§1 同角三角函数的基本关系
1.1 基本关系式
1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1.3 综合应用
学习目标
1.理解同角三角函数的基本关系式,培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.
2.通过同角三角函数的基本关系式的应用,提高数学运算、逻辑推理的核心素养.
知识探究
问题1:写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系.
角度 sin α cos α tan α sin2α+cos2α
30°
45°
60°
提示:所给角的三角函数值如下表所示:
角度 sin α cos α tan α sin2α+cos2α
30° 1
45° 1 1 1
60° 1
由表可以看出:
sin230°+cos230°=1,=tan 30°;
sin245°+cos245°=1,=tan 45°;
sin260°+cos260°=1,=tan 60°.
问题2:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin α,x=cos α,=tan α.请你根据x,y之间的关系得到sin α,cos α,tan α 之间的关系.
提示:sin2α+cos2α=1,=tan α.
知识点 同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式如下表:
关系 关系式 文字表述
平方 关系 sin2α+cos2α=1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数 关系 =tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
[思考] 同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗 请简要说明.
提示:sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而 tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立.
(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义:一是“角相同”;二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关.如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立.
(2)sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦值的平方,后者是α2的正弦值,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写.
探究点一 应用同角三角函数基本关系式求值
角度1 已知某个三角函数值,求其他的三角函数值
[例1] (1)已知sin α= ,求cos α和tan α;
(2)已知α∈(π,2π),tan α=2,求sin α和cos α.
解:(1)因为sin α=>0,所以α是第一或第二象限角.
当α是第一象限角时,cos α===,
所以tan α===;
当α是第二象限角时,cos α=-=-=-,
所以tan α===-.
(2)由解得cos2α=,
因为α∈(π,2π),tan α=2>0,所以α∈(π,),
所以cos α=-.
所以sin α=tan α·cos α=-.
利用同角三角函数的基本关系解决求值问题的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
[针对训练] (1)若α为第二象限角,且sin α=,则tan α的值为( )
A. B.-
C. D.-
(2)已知α是第二象限角,若sin(α+)=,则cos(α+)等于( )
A.- B. C.- D.
解析:(1)因为α为第二象限角,且sin α=,
所以cos α=-=-,故tan α= ==-.故选B.
(2)因为α是第二象限角,所以α+是第一象限角.
又因为sin(α+)=,所以cos(α+)===.故选B.
角度2 由角的正切值,求齐次式的值
[例2] 已知tan α=-,求下列各式的值:
(1);(2)2sin αcos α+cos 2α.
解:(1)===.
(2)2sin αcos α+cos2α====.
已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法
(1)形如的分式,可将分子、分母同时除以cos α;形如的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正弦、余弦函数转化为正切函数,从而求值.
(2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,可将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的分式求解.
[针对训练] 已知3sin α+4cos α=0.
(1)求sin αcos α的值;
(2)求的值.
解:因为3sin α+4cos α=0,
所以tan α=-.
(1)sin αcos α====-.
(2)=====.
角度3 利用sin α±cos α与sin αcos α的关系求值
[例3] 已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则tan α= .
解析:因为sin α+cos α=,①
所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=,
即2sin αcos α=-.
因为α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,
所以sin α-cos α===.②
由①②解得sin α=,cos α=-,
所以tan α=-.
答案:-
[变式探究] (1)将本例改为:已知角θ满足sin θ+cos θ=,则tan θ+的值为 .
(2)将本例改为:已知cos αsin α=,则cos α-sin α的值为 .
解析:(1)由sin θ+cos θ=,得sin θcos θ=,
所以tan θ+=+===2.
(2)因为cos αsin α=,
所以cos α-sin α=±=±=±.
答案:(1)2 (2)±
由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α可知,如果已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.涉及的三角恒等式有:
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
探究点二 利用同角三角函数关系式化简
[例4] (1)已知α为第二象限角,化简cos α·+
sin α;
(2)化简:.
解:(1)原式=cos α·+sin α·
=cos α·+sin α·,
因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,
所以cos α·+sin α·=+=-1+1=0.
(2)法一 原式=
==.
法二 原式=
=
=
==.
法三 原式
=
=
===.
化简三角函数式的方法
(1)化切为弦,即把非正弦、余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式后去根号.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
[针对训练] (1)(tan x+)cos2x等于( )
A.tan x B.sin x C.cos x D.
(2)化简:①;②sin2αtan α++2sin αcos α.
(1)解析:(tan x+)cos2x=sin xcos x+=
==.故选D.
(2)解:①原式====-1.
②原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α=
==.
探究点三 利用同角三角函数基本关系式证明
[例5] (1)求证:=.
(2)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
证明:(1)右边=
=
=
===左边,
所以原式成立.
(2)因为tan2α=2tan2β+1,
所以tan2α+1=2tan2β+2.
所以+1=2(+1),
通分可得=,
即cos2β=2cos2α,
所以1-sin2β=2(1-sin2α),
即sin2β=2sin2α-1,所以原式成立.
证明三角恒等式的方法
证明三角恒等式的过程实质上是化异为同的过程,常用以下方法.
(1)证明一边等于另一边,一般是由繁到简.
(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).
(3)比较法:证明左边-右边=0或=1(右边≠0).
(4)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异.
[针对训练] 证明下列等式成立:
(1)(cos α-1)2+sin2α=2-2cos α;
(2)=sin2α;
(3)=.
证明:(1)左边=cos2α-2cos α+1+sin2α=2-2cos α=右边.
(2)左边=1-=1-=1-cos2α=sin2α=右边.
(3)右边====左边.
当堂检测
1.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,若α的终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m,),且α为第二象限角,则
cos α等于( D )
A. B.- C. D.-
解析:由题意sin α=,cos α<0,
所以cos α=-=-=-.故选D.
2.已知sin α-cos α=-,则sin αcos α等于( C )
A. B.- C.- D.
解析:由题意得(sin α-cos α)2=,即sin2α+cos2α-2sin αcos α=,又sin2α+cos2α=1,所以1-2sin αcos α=,所以sin αcos α=-.故选C.
3.若α∈[0,2π),且+=sin α-cos α,则角α的取值范围为( B )
A.[0,) B.[,π] C.(,π) D.[π,]
解析:因为+=|sin α|+|cos α|=sin α-cos α,
所以
又α∈[0,2π),所以α∈[,π].故选B.
4.已知=2,则sin θcos θ的值是( C )
A. B.± C. D.-
解析:由条件得sin θ+cos θ=2sin θ-2cos θ,即3cos θ=sin θ,所以tan θ=3,所以sin θcos θ====.故选C.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
同角三角函数关系式求值 1,2,3,9
同角三角函数关系式化简 6,11
同角三角函数关系式应用 4,5,7,8,10
基础巩固
1.已知tan x=,且x是第三象限角,则cos x等于( D )
A. B.- C. D.-
解析:因为tan x=,且x是第三象限角,所以=,cos x<0,
结合sin2x+cos2x=1,解得cos x=-.故选D.
2.已知tan α=-2,且0<α<π,则cos α-sin α的值为( A )
A.- B.- C.- D.
解析:因为tan α=-2,且0<α<π,所以α∈(,π),
则sin α=,cos α=-.
则cos α-sin α=--=-.故选A.
3.已知sin α·cos α=-,-<α<,则sin α+cos α的值等于( D )
A. B.- C.- D.
解析:因为sin α·cos α=-<0,-<α<,所以-<α<0,
所以0又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+2×(-)=,
所以sin α+cos α=.故选D.
4.(2023·全国甲卷)设甲:“sin2α+sin2β=1”,乙:“sin α+
cos β=0”,则( B )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙充分条件也不是乙必要条件
解析:当sin2α+sin2β=1时,例如α=,β=0,但sin α+cos β≠0,即“sin2α+sin2β=1”推不出“sin α+cos β=0”;当sin α+cos β=0时,sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,即“sin α+cos β=0”能推出“sin2α+sin2β=1”.综上可知,甲是乙的必要不充分条件.故选B.
5.(多选题)若=1,则正确的结论为( AC )
A.tan α=2 B.tan α=-2
C.sin2α= D.sin α=
解析:因为=1,所以3sin α-cos α=sin α+3cos α,
即sin α=2cos α,所以tan α=2.
将cos α=sin α代入sin2α+cos2α=1,得sin2α=1,sin2α=,
sin α=±,所以A,C选项正确,B,D选项错误.
故选AC.
6.化简:(+)(1-cos α)= .
解析:原式=(+)(1-cos α)====
sin α.
答案:sin α
能力提升
7.(多选题)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=-,则下列结论正确的是( ACD )
A.θ∈(,π) B.cos θ=-
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
解析:因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,
又sin θ+cos θ=-<0,所以cos θ<0,
可得θ∈(,π),故A正确;
又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
可得sin θcos θ=-,
则(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
所以sin θ-cos θ=,故D正确;
由得sin θ=,cos θ=-,
所以tan θ=-,故B不正确,C正确.
故选ACD.
8.设α∈R,且log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+2cos α)=1,则tan α的值是( C )
A. B.2
C.或2 D.不存在
解析:因为log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+2cos α)=1,所以log4[(2sin α+cos α)(sin α+2cos α)]=1,
即(2sin α+cos α)(sin α+2cos α)=4,
化简得2sin2α+5sin αcos α+2cos2α=4,
所以=4,
=4,
即2tan2α-5tan α+2=0,
解得tan α=或tan α=2.
故选C.
9.若tan θ=-2,则的值为 .
解析:法一(求值代入法) 因为tan θ=-2,所以角θ的终边在第二或第四象限,又sin2θ+cos2θ=1,
所以或
所以
=
=sin θ(sin θ+cos θ)
=sin2θ+sin θcos θ
=-
=.
法二(弦化切法) 因为tan θ=-2,
所以
=
=sin θ(sin θ+cos θ)
=
===.
答案:
10.若sin θ,cos θ是方程x2+mx+m=0的两根,则m的值为 .
解析:由题意知sin θ+cos θ=-m,sin θcos θ=m,且Δ=m2-4m≥0,解得m≥4或m≤0,(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ m2=1+2m,所以m2-2m-1=0,可得m=1±,故m=1-.
答案:1-
11.已知<α<,cos(α+)=m(m≠0),求tan(-α)的值.
解:因为<α<,所以<α+<π,
所以sin(α+)==,
所以tan(α+)==,
所以tan(-α)=tan[π-(+α)]=-tan(+α)=-.§1 同角三角函数的基本关系
1.1 基本关系式
1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1.3 综合应用
学习目标
1.理解同角三角函数的基本关系式,培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.
2.通过同角三角函数的基本关系式的应用,提高数学运算、逻辑推理的核心素养.
知识探究
问题1:写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系.
角度 sin α cos α tan α sin2α+cos2α
30°
45°
60°
提示:所给角的三角函数值如下表所示:
角度 sin α cos α tan α sin2α+cos2α
30° 1
45° 1 1 1
60° 1
由表可以看出:
sin230°+cos230°=1,=tan 30°;
sin245°+cos245°=1,=tan 45°;
sin260°+cos260°=1,=tan 60°.
问题2:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin α,x=cos α,=tan α.请你根据x,y之间的关系得到sin α,cos α,tan α 之间的关系.
提示:sin2α+cos2α=1,=tan α.
知识点 同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式如下表:
关系 关系式 文字表述
平方 关系 sin2α+cos2α=1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数 关系 =tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
[思考] 同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗 请简要说明.
提示:sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而 tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立.
(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义:一是“角相同”;二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关.如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立.
(2)sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦值的平方,后者是α2的正弦值,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写.
探究点一 应用同角三角函数基本关系式求值
角度1 已知某个三角函数值,求其他的三角函数值
[例1] (1)已知sin α= ,求cos α和tan α;
(2)已知α∈(π,2π),tan α=2,求sin α和cos α.
利用同角三角函数的基本关系解决求值问题的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
[针对训练] (1)若α为第二象限角,且sin α=,则tan α的值为( )
A. B.-
C. D.-
(2)已知α是第二象限角,若sin(α+)=,则cos(α+)等于( )
A.- B. C.- D.
角度2 由角的正切值,求齐次式的值
[例2] 已知tan α=-,求下列各式的值:
(1);(2)2sin αcos α+cos 2α.
已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法
(1)形如的分式,可将分子、分母同时除以cos α;形如的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正弦、余弦函数转化为正切函数,从而求值.
(2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,可将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的分式求解.
[针对训练] 已知3sin α+4cos α=0.
(1)求sin αcos α的值;
(2)求的值.
角度3 利用sin α±cos α与sin αcos α的关系求值
[例3] 已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则tan α= .
[变式探究] (1)将本例改为:已知角θ满足sin θ+cos θ=,则tan θ+的值为 .
(2)将本例改为:已知cos αsin α=,则cos α-sin α的值为 .
由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α可知,如果已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.涉及的三角恒等式有:
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
探究点二 利用同角三角函数关系式化简
[例4] (1)已知α为第二象限角,化简cos α·+
sin α;
(2)化简:.
化简三角函数式的方法
(1)化切为弦,即把非正弦、余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式后去根号.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
[针对训练] (1)(tan x+)cos2x等于( )
A.tan x B.sin x C.cos x D.
(2)化简:①;②sin2αtan α++2sin αcos α.
探究点三 利用同角三角函数基本关系式证明
[例5] (1)求证:=.
(2)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
证明三角恒等式的方法
证明三角恒等式的过程实质上是化异为同的过程,常用以下方法.
(1)证明一边等于另一边,一般是由繁到简.
(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).
(3)比较法:证明左边-右边=0或=1(右边≠0).
(4)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异.
[针对训练] 证明下列等式成立:
(1)(cos α-1)2+sin2α=2-2cos α;
(2)=sin2α;
(3)=.
当堂检测
1.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,若α的终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m,),且α为第二象限角,则
cos α等于( )
A. B.- C. D.-
2.已知sin α-cos α=-,则sin αcos α等于( )
A. B.- C.- D.
3.若α∈[0,2π),且+=sin α-cos α,则角α的取值范围为( )
A.[0,) B.[,π] C.(,π) D.[π,]
4.已知=2,则sin θcos θ的值是( )
A. B.± C. D.-
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
同角三角函数关系式求值 1,2,3,9
同角三角函数关系式化简 6,11
同角三角函数关系式应用 4,5,7,8,10
基础巩固
1.已知tan x=,且x是第三象限角,则cos x等于( )
A. B.- C. D.-
2.已知tan α=-2,且0<α<π,则cos α-sin α的值为( )
A.- B.- C.- D.
3.已知sin α·cos α=-,-<α<,则sin α+cos α的值等于( )
A. B.- C.- D.
4.(2023·全国甲卷)设甲:“sin2α+sin2β=1”,乙:“sin α+
cos β=0”,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙充分条件也不是乙必要条件
5.(多选题)若=1,则正确的结论为( )
A.tan α=2 B.tan α=-2
C.sin2α= D.sin α=
6.化简:(+)(1-cos α)= .
能力提升
7.(多选题)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=-,则下列结论正确的是( )
A.θ∈(,π) B.cos θ=-
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
8.设α∈R,且log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+2cos α)=1,则tan α的值是( )
A. B.2
C.或2 D.不存在
9.若tan θ=-2,则的值为 .
10.若sin θ,cos θ是方程x2+mx+m=0的两根,则m的值为 .
11.已知<α<,cos(α+)=m(m≠0),求tan(-α)的值.
