第2课时 正弦定理
知识探究
知识点 正弦定理
语言表述 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
符号表示 ==
比值的 含义 ===2R(其中R为△ABC的外接圆半径)
变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系
[思考1] 若R为△ABC的外接圆半径,那么 的值与R的关系是什么
提示:=2R.
[思考2] 在△ABC中,若已知a>b,能否利用正弦定理得到sin A>sin B 请简要说明.
提示:能得到,由a>b,且a=2Rsin A,b=2Rsin B,可得2Rsin A>2Rsin B,即sin A>sin B,其中R为△ABC的外接圆半径.
[做一做1] 在△ABC中,a=7,c=5,则sin A∶sin C的值是( )
A. B. C. D.
[做一做2] 已知△ABC外接圆半径R=2,A=60°,则BC的长为 .
探究点一 已知两角及一边解三角形
[例1] 在△ABC中,A=60°,B=75°,a=2,求△ABC中最小的边长.
已知两角及一边解三角形问题的解题方法
(1)当所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
(2)当所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
[针对训练] 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(A+B)=,sin B=,b=3,则c= .
探究点二 已知两边及其中一边的对角解
三角形
[例2] 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形.(sin 75°=,sin 15°=)
[变式探究] 若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,则角A有几个值
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值,如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角.
(2)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.
探究点三 三角形解的个数的判断
[例3] 已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.
(1)a=10,b=20,A=80°;
(2)a=2,b=6,A=30°.
三角形解的个数的判断方法
在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解不确定的情况,一般可根据三角形中大边对大角和三角形内角和定理来取舍.
在△ABC中,已知a,b和A时,具体解的情况如下表:
角的 类型 A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系 式 a=bsin A bsin A
b
解的 个数 一解 两解 一解 一解
上表中,若A为锐角,则当a[针对训练] 符合下列条件的△ABC有且只有一个的是( )
A.a=1,b=,A=30° B.a=1,b=2,c=3
C.b=c=1,B=45° D.a=1,b=2,A=100°
探究点四 用正弦定理判断三角形的形状
[例4] (1)在△ABC中,已知=,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等边三角形
(2)在△ABC中,若==,则△ABC的形状是( )
A.直角非等腰三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径
(1)化角为边.将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状,利用的公式为sin A=,sin B=,sin C=(R为三角形外接圆半径).
(2)化边为角.将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为三角形外接圆半径).
[针对训练] (1)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若==,则△ABC是( )
A.钝角三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形,但不是等腰三角形
(2)在△ABC中,若3b=2a·sin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等腰三角形,但不是等边三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
当堂检测
1.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=,B=45°,则sin A等于( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为,b=1,A=60°,则的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.在△ABC中,若sin A∶sin C=5∶2,B=60°,S△ABC=90,a+c= .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
正弦定理的理解及应用 1,2,3,4,5,6,7,8
正弦定理的综合应用 9,10,11,12,13,14
基础巩固
1.在△ABC中,若A=,BC=,AB=,则角C等于( )
A. B. C. D.或
2.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,则三边之比a∶b∶c为( )
A.3∶2∶1 B.2∶∶1
C.∶∶1 D.∶2∶1
3.在△ABC中,若满足sin2A=sin2B+sin B·sin C+sin2C,则角A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件判断三角形的情况,则正确的是( )
A.b=19,A=45°,C=30°,有两解
B.a=,b=2,A=45°,有两解
C.a=3,b=2,A=45°,只有一解
D.a=7,b=7,A=75°,只有一解
5.在△ABC中,a=2,c=,sin A+cos A=0,则角B的大小为 .
6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=2,则角A= .
7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=4,A=,sin2B-sin2C=,则△ABC的面积是 .
能力提升
8.在△ABC中,已知BC=AC,B∈[,],则角A的取值范围为( )
A.[,) B.[,]
C.[,) D.[,]
9.如图,在△ABC中,角C的平分线CD交边AB于点D,A=,AC=2,
CD=3,则BC等于( )
A.3 B.4 C.4 D.6
10.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若==(k为非零实数),则下列结论正确的是( )
A.当k=5时,△ABC是直角三角形
B.当k=3时,△ABC是锐角三角形
C.当k=2时,△ABC是钝角三角形
D.当k=1时,△ABC是钝角三角形
11.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=10,A=,且△ABC有唯一解,则a的取值范围是 .
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(sin A-sin B)+bsin B=csin C.
(1)求角C;
(2)若c=3,a+b=6,求△ABC的面积.
13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos A=a+2b.
(1)求角C;
(2)若D为AB边上一点,AC·BD=BC·AD,且CD=2,求△ABC面积的最小值.
应用创新
14.(开放题)在①=,②2S△ABC=·这两个条件中任选一个,补充在下列横线上并解决.(填序号)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 .
(1)求角B;
(2)在(1)的条件下,若△ABC的外接圆半径为,求a+c的最大值.第2课时 正弦定理
知识探究
知识点 正弦定理
语言表述 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
符号表示 ==
比值的 含义 ===2R(其中R为△ABC的外接圆半径)
变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系
[思考1] 若R为△ABC的外接圆半径,那么 的值与R的关系是什么
提示:=2R.
[思考2] 在△ABC中,若已知a>b,能否利用正弦定理得到sin A>sin B 请简要说明.
提示:能得到,由a>b,且a=2Rsin A,b=2Rsin B,可得2Rsin A>2Rsin B,即sin A>sin B,其中R为△ABC的外接圆半径.
[做一做1] 在△ABC中,a=7,c=5,则sin A∶sin C的值是( A )
A. B. C. D.
解析:由正弦定理得sin A∶sin C=a∶c=7∶5.故选A.
[做一做2] 已知△ABC外接圆半径R=2,A=60°,则BC的长为 .
解析:因为=2R,所以BC=2Rsin A=4sin 60°=2.
答案:2
探究点一 已知两角及一边解三角形
[例1] 在△ABC中,A=60°,B=75°,a=2,求△ABC中最小的边长.
解:由题意,得C=180°-60°-75°=45°,故△ABC中最小的边长为c.由正弦定理=,得c===.
已知两角及一边解三角形问题的解题方法
(1)当所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
(2)当所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
[针对训练] 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(A+B)=,sin B=,b=3,则c= .
解析:sin C=sin(A+B)=,
由正弦定理得c===.
答案:
探究点二 已知两边及其中一边的对角解
三角形
[例2] 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形.(sin 75°=,sin 15°=)
解:因为=,
所以sin C===.
因为0°当C=60°时,B=75°,
b===+1;
当C=120°时,B=15°,
b===-1.
所以b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
[变式探究] 若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,则角A有几个值
解:因为=,
所以sin A===.
因为c=>2=a,所以C>A.
所以A为小于45°的锐角,且正弦值为,这样的角A只有一个.
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值,如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角.
(2)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.
探究点三 三角形解的个数的判断
[例3] 已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.
(1)a=10,b=20,A=80°;
(2)a=2,b=6,A=30°.
解:(1)a=10,b=20,a讨论如下:
因为bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10,
所以a(2)a=2,b=6,a因为bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A,
所以bsin A由正弦定理得sin B===,
又因为B∈(0°,180°),所以B1=60°,B2=120°.
当B1=60°时,C1=90°,
c1===4;
当B2=120°时,C2=30°,
c2===2.
综上,当B=60°时,C=90°,c=4;当B=120°时,C=30°,c=2.
三角形解的个数的判断方法
在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解不确定的情况,一般可根据三角形中大边对大角和三角形内角和定理来取舍.
在△ABC中,已知a,b和A时,具体解的情况如下表:
角的 类型 A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系 式 a=bsin A bsin Ab
解的 个数 一解 两解 一解 一解
上表中,若A为锐角,则当a[针对训练] 符合下列条件的△ABC有且只有一个的是( )
A.a=1,b=,A=30° B.a=1,b=2,c=3
C.b=c=1,B=45° D.a=1,b=2,A=100°
解析:对于A,由正弦定理得=,所以sin B=,又a对于B,a+b=c,构不成三角形;
对于C,b=c=1,所以B=C=45°,A=90°,所以满足条件的三角形只有一个;
对于D,a探究点四 用正弦定理判断三角形的形状
[例4] (1)在△ABC中,已知=,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等边三角形
(2)在△ABC中,若==,则△ABC的形状是( )
A.直角非等腰三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析:(1)由题意得=,得(a2-b2)c2=a4-b4=(a2-b2)(a2+b2),所以a2-b2=0或a2+b2=c2,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选C.
(2)由正弦定理及==,得==,所以tan B=tan C=1.又0利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径
(1)化角为边.将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状,利用的公式为sin A=,sin B=,sin C=(R为三角形外接圆半径).
(2)化边为角.将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为三角形外接圆半径).
[针对训练] (1)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若==,则△ABC是( )
A.钝角三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形,但不是等腰三角形
(2)在△ABC中,若3b=2a·sin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等腰三角形,但不是等边三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析:(1)由正弦定理得==,
则tan A=tan B=tan C.
又A,B,C为三角形内角,则A=B=C,
则△ABC是等边三角形.故选B.
(2)由正弦定理,3b=2a·sin B,
可化为3sin B=2 sin A·sin B.
因为0°所以sin A=,所以A=60°或120°.
又cos A=cos C,所以A=C,所以A=60°,
所以△ABC为等边三角形.故选C.
当堂检测
1.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=,B=45°,则sin A等于( B )
A. B. C. D.
解析:由正弦定理=,
得sin A=·sin B=×=.故选B.
2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为,b=1,A=60°,则的值为( C )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:由S△ABC=,得bcsin A=,因为b=1,A=60°,所以c=2.由余弦定理得cos A===,解得a=,所以由正弦定理得==2R==2(R为△ABC外接圆半径).
故选C.
3.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( B )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析:因为a=bsin A,所以=sin A=,所以sin B=1.又因为B∈(0,π),所以B=,即△ABC为直角三角形.故选B.
4.在△ABC中,若sin A∶sin C=5∶2,B=60°,S△ABC=90,a+c= .
解析:由sin A∶sin C=5∶2得a∶c=5∶2,设a=5k,c=2k,k>0,所以×5k×2k×=90,
所以k=6,
所以a=30,c=12,
因此a+c=30+12=42.
答案:42
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
正弦定理的理解及应用 1,2,3,4,5,6,7,8
正弦定理的综合应用 9,10,11,12,13,14
基础巩固
1.在△ABC中,若A=,BC=,AB=,则角C等于( A )
A. B. C. D.或
解析:由正弦定理,得=,即=,解得sin C=.又A=,所以02.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,则三边之比a∶b∶c为( B )
A.3∶2∶1 B.2∶∶1
C.∶∶1 D.∶2∶1
解析:因为△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,所以有B=2C,A=3C,又A+B+C=π,所以C=,所以A=,B=.由正弦定理可得三边之比a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶∶=2∶∶1.故选B.
3.在△ABC中,若满足sin2A=sin2B+sin B·sin C+sin2C,则角A等于( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:在△ABC中,
由正弦定理得a2=b2+c2+bc,
b2+c2-a2=-bc,则=-=cos A,由于0°4.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件判断三角形的情况,则正确的是( CD )
A.b=19,A=45°,C=30°,有两解
B.a=,b=2,A=45°,有两解
C.a=3,b=2,A=45°,只有一解
D.a=7,b=7,A=75°,只有一解
解析:因为A=45°,C=30°,则B=105°,由正弦定理==,得a=,c=,显然有唯一结果,即只有一解,A错误;a=,b=2,A=45°,由正弦定理,得sin B===>1,无解,B错误;a=3,b=2,A=45°,有a>b,则B5.在△ABC中,a=2,c=,sin A+cos A=0,则角B的大小为 .
解析:因为A是三角形的内角,所以A∈(0,π).又因为sin A+cos A=0,
所以有tan A=-1,所以A=.
由正弦定理可知= = sin C=.因为A=,所以C∈(0,),所以C=.由三角形内角和定理可知B=π-A-C=.
答案:
6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=2,则角A= .
解析:由S△ABC=bcsin A=2sin A=,
得sin A=,又A∈(0°,180°),故A=60°或120°.
答案:60°或120°
7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=4,A=,sin2B-sin2C=,则△ABC的面积是 .
解析:因为sin2B-sin2C=(sin B+sin C)·(sin B-sin C)=,B,C∈(0,π),
sin B+sin C≠0,所以sin B-sin C=.
因为a=4,A=,
所以===8,
所以sin B-sin C==,即b-c=2,
所以b2+c2=4+2bc,
所以cos A===,
解得bc=24+12,
所以S△ABC=bcsin A=bc=6+3.
答案:6+3
能力提升
8.在△ABC中,已知BC=AC,B∈[,],则角A的取值范围为( D )
A.[,) B.[,]
C.[,) D.[,]
解析:因为BC=AC,所以sin A=sin B.
因为B∈[,],所以sin B∈[,],
所以sin A∈[,1],
所以在△ABC中,A∈[,].故选D.
9.如图,在△ABC中,角C的平分线CD交边AB于点D,A=,AC=2,
CD=3,则BC等于( D )
A.3 B.4 C.4 D.6
解析:在△ACD中,根据正弦定理得sin∠ADC===,
由∠ADC所以∠ADC=,
所以∠ACD=π--=,
所以∠ACB=,
所以B=,
所以AB=AC=2.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=(2)2+(2)2-2×2×2×(-)=36,所以BC=6.故选D.
10.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若==(k为非零实数),则下列结论正确的是( ABC )
A.当k=5时,△ABC是直角三角形
B.当k=3时,△ABC是锐角三角形
C.当k=2时,△ABC是钝角三角形
D.当k=1时,△ABC是钝角三角形
解析:对于A,当k=5时,==,根据正弦定理不妨设a=5,b=3,c=4,a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.
对于B,当k=3时,==,根据正弦定理不妨设a=3,b=3,c=4,显然△ABC是等腰三角形,且C为最大角,a2+b2-c2=9+9-16=2>0,说明C为锐角,故△ABC是锐角三角形.
对于C,当k=2时,==,根据正弦定理不妨设a=2,b=3,c=4,可得a2+b2-c2=4+9-16=-3<0,说明C为钝角,故△ABC是钝角三角形.
对于D,当k=1时,==,根据正弦定理不妨设a=1,b=3,c=4,此时a+b=c,不能构成三角形,故结论错误.故选ABC.
11.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=10,A=,且△ABC有唯一解,则a的取值范围是 .
解析:由正弦定理得= a===.
因为△ABC有唯一解,当sin B=1时,即B=90°,△ABC唯一,符合题意,得a=5;
当sin B∈(,1)时,B有两个值,△ABC不唯一,不合题意;
当sin B∈(0,]时,= a=≥b,所以A≥B,△ABC唯一,
符合题意,得a≥10.
所以a的取值范围为{a|a=5或a≥10}.
答案:{a|a=5或a≥10}
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(sin A-sin B)+bsin B=csin C.
(1)求角C;
(2)若c=3,a+b=6,求△ABC的面积.
解:(1)因为a(sin A-sin B)+bsin B=csin C,
所以由正弦定理得a(a-b)+b2=c2,
即a2+b2-c2=ab,
所以cos C==.
又因为C∈(0,π),所以C=.
(2)由(1)及已知得a2+b2-c2=a2+b2-9=ab,
(a+b)2-3ab=9,而a+b=6,所以ab=9,
S△ABC=absin C=×9×sin=.
13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos A=a+2b.
(1)求角C;
(2)若D为AB边上一点,AC·BD=BC·AD,且CD=2,求△ABC面积的最小值.
解:(1)由题意及余弦定理,得2ccos A=2c·==a+2b,
得b2+c2-a2=ab+2b2,即a2+b2-c2=-ab,
则cos C==-.
因为C∈(0,π),所以角C=.
(2)如图,在△ACD中,由正弦定理,
得=.
在△BCD中,由正弦定理,得=.
由题意,得=,则=.
因为∠ADC+∠BDC=π,所以sin∠ADC=sin∠BDC,得sin∠ACD=sin∠BCD.
又∠ACD,∠BCD∈(0,),所以∠ACD=∠BCD,即CD为∠ACB的平分线.
由S△ABC=S△ACD+S△BCD,
得absin =b·CDsin +a·CDsin ,
得ab=2b+2a≥4,
所以ab≥16,当且仅当a=b=4时,等号成立.
则△ABC的面积为absin C=ab≥4,即△ABC面积的最小值为4.
应用创新
14.(开放题)在①=,②2S△ABC=·这两个条件中任选一个,补充在下列横线上并解决.(填序号)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 .
(1)求角B;
(2)在(1)的条件下,若△ABC的外接圆半径为,求a+c的最大值.
解:方案一:选择条件①.
(1)由正弦定理可得=,
即a2+c2-b2=ac.
由余弦定理可得cos B==,
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)因为△ABC的外接圆半径R=,
所以b=2Rsin B=2×sin =3.
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=9,
所以a2+c2-2accos =9,即a2+c2-ac=9,配方可得(a+c)2=9+3ac.
因为ac≤[(a+c)]2,
所以(a+c)2≤9+(a+c)2,解得(a+c)2≤36,
因此a+c≤6,当且仅当a=c=3时等号成立.
所以a+c的最大值为6.
方案二:选择条件②.
(1)因为2S△ABC=·,
所以acsin B=accos B,即tan B=.
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)解析同方案一中的(2).