§1 数学建模活动的准备
§2 自主数学建模的开题交流
学习目标
通过建筑物高度测量的数学建模活动,体会正弦、余弦定理在实际生活中的应用,提高数学抽象与数学建模的核心素养.
探究点一 两点间的距离
[例1] 如图,到达某旅游景区内的A处后,有两种路径到B处:一种是从A处沿直线步行到B处;另一种是先从A处坐小火车沿直线到达C处,再从C处沿直线步行到B处.现有甲、乙两名游客到达A处后,甲沿AB方向匀速步行前往B处,速度为50 m/min,甲出发2 min后,乙从A处坐小火车前往C处,再从C处步行到B处.已知小火车的速度为200 m/min,A,C之间的距离为2 000 m,B,C之间的距离为3 000 m,
AB>BC,sin B=.当乙在小火车上时,甲、乙之间的最短距离为( )
A. m B. m
C. m D. m
[针对训练] 在某大学校园中有一座雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=
45°,且CD=2.3 m,则像体AD的高度约为( )
(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 70.5°≈0.943,cos 70.5°≈0.334,tan 70.5°≈2.824)
A.4.0 m B.4.2 m
C.4.3 m D.4.4 m
探究点二 航空测量问题
[例2] 要航测某座山的海拔高度,如图,飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m,速度为900 km/h,航测员先测得对山顶的俯角为30°,经过40 s(已飞过M点)后,又测得对山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度.(精确到1 m)(可能要用到的数据:≈1.414,≈1.732,≈2.449,sin 105°=)
求解航空中的测量问题的方法
(1)在处理有关航空中的测量问题时,要准确理解仰角和俯角(二者是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)的概念.
(2)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
[针对训练] 如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度为海拔15 000 m,速度为1 000 km/h,飞行员先测得对山顶的俯角为18°,经过108 s后又测得对山顶的俯角为78°,则山顶的海拔高度为( )
A.(15-18sin 18°cos 78°) km
B.(15-18sin 18°sin 78°) km
C.(15-20sin 18°cos 78°) km
D.(15-20sin 18°sin 78°) km
当堂检测
1.如图,山坡与水平面成30°的角,沿山坡每往上爬AC=100 m,则竖直高度上升( )
A.30 m
B.50 m
C.50 m
D.50 m
2.如图,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,在A,B两点分别测得树顶P处的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为10 m,则这棵树的高度h为( )
A.(5+5) m B.(30+15) m
C.(15+30) m D.(15+3) m
3.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB等于( )
A.+表高 B.-表高
C.+表距 D.-表距
4.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=0.1 km.若AB=BD,则B,D间的距离为 km(参考数据:
sin 15°=).
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
有关高度(或距离)的测量 1,2,3,4,10,11,13
测量和自选建模作业 5,6,7,8,9,12,14
基础巩固
1.一艘轮船沿北偏东28°方向,以18 km/h的速度沿直线航行,一座灯塔原来在轮船的南偏东32°方向上,经过10 min的航行,此时轮船与灯塔的距离为 km,则灯塔与轮船原来的距离为( )
A.2 km B.3 km
C.4 km D.5 km
2.如图是复建的某建筑物的示意图,某游客(身高忽略不计)从地面D点看楼的顶点C的仰角为30°,沿直线前进51.9 m到达E点,此时看点A的仰角为60°,若点B,E,D在一条直线上,BC=2AC,则楼高AB约为(参考数据:≈1.73)( )
A.30 m B.60 m C.90 m D.103 m
3.一架直升机在300 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为( )
A.200 m B.100 m
C.200 m D.100 m
4.某同学在国庆期间到商丘去旅游,经过“商”字城雕时,他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度).他在该雕塑的正东C处沿着南偏西60°的方向前进7 m后到达D处(A,C,D三点在同一个水平面内),测得图中线段AB在东北方向,且测得点B的仰角为71.565°,则该雕塑的高度大约是(参考数据:
tan 71.565°≈3)( )
A.19 m B.20 m C.21 m D.22 m
5.为了测量隧道口A,B间的距离,开车从A点出发,沿正西方向行驶400 m到达D点,然后从D点出发,沿正北方向行驶一段路程后到达C点,再从C点出发,沿东南方向行驶400 m到达隧道口B点处,测得BD间的距离为1 000 m.则隧道口AB间的距离是 m.
6.如图,某直径为5 km的圆形海域上有四个小岛,已知小岛B与小岛C相距为5 km(小岛的大小忽略不计,测量误差忽略不计),经过测量得到数据:cos ∠BAD=-.小岛C与小岛D之间的距离为
km.
能力提升
7.如图,为了测量某湿地A,B两点之间的距离,观察者找到在同一条直线上的三点C,D,E.从点D测得∠ADC=67.5°,从点C测得∠ACD=
45°,∠BCE=75°,从点E测得∠BEC=60°.若测得DC=200 m,
CE=100 m,则A,B两点之间的距离为( )
A.100 m B.200 m
C.300 m D.200 m
8.(多选题)甲、乙两楼相距20 m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则下列说法正确的有( )
A.甲楼的高度为20 m B.甲楼的高度为10 m
C.乙楼的高度为 m D.乙楼的高度为10 m
9.如图所示,在某楼阁旁的水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75 m,则该楼阁的高度OP= m.
10.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B的仰角为60°,∠APB的大小为30°,山脚P到山顶A的直线距离为
4 km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为 km.
11.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔20 250 m,速度为189 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°30′,经过960 s后,又看到山顶的俯角为81°,求山顶的海拔高度.(tan 18.5°≈0.334 59,tan 81°≈6.313 75,精确到1 m)
12.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到B,在B处测得山顶P的仰角为γ,求证:山高h=.
13.如图,某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶,在A处测得山顶P处的仰角∠PAO=30°,该车以60 km/h的速度匀速行驶3分钟后,到达B处,此时测得仰角∠PBO=45°,且cos∠AOB=-.
(1)求此山的高OP的值;
(2)求该车从A到B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值.
应用创新
14.某固定在墙上的广告金属支架如图所示,根据要求,AB至少长
3 m,C为AB的中点,B到D的距离比CD的长小0.5 m,∠BCD=60°.
(1)若CD=x,BC=y,将支架的总长度表示为y的函数,并写出函数的定义域.(注:支架的总长度为图中线段AB,BD和CD长度之和)
(2)如何设计AB,CD的长,可使支架总长度最短.§1 数学建模活动的准备
§2 自主数学建模的开题交流
学习目标
通过建筑物高度测量的数学建模活动,体会正弦、余弦定理在实际生活中的应用,提高数学抽象与数学建模的核心素养.
探究点一 两点间的距离
[例1] 如图,到达某旅游景区内的A处后,有两种路径到B处:一种是从A处沿直线步行到B处;另一种是先从A处坐小火车沿直线到达C处,再从C处沿直线步行到B处.现有甲、乙两名游客到达A处后,甲沿AB方向匀速步行前往B处,速度为50 m/min,甲出发2 min后,乙从A处坐小火车前往C处,再从C处步行到B处.已知小火车的速度为200 m/min,A,C之间的距离为2 000 m,B,C之间的距离为3 000 m,
AB>BC,sin B=.当乙在小火车上时,甲、乙之间的最短距离为( )
A. m B. m
C. m D. m
解析:由正弦定理可知=,
所以sin A===.
又AB>BC,所以A所以cos A=.
乙在小火车上的时间为=10 min,
设乙出发t(0则d2=(200t)2+(100+50t)2-2×200t(100+50t)×
=32 500t2-10 000t+10 000(0当t=时,=,
所以dmin==.故选B.
[针对训练] 在某大学校园中有一座雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=
45°,且CD=2.3 m,则像体AD的高度约为( )
(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 70.5°≈0.943,cos 70.5°≈0.334,tan 70.5°≈2.824)
A.4.0 m B.4.2 m
C.4.3 m D.4.4 m
解析:在Rt△BCD中,
BC==2.3(m),
在Rt△ABC中,
AC=BCtan ∠ABC≈2.3×2.824≈6.5(m),
所以AD=AC-CD≈6.5-2.3=4.2(m).
故选B.
探究点二 航空测量问题
[例2] 要航测某座山的海拔高度,如图,飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m,速度为900 km/h,航测员先测得对山顶的俯角为30°,经过40 s(已飞过M点)后,又测得对山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度.(精确到1 m)(可能要用到的数据:≈1.414,≈1.732,≈2.449,sin 105°=)
解:因为900 km/h=250 m/s,
所以AB=250×40=10 000(m),
在△ABM中,由正弦定理得=,BM=.
作MD⊥AB于点D(如图),则MD=BMsin 45°=×sin 45°=5 000(-1)≈3 660(m),
所以山顶的海拔高度为10 000-3 660=6 340(m).
求解航空中的测量问题的方法
(1)在处理有关航空中的测量问题时,要准确理解仰角和俯角(二者是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)的概念.
(2)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
[针对训练] 如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度为海拔15 000 m,速度为1 000 km/h,飞行员先测得对山顶的俯角为18°,经过108 s后又测得对山顶的俯角为78°,则山顶的海拔高度为( )
A.(15-18sin 18°cos 78°) km
B.(15-18sin 18°sin 78°) km
C.(15-20sin 18°cos 78°) km
D.(15-20sin 18°sin 78°) km
解析:如图,∠DAC=18°,∠ACB=78°-18°=60°,CD⊥AD,
因为108 s=0.03 h,
所以AB=1 000×0.03=30(km).
在△ABC中,由正弦定理可得=,
可得BC==20sin 18°,
因为CD⊥AD,
所以C到AB边的距离为CD=BCsin ∠CBD=BCsin 78°=20sin 18°sin 78°,所以山顶的海拔高度为(15-20sin 18°sin 78°) km.故选D.
当堂检测
1.如图,山坡与水平面成30°的角,沿山坡每往上爬AC=100 m,则竖直高度上升( D )
A.30 m
B.50 m
C.50 m
D.50 m
解析:依题意可知BC=ACsin 30°=100×=50(m).故选D.
2.如图,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,在A,B两点分别测得树顶P处的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为10 m,则这棵树的高度h为( A )
A.(5+5) m B.(30+15) m
C.(15+30) m D.(15+3) m
解析:由已知,AB=-=10,
即h-h=10,解得h==5×(+1)=(5+5) m.故选A.
3.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB等于( A )
A.+表高 B.-表高
C.+表距 D.-表距
解析:因为FG∥AB,所以=,所以GC=·CA.
因为DE∥AB,所以=,所以EH=·AH.
又DE=FG,
所以GC-EH=(CA-AH)=·HC=·(HG+GC)=·(EG-EH+GC).
由题中信息可得,表目距的差为GC-EH,表高为DE,表距为EG,则上式可化为表目距的差=×(表距+表目距的差),
所以AB=×(表距+表目距的差)=+表高.故选A.
4.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=0.1 km.若AB=BD,则B,D间的距离为 km(参考数据:
sin 15°=).
解析:在△ABC中,∠BCA=60°,∠ABC=75°-60°=15°,AC=0.1 km,
由正弦定理,得=,
所以AB==(km).
又因为BD=AB,所以BD= km.
答案:
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
有关高度(或距离)的测量 1,2,3,4,10,11,13
测量和自选建模作业 5,6,7,8,9,12,14
基础巩固
1.一艘轮船沿北偏东28°方向,以18 km/h的速度沿直线航行,一座灯塔原来在轮船的南偏东32°方向上,经过10 min的航行,此时轮船与灯塔的距离为 km,则灯塔与轮船原来的距离为( A )
A.2 km B.3 km
C.4 km D.5 km
解析:如图,设A为轮船原来的位置,B为轮船10 min后的位置,C为灯塔的位置,
由题意知AB=18×=3,BC=,∠BAC=180°-32°-28°=120°.
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠BAC,
所以19=9+AC2+3AC,
化简得AC2+3AC-10=0,
解得AC=2或AC=-5(舍去),
所以灯塔与轮船原来的距离为2 km.故选A.
2.如图是复建的某建筑物的示意图,某游客(身高忽略不计)从地面D点看楼的顶点C的仰角为30°,沿直线前进51.9 m到达E点,此时看点A的仰角为60°,若点B,E,D在一条直线上,BC=2AC,则楼高AB约为(参考数据:≈1.73)( C )
A.30 m B.60 m C.90 m D.103 m
解析:设AC=x,则BC=2x,AB=3x,CD=4x,BE=x,BD==2x,
BD=BE+ED,即2x=x+51.9 x≈30,
所以AB≈30×3=90(m).故选C.
3.一架直升机在300 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为( A )
A.200 m B.100 m
C.200 m D.100 m
解析:如图,O,A分别为塔底、塔顶,C为飞机位置,
所以OB=300,∠BCA=30°,∠BCO=60°.
若设OA=x,则AB=300-x,有=,所以=,得x=200.故选A.
4.某同学在国庆期间到商丘去旅游,经过“商”字城雕时,他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度).他在该雕塑的正东C处沿着南偏西60°的方向前进7 m后到达D处(A,C,D三点在同一个水平面内),测得图中线段AB在东北方向,且测得点B的仰角为71.565°,则该雕塑的高度大约是(参考数据:
tan 71.565°≈3)( C )
A.19 m B.20 m C.21 m D.22 m
解析:由题意,得在△ACD中,∠CAD=135°,∠ACD=30°,CD=7 m,
由正弦定理=,所以AD==7(m).
在Rt△ABD中,∠BDA=71.565°,
所以AB=AD·tan 71.565°≈7×3=21(m).故选C.
5.为了测量隧道口A,B间的距离,开车从A点出发,沿正西方向行驶400 m到达D点,然后从D点出发,沿正北方向行驶一段路程后到达C点,再从C点出发,沿东南方向行驶400 m到达隧道口B点处,测得BD间的距离为1 000 m.则隧道口AB间的距离是 m.
解析:在△BCD中,BC=400 m,BD=1 000 m,∠BCD=45°,
由正弦定理得sin∠BDC==,
而CD⊥AD,则cos∠ADB=sin∠BDC=,
在△ABD中,AD=400 m,
由余弦定理得AB=
=1 000(m).
答案:1 000
6.如图,某直径为5 km的圆形海域上有四个小岛,已知小岛B与小岛C相距为5 km(小岛的大小忽略不计,测量误差忽略不计),经过测量得到数据:cos ∠BAD=-.小岛C与小岛D之间的距离为
km.
解析:由于A,B,C,D四点共圆,所以π-∠BAD=∠C cos C=,
sin C==,由正弦定理可知=5 BD=.在△BCD中,BD2=CD2+BC2-2cos C·CD·CB CD2-CD-=0,
解得CD==,显然<0不合题意.
答案:
能力提升
7.如图,为了测量某湿地A,B两点之间的距离,观察者找到在同一条直线上的三点C,D,E.从点D测得∠ADC=67.5°,从点C测得∠ACD=
45°,∠BCE=75°,从点E测得∠BEC=60°.若测得DC=200 m,
CE=100 m,则A,B两点之间的距离为( C )
A.100 m B.200 m
C.300 m D.200 m
解析:在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,
则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,所以AC=DC=200 m.在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,则∠EBC=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理,得=,故BC===100(m).在△ABC中,AC=200 m,BC=100 m,
∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°.
由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=90 000,
所以AB=300 m.故选C.
8.(多选题)甲、乙两楼相距20 m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则下列说法正确的有( AC )
A.甲楼的高度为20 m B.甲楼的高度为10 m
C.乙楼的高度为 m D.乙楼的高度为10 m
解析:如图所示,
在Rt△ABD中,
∠ABD=60°,BD=20 m,所以AD=BDtan 60°=20(m),
即甲楼高度为20 m,
AB==40(m).
在△ABC中,设AC=BC=x m,
由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ∠ACB,
即1 600=x2+x2+x2,解得x=,
即乙楼的高度为 m.故选AC.
9.如图所示,在某楼阁旁的水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75 m,则该楼阁的高度OP= m.
解析:设OP=h,h>0,则OA==h,OB==h,OC==h.
由∠OBC+∠OBA=π得cos ∠OBC=-cos ∠OBA,
由余弦定理得=-,
解得h=15,即OP为15 m.
答案:15
10.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B的仰角为60°,∠APB的大小为30°,山脚P到山顶A的直线距离为
4 km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为 km.
解析:假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AE⊥BD于E,如图所示.
由题意可知,∠APC=30°,∠BPD=60°,AP=4 km,
所以在△APC中,AC=AP·sin 30°=2 km,DE=AC=2 km.
设BD=h,则DP=h,
BE=h-2,BP=h.
因为∠BAE=30°,所以AB=2BE=2h-4.
在△ABP中,由余弦定理得
cos 30°===,
解得h=3 km,所以乙山的高度为3 km.
答案:3
11.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔20 250 m,速度为189 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°30′,经过960 s后,又看到山顶的俯角为81°,求山顶的海拔高度.(tan 18.5°≈0.334 59,tan 81°≈6.313 75,精确到1 m)
解:如图所示,
假设山顶为点A,飞机经过960 s,从B到C处,过A作BC的垂线交BC延长线于点D,由题意可知∠ABC=18.5°,∠ACD=81°,BC=189×=(km).在直角三角形ABD中,有=tan 18.5°,在直角三角形ADC中,有=tan 81° tan 18.5°·(+
CD)=tan 81°·CD CD=,
所以AD=tan 81°×=≈
17.807 0(km),故山顶海拔高度为20 250-17 807.0=2 443(m).
12.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到B,在B处测得山顶P的仰角为γ,求证:山高h=.
证明:在△ABP中,∠ABP=180°-γ+β,
∠BPA=180°-(α-β)-∠ABP
=180°-(α-β)-(180°-γ+β)=γ-α.
在△ABP中,根据正弦定理,
=,
即=,
所以AP=,
所以山高h=APsin α=.
13.如图,某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶,在A处测得山顶P处的仰角∠PAO=30°,该车以60 km/h的速度匀速行驶3分钟后,到达B处,此时测得仰角∠PBO=45°,且cos∠AOB=-.
(1)求此山的高OP的值;
(2)求该车从A到B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值.
解:(1)设OP=x km,在△PAO中,
因为tan∠PAO=,所以AO==x km.
同理,在△PBO中,BO==x km,
在△AOB中,由余弦定理得AB2=AO2+BO2-2AO·BOcos∠AOB=6x2,
所以AB=x=60×=3(km),得x=,
所以此山的高OP为 km.
(2)由(1)得BO= km,AO= km,AB=3 km,
设C是线段AB上一动点,连接OC,PC,
则在点C处观测P点的仰角为∠PCO,
tan∠PCO==,
当OC⊥AB时,OC最短,
由S△AOB=AO·BOsin∠AOB=AB·OC得OC=,所以tan∠PCO=≤,
所以该车从A到B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值为.
应用创新
14.某固定在墙上的广告金属支架如图所示,根据要求,AB至少长
3 m,C为AB的中点,B到D的距离比CD的长小0.5 m,∠BCD=60°.
(1)若CD=x,BC=y,将支架的总长度表示为y的函数,并写出函数的定义域.(注:支架的总长度为图中线段AB,BD和CD长度之和)
(2)如何设计AB,CD的长,可使支架总长度最短.
解:(1)由CD=x,则BD=x-0.5,且CB=y,则支架的总长度为l=AC+BC+BD+CD,
在△BCD中,由余弦定理x2+y2-2xycos 60°=(x-0.5)2,化简得y2-xy=-x+0.25,
即y2-xy+x-0.25=0.
记l=y+y+x-0.5+x=2y+2x-0.5,
由y2-xy+x-0.25=0可得x=.
则l=2y+2×-0.5=2y+-0.5
=-0.5=-0.5.
故支架的总长度表示为y的函数为l=-0.5,
定义域为[1.5,+∞).
(2)由题中条件得2y≥3,即y≥1.5,设y-1=t(t≥0.5),
则原式l=-0.5=-0.5
=-0.5=4t+6+-0.5=4t++5.5.
因为t≥0.5,由基本不等式得4t+≥2,当且仅当4t2=1.5,即t=时,等号成立.
又由t=满足t≥0.5,
所以y=+1,故x=.
因此当AB长为(+2) m,CD长为 m时,金属支架总长度最短.
