2] 已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,则x= .
解析:由|a|=|b|得=,
解得x=±2.
答案:±2
知识点3 向量坐标表示的夹角公式
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ==(|a||b|≠0).
知识点4 点到直线的距离公式
已知直线AB的方向向量m以及直线上一点A的坐标和直线外一点P的坐标,那么点P到直线AB的距离d为线段AP在直线的垂线方向上的投影数量.设直线AB的垂线方向向量为n,则d=|·|.
[做一做3] 已知点A(0,1),直线AB的方向向量为m=(2,-1),则点P(1,3)到直线AB的距离为 .
解析:设直线AB的垂线方向向量为n,则n⊥m.设n=(x,y),则n·m=(x,y)·(2,-1)=0,
即2x-y=0,令x=1,得y=2,n=(1,2).由于A(0,1),P(1,3),
于是=(1,3)-(0,1)=(1,2),点P到直线AB的距离d=|·|=||==.
答案:
探究点一 向量数量积的坐标表示
[例1] (1)已知a=(1,-1),b=(2,4),则a·(a+b)等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)已知向量a=(2,),b=(-1,),则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为( )
A.(-,) B.(,-)
C.(,-) D.(-,)
解析:(1)a·(a+b)=(1,-1)·(3,3)=3-3=0.故选B.
(2)因为向量a=(2,),b=(-1,),所以向量a在向量b方向上的投影数量为==,
所以向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为
·=b=(-,).
故选A.
根据向量的坐标求向量数量积的方法
(1)一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解.
[针对训练] 已知a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),若(8a-b)·c=30,则x等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:由题意可得,8a-b=(6,3),又(8a-b)·c=30,c=(3,x),所以18+3x=30,解得x=4.故选C.
探究点二 向量垂直的坐标表示
[例2] (1)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),则“m=2”是“a⊥b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知向量a=(-1,2),b=(2,-4),若向量a+λb与a+b垂直,则λ的值为 .
解析:(1)当m=2时,a=(1,1),b=(2,-2),
所以a·b=(1,1)·(2,-2)=2-2=0,
所以a⊥b,充分性成立;
当a⊥b时,a·b=(m-1,1)·(m,-2)=m(m-1)-2=0,解得m=2或m=-1,必要性不成立.
所以“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.故选A.
(2)因为a=(-1,2),b=(2,-4),
所以a+λb=(-1,2)+λ(2,-4)=(-1+2λ,2-4λ),a+b=(-1,2)+(2,-4)=(1,-2).
因为向量a+λb与a+b垂直,所以(a+λb)·(a+b)=(-1+2λ)×1-2(2-4λ)=10λ-5=0,解得λ=.
答案:(1)A (2)
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b与a⊥b的坐标表示如下:
a∥b x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0.
a⊥b x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0.
两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积相等,横横纵纵积相反.
[针对训练] (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是( )
A.a⊥b B.a⊥(a-b)
C.b⊥(a-b) D.a⊥(a+b)
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(m,1).若c⊥(2a+b),则实数m等于( )
A.2 B.-2 C. D.-
解析:(1)因为a=(2,-1),b=(1,7),所以a·b=1×2+7×(-1)=-5,故A错误;a-b=(2,-1)-(1,7)=(1,-8),a+b=(2,-1)+(1,7)=(3,6),所以a·(a-b)=2×1+(-1)×(-8)=10,b·(a-b)=1×1+(-8)×7=-55,故B,C错误;a·(a+b)=2×3+(-1)×6=0,故a⊥(a+b),故D正确.故选D.
(2)由题意,向量a=(1,2),b=(2,-2),
可得2a+b=(4,2).
因为c⊥(2a+b),所以c·(2a+b)=0.
又因为c=(m,1),所以4m+2=0,
解得m=-.故选D.
探究点三 求向量的模
[例3] (1)
如图,在△ABC中,M为BC的中点,若AB=1,AC=3,与的夹角为60°,则||= ;
(2)设平面向量a=(1,2),若a∥b,且|b|=5,则|4a-b|= .
解析:(1)因为M为BC的中点,
所以=(+),
所以||2=(+)2
=(||2+||2+2·)
=×(1+9+2×1×3cos 60°)=,
所以||=.
(2)向量a=(1,2),由a∥b可设b=λa(λ∈R),则b=(λ,2λ),由|b|=5可知
=5,因此λ=±5.
当λ=5时,b=(5,10),此时4a-b=(-1,-2),则|4a-b|=;
当λ=-5时,b=(-5,-10),此时4a-b=(9,18),则|4a-b|=9.
答案:(1) (2)或9
求向量的模的两种基本策略
(1)基表示下的向量运算.
利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量的数量积的运算问题求解.
(2)坐标表示下的运算.
若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
[针对训练] 已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,则|a+b|的值是( )
A.2 B. C. D.
解析:因为a∥b,所以-2x-4=0,
解得x=-2.
所以b=(-2,4),所以a+b=(-1,2),
则|a+b|==.故选B.
探究点四 向量的夹角
[例4] (1)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.若(a+b)·c=,则a与c的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
(2)若向量a=(1,5),b=(1,-1),则向量a+2b与a-b的夹角等于( )
A.- B. C. D.
解析:(1)依题意,得a+b=(-1,-2),|a|=.设c=(x,y),a与c的夹角为θ,因为(a+b)·c=,所以x+2y=-.所以a·c=x+2y=-,所以cos θ===-.又θ∈[0°,180°],所以a与c的夹角为120°.故选C.
(2)向量a=(1,5),b=(1,-1),
则a+2b=(3,3),a-b=(0,6),
故(a+2b)·(a-b)=3×0+3×6=18,
|a+2b|=3,|a-b|=6,
则向量a+2b与a-b的夹角θ满足cos θ===,
又θ∈[0,π],
故θ=.故选C.
利用向量法求夹角的方法技巧
(1)若已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),求向量a,b的夹角,利用公式cos
=,当向量的夹角为特殊角时,再求出这个角.
(2)非坐标条件下求向量的夹角问题,可结合题意求出向量的数量积及模后利用cos=求夹角.
[针对训练] (1)设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则cos θ等于( )
A. B.
C. D.
(2)已知向量|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(2a-b)=1,则a与b的夹角为 .
解析:(1)设b=(x,y),则a+3b=(2+3x,1+3y)=(5,4),
所以解得即b=(1,1),
所以cos θ===.故选C.
(2)由(a+2b)·(2a-b)=1,
得2a2+3a·b-2b2=1,
因为|a|=3,|b|=2,所以18+3a·b-8=1,
解得a·b=-3.
设a与b的夹角为θ,
则cos θ===-,
因为θ∈[0,π],所以θ=.
答案:(1)C (2)
学海拾贝
坐标转化法求解几何图形中的向量数量积问题
[典例探究] (1)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,·(+)的最小值是( )
A.-2 B.- C.- D.-1
(2)已知在菱形ABCD中,AC=2,BD=2,点E为线段CD上一点,且CE=2ED,则∠AEB的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析:(1)
如图,以等边△ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),
=(1-x,-y),
所以·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2x2+2(y-)2-,
当x=0,y=时,·(+)取得最小值-.故选B.
(2)设AC与BD交于点O,以O为坐标原点,AC,BD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系如图所示,
则A(,0),B(0,1),E(-,-),
所以=(,),=(,),
则cos∠AEB===.故选D.
求解与平面几何图形中有关的向量数量积或夹角(模)等问题时,若已知平面几何图形中有明显的建立平面直角坐标系的条件[如含有互相垂直的线段、等腰(正)三角形、矩形、正方形等],常常建立平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算求解.
[应用探究] 在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点(不与端点重合),DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,则|2+|的值为 ;(+)·的最小值为 .
解析:如图,过F作FG⊥AB,交AB于点G,易证得△BED≌△AGF,四边形EDFG是矩形,
所以=,=,
则2+=++=,
所以|2+|=||=1.
连接DG,由题意知,+=,
则(+)·=·.
以B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示.
设|BD|=2t(0则|BG|=1-t,D(2t,0),A(,),G(,).
所以=(,),=(-2t,),
所以·=5t2-3t+1=5(t-)2+,
所以当t=时,·取得最小值,
即(+)·的最小值为.
答案:1
当堂检测
1.向量a=(1,2),b=(-2,-1),那么向量a-b在a上的投影向量的坐标为( A )
A.(,) B.(,)
C.(,) D.(-,-)
解析:因为a=(1,2),b=(-2,-1),所以a-b=(3,3),则a-b在a上的投影数量为cos·|a-b|===,则a-b在a
上的投影向量的坐标为·=(,).故选A.
2.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b等于( C )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=,所以a·b=1.故选C.
3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t等于( C )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
解析:由题意,得c=a+tb=(3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为=,所以cos=cos,即=,即=3+t,
解得t=5.故选C.
4.如图,在2×4的方格纸中,若向量a,b的起点和终点均在格点,则向量a+b,a-b的夹角的余弦值是 .
解析:不妨设每个小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,
则a=(2,-1),b=(3,2),
所以a+b=(5,1),a-b=(-1,-3),
所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8,
|a+b|=,|a-b|=,
所以向量a+b,a-b的夹角的余弦值为
cos==-.
答案:-
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量数量积的坐标运算 5
向量的模与夹角 1,2,6,8,11
向量数量积坐标 运算的综合应用 3,4,7,9,10,12, 13,14,15
基础巩固
1.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),a⊥b,则|a|等于( A )
A. B.2 C.10 D.
解析:向量a=(x,1),b=(1,-2),a⊥b,则a·b=x-2=0,解得x=2,即a=(2,1),
所以|a|==.
故选A.
2.设向量a=(,1),b=(x,-3),c=(1,-),若b∥c,则a-b与b的夹角为( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:因为b∥c,所以-x=(-3)×1,所以x=,所以b=(,-3),a-b=(0,4).所以cos===-.又0°≤≤180°,所以a-b与b的夹角为150°.故选D.
3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则( D )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
解析:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb)可得(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D.
4.已知向量a=(2,1),b=(-3,1),则以下说法正确的是( D )
A.(a+b)∥a
B.向量a在向量b上的投影向量为b
C.a与a-b夹角的余弦值为
D.若c=(,-),则a⊥c
解析:因为a=(2,1),b=(-3,1),所以a+b=(-1,2),因为2×2-1×(-1)=5≠0,故A不正确;
因为|a|=,|b|=,所以向量a在向量b上的投影向量为·=·=-b,故B不正确;因为a-b=(5,0),设a与a-b的夹角为β,则cos β===,故C不正确;a·c=2×+1×(-)=0,即a⊥c,故D正确.故选D.
5.(2021·北京卷)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)·c= ,a·b= .
解析:因为a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),
所以a+b=(4,0),
所以(a+b)·c=4×0+0×1=0,
所以a·b=2×2+1×(-1)=3.
答案:0 3
6.已知|a|=2,b=(2,-3),若a⊥b,则|a+b|= .
解析:设a=(x,y),
则由|a|=2,得x2+y2=52,①
由a⊥b,得2x-3y=0,②
由①②,得或
所以a=(6,4)或a=(-6,-4).
所以a+b=(8,1)或a+b=(-4,-7),
所以|a+b|=.
答案:
7.若向量a的起点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)与a平行的单位向量的坐标;
(3)与a垂直的单位向量的坐标.
解:(1)因为a==(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a|==5.
(2)与a平行的单位向量是±=±(4,-3),
即坐标为(,-)或(-,).
(3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n),则a·e=4m-3n=0.
又因为|e|=1,所以m2+n2=1.
解得或所以e=(,)或e=(-,-).
能力提升
8.已知平面向量a,b满足a=(-1,2),|b|=,|a-b|=,则a与b的夹角为( B )
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析:设向量a,b的夹角为θ,因为a=(-1,2),
可得|a|=.又因为|b|=,|a-b|=,
可得|a-b|2=a2+b2-2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|cos θ=5+10-2××cos θ=15-10cos θ=5,
解得cos θ=.因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故选B.
9.(多选题)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a,则下列选项正确的是( AC )
A.a,b能作为平面内所有向量的一组基
B.“m<3”是“a=(-1,3)与c=(m,1)夹角是锐角”的充要条件
C.向量a与向量b的夹角是45°
D.向量b在向量a上的投影向量坐标是(-1,3)
解析:因为a=(-1,3),b=(x,2),所以a-2b=(-1-2x,-1),
则(a-2b)·a=1+2x-3=0,解得x=1,所以b=(1,2),可得a,b不共线,
故A正确.因为向量a=(-1,3),c=(m,1),由a·c=-m+3>0,解得m<3;
又由当a,c共线时,可得-1×1-3×m=0,解得m=-,所以B错误.
由cos====,
因为0°≤≤180°,故向量a与向量b的夹角是45°,
所以C正确.
向量b在向量a上的投影向量为·=·=(-,),
所以D错误.故选AC.
10.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
解析:因为|a+b|=|2a-b|,
即(a+b)2=(2a-b)2,
则a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,
整理得a2-2a·b=0.
又因为|a-b|=,即(a-b)2=3,
则a2-2a·b+b2=b2=3,所以|b|=.
答案:
11.已知向量a,b满足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,则向量a的坐标为 ,向量a与b的夹角为 .
解析:设a=(x,y),因为|a|=,
所以=.①
又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,
2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),
所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0.②
由①②解得或
所以a=(1,2)或a=(-2,1).
设向量a与b的夹角为θ,
所以cos θ===- 或cos θ===-.
因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=.
答案:(1,2)或(-2,1)
12.已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3.
(1)求|a+b|的值.
(2)求a与a-2b的夹角.
解:(1)由(a-3b)·(a+b)=3,
得a2-2a·b-3b2=3,
因为|a|=2,|b|=1,所以4-2a·b-3=3,
所以a·b=-1,
所以|a+b|===.
(2)设a与a-2b的夹角为θ,因为a·(a-2b)=a2-2a·b=4+2=6,
|a-2b|===2,
所以cos θ===.
因为θ∈[0,π],所以θ=.
13.在平面直角坐标系中,已知三点A(-1,0),B(t,2),C(2,t),t∈R,O为坐标原点.
(1)若△ABC是以∠B为直角的直角三角形,求t的值.
(2)若四边形ABCD是平行四边形,求||的最小值.
解:(1)由题意得=(t+1,2),=(2-t,t-2),
若∠B=90°,则·=0,
即(t+1)(2-t)+2(t-2)=0,
解得t=2或t=1.
当t=2时,=0,不合题意;
当t=1时,=(1,-1),符合题意.
综上所述,t=1.
(2)设点D(x,y),可得=(x+1,y),
若四边形ABCD是平行四边形,则=.
所以则
即D(1-t,t-2),
可得=(1-t,t-2),
则||===,
所以当t=时,||取得最小值.
应用创新
14.(多选题)如图,设Ox,Oy是平面内相交成θ(θ≠)角的两条数轴,e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,称平面坐标系xOy为θ斜坐标系,若=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作向量的斜坐标,记为=(x,y).在θ=的斜坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1),则下列结论中正确的是( AB )
A.a-b=(-1,3)
B.|a|=
C.a⊥b
D.b在a上的投影向量的坐标为(,-)
解析:由题意,可得a=e1+2e2,b=2e1-e2,
所以a-b=e1+2e2-(2e1-e2)=(1-2)e1+(2+1)e2=-e1+3e2,所以a-b=(-1,3),所以A正确;因为a=e1+2e2,
所以|a|=====,
所以B正确;
因为a·b=(e1+2e2)·(2e1-e2)=2+(4-1)e1·e2-2=3cos =≠0,
所以C不正确;
因为b在a上的投影向量为()=()a=(1,2)=(,),
所以D不正确.故选AB.
15.在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上
运动.
(1)求证:·为定值.
(2)求·的最大值.
(1)证明:以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(1,1),D(0,1).设E(x,0),x∈[0,1],
·=(1-x,1)·(0,1)=1(定值).
(2)解:由(1)可知,C(1,1),M(1,),
则·=(1-x,1)·(1-x,)=(1-x)2+,令f(x)=(1-x)2+,
则f(x)=(1-x)2+在x∈[0,1]上单调递减,
故当x=0时,·取得最大值.5.2 向量数量积的坐标表示
5.3 利用数量积计算长度与角度
学习目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算,培养数学运算的核心素养.
2.能够用向量的坐标表示及向量数量积的运算律求向量的夹角与长度,提高数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 向量数量积的坐标表示
如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
数量积 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
[思考1] 已知向量a=(x,y),则与a垂直的向量的坐标是什么
提示:由向量垂直的关系式可得b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,因此λ(-y,x)=(-λy,λx)(λ∈R)是与a=(x,y)垂直的向量的坐标.
[做一做1] 已知a=(-1,3),b=(2,4),则a·b的值是 .
知识点2 向量模的坐标表示
向量的模 设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或 |a|=
两点间的 距离公式 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 ||=
[思考2] 已知向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是什么
提示:设与a共线的单位向量为a0,则a0=±a=±(,)=
±(,)(x2+y2≠0),其中正号、负号分别表示与a同向和反向.
[做一做2] 已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,则x= .
知识点3 向量坐标表示的夹角公式
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ==(|a||b|≠0).
知识点4 点到直线的距离公式
已知直线AB的方向向量m以及直线上一点A的坐标和直线外一点P的坐标,那么点P到直线AB的距离d为线段AP在直线的垂线方向上的投影数量.设直线AB的垂线方向向量为n,则d=|·|.
[做一做3] 已知点A(0,1),直线AB的方向向量为m=(2,-1),则点P(1,3)到直线AB的距离为 .
探究点一 向量数量积的坐标表示
[例1] (1)已知a=(1,-1),b=(2,4),则a·(a+b)等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)已知向量a=(2,),b=(-1,),则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为( )
A.(-,) B.(,-)
C.(,-) D.(-,)
根据向量的坐标求向量数量积的方法
(1)一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解.
[针对训练] 已知a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),若(8a-b)·c=30,则x等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
探究点二 向量垂直的坐标表示
[例2] (1)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),则“m=2”是“a⊥b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知向量a=(-1,2),b=(2,-4),若向量a+λb与a+b垂直,则λ的值为 .
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b与a⊥b的坐标表示如下:
a∥b x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0.
a⊥b x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0.
两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积相等,横横纵纵积相反.
[针对训练] (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是( )
A.a⊥b B.a⊥(a-b)
C.b⊥(a-b) D.a⊥(a+b)
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(m,1).若c⊥(2a+b),则实数m等于( )
A.2 B.-2 C. D.-
探究点三 求向量的模
[例3] (1)
如图,在△ABC中,M为BC的中点,若AB=1,AC=3,与的夹角为60°,则||= ;
(2)设平面向量a=(1,2),若a∥b,且|b|=5,则|4a-b|= .
求向量的模的两种基本策略
(1)基表示下的向量运算.
利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量的数量积的运算问题求解.
(2)坐标表示下的运算.
若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
[针对训练] 已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,则|a+b|的值是( )
A.2 B. C. D.
探究点四 向量的夹角
[例4] (1)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.若(a+b)·c=,则a与c的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
(2)若向量a=(1,5),b=(1,-1),则向量a+2b与a-b的夹角等于( )
A.- B. C. D.
利用向量法求夹角的方法技巧
(1)若已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),求向量a,b的夹角,利用公式cos=,当向量的夹角为特殊角时,再求出这个角.
(2)非坐标条件下求向量的夹角问题,可结合题意求出向量的数量积及模后利用cos=求夹角.
[针对训练] (1)设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则cos θ等于( )
A. B.
C. D.
(2)已知向量|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(2a-b)=1,则a与b的夹角为 .
学海拾贝
坐标转化法求解几何图形中的向量数量积问题
[典例探究] (1)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,·(+)的最小值是( )
A.-2 B.- C.- D.-1
(2)已知在菱形ABCD中,AC=2,BD=2,点E为线段CD上一点,且CE=2ED,则∠AEB的余弦值为( )
A. B. C. D.
求解与平面几何图形中有关的向量数量积或夹角(模)等问题时,若已知平面几何图形中有明显的建立平面直角坐标系的条件[如含有互相垂直的线段、等腰(正)三角形、矩形、正方形等],常常建立平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算求解.
[应用探究] 在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点(不与端点重合),DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,则|2+|的值为 ;(+)·的最小值为 .
当堂检测
1.向量a=(1,2),b=(-2,-1),那么向量a-b在a上的投影向量的坐标为( A )
A.(,) B.(,)
C.(,) D.(-,-)
2.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b等于( C )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t等于( C )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
4.如图,在2×4的方格纸中,若向量a,b的起点和终点均在格点,则向量a+b,a-b的夹角的余弦值是 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量数量积的坐标运算 5
向量的模与夹角 1,2,6,8,11
向量数量积坐标 运算的综合应用 3,4,7,9,10,12, 13,14,15
基础巩固
1.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),a⊥b,则|a|等于( )
A. B.2 C.10 D.
2.设向量a=(,1),b=(x,-3),c=(1,-),若b∥c,则a-b与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
4.已知向量a=(2,1),b=(-3,1),则以下说法正确的是( )
A.(a+b)∥a
B.向量a在向量b上的投影向量为b
C.a与a-b夹角的余弦值为
D.若c=(,-),则a⊥c
5.(2021·北京卷)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)·c= ,a·b= .
6.已知|a|=2,b=(2,-3),若a⊥b,则|a+b|= .
7.若向量a的起点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)与a平行的单位向量的坐标;
(3)与a垂直的单位向量的坐标.
能力提升
8.已知平面向量a,b满足a=(-1,2),|b|=,|a-b|=,则a与b的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
9.(多选题)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a,则下列选项正确的是( )
A.a,b能作为平面内所有向量的一组基
B.“m<3”是“a=(-1,3)与c=(m,1)夹角是锐角”的充要条件
C.向量a与向量b的夹角是45°
D.向量b在向量a上的投影向量坐标是(-1,3)
10.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
11.已知向量a,b满足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,则向量a的坐标为 ,向量a与b的夹角为 .
12.已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3.
(1)求|a+b|的值.
(2)求a与a-2b的夹角.
13.在平面直角坐标系中,已知三点A(-1,0),B(t,2),C(2,t),t∈R,O为坐标原点.
(1)若△ABC是以∠B为直角的直角三角形,求t的值.
(2)若四边形ABCD是平行四边形,求||的最小值.
应用创新
14.(多选题)如图,设Ox,Oy是平面内相交成θ(θ≠)角的两条数轴,e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,称平面坐标系xOy为θ斜坐标系,若=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作向量的斜坐标,记为=(x,y).在θ=的斜坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1),则下列结论中正确的是( )
A.a-b=(-1,3)
B.|a|=
C.a⊥b
D.b在a上的投影向量的坐标为(,-)
15.在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上
运动.
(1)求证:·为定值.
(2)求·的最大值.