6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
学习目标
1.了解向量方法在解决简单的几何问题、力学问题等实际问题中的应用,提升数学运算和直观想象的核心素养.
2.通过运用向量知识解决实际问题和物理问题的过程,培养数学建模、数学运算的核心素养.
探究点一 向量在几何证明中的应用
[例1] 已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三点共线.
证明:法一 由已知得四边形AECD为正方形,设=a,=b.
(1)因为=-=a-b,=-=a-b,所以=,
所以∥,即DE∥BC.
(2)连接DM,MB(图略),
=+=a-b,
=+=-b+a,所以=,
又与有公共点M,
所以D,M,B三点共线.
法二 如图,
以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系(在建立平面直角坐标系时,要尽可能使更多的点落在坐标轴上,使更多的线与x轴、y轴平行或重合),连接MB,MD.
令||=1,则||=1,||=2.
因为CE⊥AB,且AD=DC,
所以四边形AECD为正方形.
所以可求得各点的坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).
(1)因为=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
所以=,所以∥,即DE∥BC.
(2)因为M为EC的中点,所以M(0,),
所以=(-1,1)-(0,)=(-1,),=(1,0)-(0,)=(1,-).
所以=-,所以∥.
又与有公共点M,所以D,M,B三点共线.
用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法:选取适当的一组基(基中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基向量表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
[针对训练] 如图所示,若D是△ABC内一点,且-=-.利用向量法证明:AD⊥BC.
证明:由题可知-=-,
则(-)·(+)=(-)·(+),
即(+)·=(+)·,整理得·(+++)=0,所以·2=0,即⊥,从而AD⊥BC.
探究点二 向量在物理中的应用举例
角度1 向量的线性运算在物理中的应用
[例2] 如图,已知一条河的两岸平行,河的宽度为d,某人从河的北岸出发到河对岸,河水自西向东流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.
(1)如果要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和 v2的大小.
(2)如果要使此人游的时间最短,且|v2|=2 m/s,求他实际前进的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
解:(1)如果要使此人游的路程最短,
只需此人的游泳速度和水流速度的和速度与对岸垂直,如图(a)所示,
此人游泳的方向与水流方向的夹角α=∠ACB,
此时|v2|==1 m/s,α=∠ACB=.
(2)如图(b)所示,设v0与v1的夹角为θ,实际游泳的距离为s,
所以=,
sin β=,
所以==,
故当v0与v1的夹角为θ=时,此人游到对岸用时最短.
如图(c),|v2|=2 m/s,
由于|v0|=1 m/s,
故|v1|== m/s,
此时tan β=,
所以β=.
向量在物理中的应用
(1)求力向量、速度向量常用的方法:一般是向量几何化,借助向量求和的平行四边形法则求解.
(2)用向量方法解决物理问题的步骤:
①把物理问题中的相关量用向量表示;
②转化为向量问题的模型,通过向量运算解决问题;
③结果还原为物理问题.
[针对训练] 在风速大小为75(-)km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
解:设ω为风速大小为75(-) km/h的西风,va为有风时飞机的航行速度,vb为无风时飞机的航行速度,如图所示,因为vb=va-ω,
所以vb,va,ω对应线段构成三角形.
设||=|va|,||=|ω|,||=|vb|,
作AD∥BC,CD⊥AD于点D,
BE⊥AD于点E,
则∠BAD=45°.
由题意知||=150,||=75(-),
所以||=||=||=75,
||=75.
从而||=150,
∠CAD=30°.
所以|vb|=150 km/h,
方向为西偏北30°.
角度2 向量的数量积在物理中的应用
[例3] 已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),求F1,F2分别对质点所做的功.
解:设物体在力F作用下的位移为s,
则所做的功为W=F·s.
因为=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),
所以W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(J),
W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J).
[变式探究] 本例条件不变,求F1,F2的合力F对质点所做的功.
解:W=F·=(F1+F2)·=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J).
向量在物理学中的应用一般涉及力与速度的合成与分解,充分借助向量的平行四边形法则把物理问题抽象为数学问题,物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积.
当堂检测
1.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为( D )
A.(0,5) B.(4,-1)
C.2 D.5
解析:由=(2,2),=(-2,3),可知+=(2,2)+(-2,3)=(0,5),则|F1+F2|=5.故选D.
2.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( B )
A.10 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D.12 m/s
解析:由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图所示,
所以小船在静水中的速度大小|v|===2(m/s).
故选B.
3.正方形OABC的边长为1,D,E分别为AB,BC的中点,则cos∠DOE的值为 .
解析:以OA,OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,
由题意知,=(1,),=(,1),
故cos∠DOE===,即cos∠DOE的值为.
答案:
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量在几何中的应用 1,2,4,7,9,12,13,14
向量在物理中的应用 3,5,6,8,10,11
基础巩固
1.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形ABCD为( D )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
解析:因为+=0,所以=,所以四边形ABCD为平行四边形.因为·=0,所以⊥,即平行四边形的对角线互相垂直,
所以平行四边形ABCD为菱形.故选D.
2.△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与
△ABC的面积之比是( C )
A. B. C. D.
解析:由++=,
得+++=0,即=2,
所以点P是CA边上的三等分点(靠近点A),
故==.故选C.
3.物体受到一个水平向右的力F1及与它成60°角的另一个力F2的作用.已知F1的大小为2 N,它们的合力F与水平方向成30°角,则F2的大小为( C )
A.3 N B. N C.2 N D. N
解析:由题得∠AOB=60°,∠AOC=30°,
所以∠BOC=∠BCO=30°,
所以OB=BC,
所以||=||,
所以F2和F1大小相等,都为2 N.故选C.
4.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足·=·=
·,则点O是△ABC的( D )
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
解析:因为·=·,
所以(-)·=0,所以·=0,
所以OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,
所以O为三条高线的交点.故选D.
5.(多选题)在水流速度为10 km/h的自西向东的河中,如果要使船以10 km/h的速度由河的南岸垂直到达北岸,则船出发时行驶速度的大小与方向为( AC )
A.北偏西30° B.北偏西60°
C.20 km/h D.30 km/h
解析:如图所示,
设||=10,||=10,所以||==20,
而tan ∠CBA=,所以∠CBA=60°,
即船出发时行驶速度的大小为20 km/h,方向为北偏西30°.故选AC.
6.已知作用在点A的三个力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1),且A(1,1),则合力f=f1+f2+f3的终点坐标为 .
解析:f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),
设终点为B(x,y),则(x-1,y-1)=(8,0),所以所以所以终点坐标为(9,1).
答案:(9,1)
7.如图,在△ABC中,点D是线段BC上一点(不是端点),AD⊥BC,且·=2-.则||∶||的值为 ;若2||2+||2=3||2+6,则||= .
解析:因为·=2-,且AD⊥BC,
所以(+)·(+)=
2(||2+||2)-(||2+||2),
所以||2-||·||=
2(||2+||2)-(||2+||2),
即2||2+||·||-||2=0,
即(2||-||)·(||+||)=0,
解得||=2||,
所以||∶||的值为.
因为2||2+||2=3||2+6,
所以2||2+2||2+||2+||2=3||2+6,即2||2+||2=6,因为||=||,所以||=1,||=2,||=3.
答案: 3
8.一艘船从南岸出发,向北岸横渡.根据测量,这一天水流速度为
3 km/h,方向正东,风的方向为北偏西30°,受风力影响,静水中船的漂行速度为3 km/h,若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以
2 km/h 的速度横渡,则船本身的速度大小为 ,船航行的方向为 .
解析:如图,设水流的速度为v1,风的速度为v2,且|v1|=|v2|=3,v1+v2=a.可求得a的方向是北偏东30°,a的大小为3 km/h.设船的实际航行速度为v,方向由南向北,大小为2 km/h.船本身的速度为v3,则a+v3=v,即v3=v-a,由数形结合知,v3的方向是北偏西60°,大小是
km/h.
答案: km/h 北偏西60°
能力提升
9.在△ABC中,若·(2-)=0,则△ABC一定是( D )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.正三角形 D.等腰三角形
解析:·(2-)=·(+-)
=·(++)=·(+)=-·(+)=0.
由向量加法的平行四边形法则知,以CA,CB为邻边的平行四边形的对角线互相垂直,所以△ABC一定是等腰三角形.故选D.
10.(多选题)在保证公平的情况下,两个人共同手提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,下列结论正确的为( ABD )
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.|F1|2=
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
解析:根据题意,得|G|=|F1+F2|,
所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=(1+cos θ),
解得|F1|2=.
因为θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,
且1+cos θ>0,所以θ越大越费力,
θ越小越省力,故A,B正确;
当θ=时,|F1|2=,
所以|F1|=|G|,故C错误;
当θ=时,|F1|2=|G|2,
所以|F1|=|G|,故D正确.故选ABD.
11.如图,用三根细绳OA,OB,OC悬挂重物G处于静止状态,现测得∠AOB=120°,细绳OC所受的拉力大小为 N,细绳OA所受的拉力大小为2 N,则细绳OB所受的拉力大小为 N.
解析:令OA,OB,OC的拉力分别为,,,因为三根细绳OA,OB,OC悬挂重物G处于静止状态,所以合力为零,即++=0,
即=-(+),则=(+)2,
即=++2||·||·cos 120°.
设OB所受的拉力大小为x N,
所以7=4+x2-2×2x·,
所以x=3或x=-1(舍去),
即OB所受的拉力大小为3 N.
答案:3
12.已知在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=1,BC=,∠ABC=
150°,则cos ∠CBD= .
解析:如图,以A为原点建立平面直角坐标系,
则B(1,0),C(,).设D(0,t),所以=(,),=(,-t).
由BC⊥CD知⊥,
所以·=×+×(-t)=0,
解得t=3,即D(0,3),
所以=(,),=(-1,3),
所以cos ∠CBD===.
答案:
13.用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
证明:如图,设D,E,F分别是△ABC的三边BC,AC,AB的中点,
以=a,=b为一组基,
则=a-b,=a-b,=-a+b.
设AD与BE交于点G,且=λ,=μ,
则=λa-b,=-a+μb.
又=+=(1-)a+(μ-1)b,
所以解得λ=μ=.
所以=a-b,=+=-a+a-b=-a-b=×(-a-b),
而=(-a-b),所以=.
所以点G在CF上,
所以三角形三条中线交于一点.
14.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC.求:
(1)AD的长;
(2)∠DAC的大小.
解:(1)设=a,=b,
则=+=+=+(-)=+=a+b,
所以=(a+b)2=a2+2×a·b+b2
=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3,故AD=.
(2)设∠DAC=θ,则θ为向量与的夹角.
因为cos θ=====0,
所以θ=90°,即∠DAC=90°.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
学习目标
1.了解向量方法在解决简单的几何问题、力学问题等实际问题中的应用,提升数学运算和直观想象的核心素养.
2.通过运用向量知识解决实际问题和物理问题的过程,培养数学建模、数学运算的核心素养.
探究点一 向量在几何证明中的应用
[例1] 已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三点共线.
用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法:选取适当的一组基(基中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基向量表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
[针对训练] 如图所示,若D是△ABC内一点,且-=-.利用向量法证明:AD⊥BC.
探究点二 向量在物理中的应用举例
角度1 向量的线性运算在物理中的应用
[例2] 如图,已知一条河的两岸平行,河的宽度为d,某人从河的北岸出发到河对岸,河水自西向东流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.
(1)如果要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和 v2的大小.
(2)如果要使此人游的时间最短,且|v2|=2 m/s,求他实际前进的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
向量在物理中的应用
(1)求力向量、速度向量常用的方法:一般是向量几何化,借助向量求和的平行四边形法则求解.
(2)用向量方法解决物理问题的步骤:
①把物理问题中的相关量用向量表示;
②转化为向量问题的模型,通过向量运算解决问题;
③结果还原为物理问题.
[针对训练] 在风速大小为75(-)km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
角度2 向量的数量积在物理中的应用
[例3] 已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),求F1,F2分别对质点所做的功.
向量在物理学中的应用一般涉及力与速度的合成与分解,充分借助向量的平行四边形法则把物理问题抽象为数学问题,物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积.
当堂检测
1.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为( )
A.(0,5) B.(4,-1)
C.2 D.5
2.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )
A.10 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D.12 m/s
3.正方形OABC的边长为1,D,E分别为AB,BC的中点,则cos∠DOE的值为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量在几何中的应用 1,2,4,7,9,12,13,14
向量在物理中的应用 3,5,6,8,10,11
基础巩固
1.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形ABCD为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
2.△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与
△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
3.物体受到一个水平向右的力F1及与它成60°角的另一个力F2的作用.已知F1的大小为2 N,它们的合力F与水平方向成30°角,则F2的大小为( )
A.3 N B. N C.2 N D. N
4.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足·=·=
·,则点O是△ABC的( )
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
5.(多选题)在水流速度为10 km/h的自西向东的河中,如果要使船以10 km/h的速度由河的南岸垂直到达北岸,则船出发时行驶速度的大小与方向为( )
A.北偏西30° B.北偏西60°
C.20 km/h D.30 km/h
6.已知作用在点A的三个力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1),且A(1,1),则合力f=f1+f2+f3的终点坐标为 .
7.如图,在△ABC中,点D是线段BC上一点(不是端点),AD⊥BC,且·=2-.则||∶||的值为 ;若2||2+||2=3||2+6,则||= .
8.一艘船从南岸出发,向北岸横渡.根据测量,这一天水流速度为
3 km/h,方向正东,风的方向为北偏西30°,受风力影响,静水中船的漂行速度为3 km/h,若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以
2 km/h 的速度横渡,则船本身的速度大小为 ,船航行的方向为 .
能力提升
9.在△ABC中,若·(2-)=0,则△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.正三角形 D.等腰三角形
10.(多选题)在保证公平的情况下,两个人共同手提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,下列结论正确的为( )
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.|F1|2=
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
11.如图,用三根细绳OA,OB,OC悬挂重物G处于静止状态,现测得∠AOB=120°,细绳OC所受的拉力大小为 N,细绳OA所受的拉力大小为2 N,则细绳OB所受的拉力大小为 N.
12.已知在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=1,BC=,∠ABC=
150°,则cos ∠CBD= .
13.用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
14.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC.求:
(1)AD的长;
(2)∠DAC的大小.
