2.3 三角函数的叠加及其应用
2.4 积化和差与和差化积公式
学习目标
1.掌握辅助角公式的原理及应用,提升数学抽象、逻辑推理以及数学运算的核心素养.
2.了解三角函数的积化和差、和差化积公式的简单应用,增强逻辑推理与数学运算的核心素养.
知识探究
问题1:由sin(30°+α)=cos α+sin α,cos α+sin α=sin(30°+α),你能概括出形如asin α+bcos α的三角函数式化为一个角的三角函数式的方法吗
知识点1 辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+)(a,b不同时为0).其中角所在象限由a,b的符号确定,角的值由sin 和cos 的值确定,也就是由tan =来确定.
[做一做1] 函数y=3sin x+4cos x的最大值为( C )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由辅助角公式得y=3sin x+4cos x=·sin(x+)
=5sin(x+),其中tan =,所以最大值为5.故选C.
问题2:根据已经学习过的公式:
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;①
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;②
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;③
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.④
在上述公式的右端含有cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,
cos αsin β,从方程的观点出发,你能否把它们解出来
知识点2 三角函数的积化和差公式
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
问题3:如何把sin 60°+sin 30°化为两个三角函数乘积的形式 你能根据积化和差公式,得出把两个三角函数和差的形式化为两个三角函数乘积形式的公式吗
知识点3 三角函数的和差化积公式
sin x+sin y=2sin cos ;
sin x-sin y=2cos sin ;
cos x+cos y=2cos cos ;
cos x-cos y=-2sin sin .
[做一做2] sin 105°+sin 15°等于( C )
A. B. C. D.
解析:sin 105°+sin 15°
=2sincos
=2sin 60°cos 45°
=2××
=.故选C.
常见的特殊角的式子化简
sin x+cos x=sin(x+);
sin x-cos x=sin(x-);
sin x+cos x=2sin(x+);
sin x-cos x=2sin(x-);
sin x+cos x=2sin(x+);
sin x-cos x=2sin(x-).
探究点一 辅助角公式的应用
[例1] (多选题)已知函数f(x)=2sin ωx+cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则( )
A.ω=2
B.f(x)的最大值为3
C.f(x)在区间(-,)上单调递增
D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于y轴对称
解析:f(x)=2sin ωx+cos(ωx+)
=2sin ωx+cos ωx-sin ωx
=cos ωx+sin ωx
=(cos ωx+sin ωx)
=sin(ωx+).
因为y=f(x)的最小正周期为π,所以=π,
又ω>0,所以ω=2,故A正确;
所以f(x)=sin(2x+),其最大值为,故B错误;
当x∈(-,)时,2x+∈(-,),
由正弦曲线,有y=sin x在(-,)上单调递增,
所以f(x)=sin(2x+)在(-,)上单调递增,故C正确;
将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得函数为y=sin[2(x+)+]=sin(2x+)=cos 2x,
其图象关于y轴对称,故D正确.故选ACD.
公式asin x+bcos x=sin(x+)[或asin x+bcos x=
cos(x-)],将形如asin x+bcos x(a,b不同时为0)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式,这样做有利于三角函数的化简,更是研究三角函数性质的常用工具.
化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角x的系数为正,这样更有利于研究函数的性质(包括函数的周期性、单调性、最值、定义域等).
[针对训练] 若0<θ≤,则sin θ+cos θ的取值范围是 .
解析:sin θ+cos θ=2(sin θ+cos θ)
=2(cossin θ+sincos θ)=2sin(θ+).
因为0<θ≤,所以<θ+≤,
所以≤sin(θ+)≤1,
即≤2sin(θ+)≤2,
则当0<θ≤时,sin θ+cos θ的取值范围为[,2].
答案:[,2]
探究点二 三角函数的积化和差公式
[例2] 利用积化和差公式,求下列各式的值.
(1)cos 15°cos 75°;
(2)sin 20°sin 40°sin 80°.
解:(1)由积化和差公式得cos 15°cos 75°
=[cos (15°+75°)+cos(15°-75°)]
=(cos 90°+cos 60°)=.
(2)由积化和差公式得sin 20°sin 40°sin 80°
=-[cos(20°+40°)-cos(20°-40°)]sin 80°
=-sin 80°+sin 80°cos 20°
=-sin 80°+×(sin 100°+sin 60°)
=-sin 80°+sin 80°+=.
积化和差公式实际上是两角和与差的正弦公式、余弦公式的变形,在使用时注意四种形式,即sin αsin β,cos αcos β,sin αcos β,cos αsin β,特别是sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)],不要忽视前面的负号.
[针对训练] 函数f(x)=sin(x+)cos x的最小正周期为 .
解析:f(x)=sin(x+)cos x=[sin(2x+)+sin]=sin(2x+)+,
所以f(x)的最小正周期为π.
答案:π
探究点三 三角函数的和差化积公式
[例3] 求下列各式的值.
(1)sin 20°+sin 40°-sin 80°;
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°.
解:(1)sin 20°+sin 40°-sin 80°=2sin 30°·cos 10°-cos 10°=cos 10°-cos 10°=0.
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°
=(cos 40°+cos 80°)+-cos 20°
=2cos 60°cos 20°+-cos 20°
=cos 20°+-cos 20°=.
和差化积时,两个以和差连接的三角函数是同名的,形如sin α±sin β,cos α±cos β,如果两个三角函数不同名,要根据诱导公式把其化为同名,再使用和差化积公式.
[针对训练] 已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,求tan 的值.
解:由sin α+sin β=,cos α+cos β=,
得2sin cos =,2cos cos =,
两式相除得tan =.
当堂检测
1.求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°等于( C )
A. B. C. D.1
解析:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°=2sin 30°·cos 10°+sin 60°-sin 80°=2××sin 80°+-sin 80°=.故选C.
2.(多选题)下列有关和差化积的转化正确的是( AB )
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ
B.cos 3θ-cos 5θ=2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=2cos 4θsin θ
D.sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ
解析:由和差化积公式可知,
对于A,sin 5θ+sin 3θ=2sincos=2sin 4θcos θ,
故A正确;
对于B,cos 3θ-cos 5θ=-2sinsin=2sin 4θsin θ,
故B正确;
对于C,sin 3θ-sin 5θ=2cos ·sin=-2cos 4θsin θ,故C错误;对于D,sin 5θ+cos 3θ=sin 5θ+sin(3θ+)
=2sin·cos=2sin(4θ+)cos(θ-),故D错误.
故选AB.
3.化简的结果为 .
解析:原式=
=
==.
答案:
4.函数f(x)=5cos x+12sin x的最小值为 .
解析:f(x)=13(cos x+sin x)=13sin(x+)(其中tan =),
所以f(x)min=-13.
答案:-13
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
辅助角公式及其应用 1,8,12,13
和差化积与积化和差 2,4,7
综合应用 3,5,6,9,10,11
基础巩固
1.为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象( A )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析:因为y=sin 3x+cos 3x=cos(3x-)=cos[3(x-)],
所以将函数y=cos 3x的图象向右平移个单位长度后可得到函数y=cos(3x-)的图象.故选A.
2.已知sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( D )
A.- B.- C. D.
解析:由已知得2sincos=·(-2sin sin ),
因为0<<π,-<<,所以sin >0,所以tan =,
所以=,所以α-β=.故选D.
3.(多选题)已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x,则( ACD )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x-)是奇函数
D.f(x)的单调递减区间为[kπ-,kπ+],k∈Z
解析:根据题意可得f(x)=cos 2x-sin 2x=cos(2x+),所以f(x)的最小正周期为T==π,即A正确;
将x=代入可得f()=cos(2×+)=cos =0,没有取到最值,所以f(x)的图象不关于直线x=对称,即B错误;
易知f(x-)=cos[2(x-)+]=cos(2x-)=sin 2x,可得f(x-)是奇函数,即C正确;
令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,即D正确.故选ACD.
4.已知sin α-sin β=-,cos α+cos β=,则tan的值为( D )
A. B.
C.- D.-
解析:sin α-sin β=2cossin=-,
cos α+cos β=2coscos=,
两式相除可得=tan==-.故选D.
5.已知函数f(x)=sin x+cos x在(0,m)上有且仅有3个零点,则m的最大值为( C )
A. B. C. D.
解析:f(x)=sin x+cos x=2sin(x+),当x∈(0,m)时,x+∈(,m+),因为f(x)在(0,m)上有且仅有3个零点,所以3π6.函数y=sin x+sin(x+)的最大值是 .
解析:y=sin x+sin x+cos x=sin x+cos x=sin(x+),
当x+=2kπ+,k∈Z,即x=2kπ+,k∈Z时,sin(x+)取得最大值1,
所以y=sin x+sin(x+)的最大值是.
答案:
7.cos 20°+cos 100°+cos 140°= .
解析:原式=2coscos +cos 140°
=2cos 60°·cos 40°+cos(180°-40°)
=cos 40°-cos 40°=0.
答案:0
8.已知f(x)=sin x+2cos x,当x=θ时,f(x)取得最大值,则tan θ=
.
解析:令cos α=,sin α=,其中α为锐角,
则f(x)=sin x+2cos x=(sin x+cos x)
=(sin xcos α+cos xsin α)=sin(x+α).
因为当x=θ时,f(x)取得最大值,则θ+α=2kπ+(k∈Z),
所以θ=2kπ+-α(k∈Z),
所以sin θ=sin(2kπ+-α)=cos α=,
cos θ=cos(2kπ+-α)=sin α=,故tan θ==×=.
答案:
能力提升
9.已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x,下列结论错误的是( D )
A.f(x)在区间[-,]上单调递减
B.(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C.f(x)在[0,]上的值域为[-,]
D.f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)=
2cos(2x+)的图象
解析:函数f(x)=cos 2x-sin 2x=2cos(2x+),由于x∈[-,],所以2x+∈[0,],所以函数f(x)在该区间上单调递减,故A正确;
当x=时,f()=2cos =0,故B正确;
由于x∈[0,],所以2x+∈[,],cos(2x+)∈[-,],
f(x)∈[-,],故C正确;
函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数y=2cos[2(x-)+]=2cos 2x的图象,故D错误.
故选D.
10.已知函数f(x)=asin x+cos x满足:f(x)≤f().若函数f(x)在区间[x1,x2]上单调,且f(x1)+f(x2)=0,则当|x1+x2|取得最小值时,
sin(x1+x2)= .
解析:易知a≠0,若a>0,由辅助角公式得
f(x)=asin x+cos x=sin(x+),
其中tan =,∈(0,).
因为f(x)≤f(),
则f(x)max=f() sin(+)=1 =,
则tan = a=1,
所以f(x)=2sin(x+).
若a<0,则f(x)=-(-asin x-cos x)=-sin(x-),
其中tan =,∈(0,).
同上f(x)max=f() sin(-)=-1 =+2kπ,k∈Z与前提矛盾,舍去,
故f(x)=sin x+cos x=2sin(x+),
易知y=f(x)以(-+kπ,0),k∈Z为对称中心.
根据题意函数f(x)在区间[x1,x2]上单调,且f(x1)+f(x2)=0,
则x1+x2=2×(-+kπ),k∈Z,
则当|x1+x2|取得最小值时,sin(x1+x2)=sin(-)=-.
答案:-
11.已知函数f(x)=cos xsin(x+)-.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)=0在区间(0,)上的根.
解:(1)f(x)=cos xsin(x+)-=[sin(2x+)+sin]-=sin(2x+),
故f(x)的最小正周期T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.
(2)f(x)=0,即sin(2x+)=0,
则2x+=kπ,k∈Z,
解得x=-+,k∈Z,
由x∈(0,),所以x=,故f(x)=0在区间(0,)上的根为x=.
12.已知函数f(x)=sin x-cos x-m.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)函数g(x)的图象可以由f(x)的图象向左平移个单位长度得到,若g(x)在[-,]上有两个零点,求m的取值范围.
解:(1)f(x)=sin x-cos x-m=2sin(x-)-m,所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度,
得到g(x)=2sin(x+-)-m=2sin x-m的图象,令h(x)=2sin x,
则h(x)在[-,]上单调递增,
在(,]上单调递减,
且h(-)=-2sin=-1,h()=2sin=2,h()=2sin=1.
若g(x)在[-,]上有两个零点,则关于x的方程h(x)=m在[-,]上有两个不相等的实数根,即h(x)与y=m的图象有两个交点,所以m的取值范围为[1,2)(如图).
应用创新
13.已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asin x+bcos x,称向量=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量,同时称函数f(x)为向量的相伴函数.
(1)若向量m=(2,2)为h(x)=λsin(x+)的相伴特征向量,求实数λ
的值;
(2)记向量m=(5,12)的相伴函数是f(x),求f(x)在x∈[0,]的值域.
解:(1)因为向量m=(2,2)为h(x)=λsin(x+)的相伴特征向量,
则h(x)=λsin(x+)=2sin x+2cos x=2sin(x+),解得λ=2.
(2)由题意得向量m=(5,12)的相伴函数是
f(x)=5sin x+12cos x
=13×(sin x+cos x).
设cos θ=,sin θ=,
因为所以f(x)=13sin(x+θ).
当x∈[0,]时,x+θ∈[θ,+θ],
当x+θ=时,函数f(x)有最大值,为13;
当x+θ=+θ,即x=时,函数f(x)有最小值,
为f()=5×sin+12×cos=,
故函数f(x)的值域为[,13].2.3 三角函数的叠加及其应用
2.4 积化和差与和差化积公式
学习目标
1.掌握辅助角公式的原理及应用,提升数学抽象、逻辑推理以及数学运算的核心素养.
2.了解三角函数的积化和差、和差化积公式的简单应用,增强逻辑推理与数学运算的核心素养.
知识探究
问题1:由sin(30°+α)=cos α+sin α,cos α+sin α=sin(30°+α),你能概括出形如asin α+bcos α的三角函数式化为一个角的三角函数式的方法吗
知识点1 辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+)(a,b不同时为0).其中角所在象限由a,b的符号确定,角的值由sin 和cos 的值确定,也就是由tan =来确定.
[做一做1] 函数y=3sin x+4cos x的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
问题2:根据已经学习过的公式:
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;①
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;②
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;③
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.④
在上述公式的右端含有cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,
cos αsin β,从方程的观点出发,你能否把它们解出来
知识点2 三角函数的积化和差公式
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
问题3:如何把sin 60°+sin 30°化为两个三角函数乘积的形式 你能根据积化和差公式,得出把两个三角函数和差的形式化为两个三角函数乘积形式的公式吗
知识点3 三角函数的和差化积公式
sin x+sin y=2sin cos ;
sin x-sin y=2cos sin ;
cos x+cos y=2cos cos ;
cos x-cos y=-2sin sin .
[做一做2] sin 105°+sin 15°等于( )
A. B. C. D.
常见的特殊角的式子化简
sin x+cos x=sin(x+);
sin x-cos x=sin(x-);
sin x+cos x=2sin(x+);
sin x-cos x=2sin(x-);
sin x+cos x=2sin(x+);
sin x-cos x=2sin(x-).
探究点一 辅助角公式的应用
[例1] (多选题)已知函数f(x)=2sin ωx+cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则( )
A.ω=2
B.f(x)的最大值为3
C.f(x)在区间(-,)上单调递增
D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于y轴对称
公式asin x+bcos x=sin(x+)[或asin x+bcos x=
cos(x-)],将形如asin x+bcos x(a,b不同时为0)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式,这样做有利于三角函数的化简,更是研究三角函数性质的常用工具.
化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角x的系数为正,这样更有利于研究函数的性质(包括函数的周期性、单调性、最值、定义域等).
[针对训练] 若0<θ≤,则sin θ+cos θ的取值范围是 .
探究点二 三角函数的积化和差公式
[例2] 利用积化和差公式,求下列各式的值.
(1)cos 15°cos 75°;
(2)sin 20°sin 40°sin 80°.
积化和差公式实际上是两角和与差的正弦公式、余弦公式的变形,在使用时注意四种形式,即sin αsin β,cos αcos β,sin αcos β,cos αsin β,特别是sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)],不要忽视前面的负号.
[针对训练] 函数f(x)=sin(x+)cos x的最小正周期为 .
探究点三 三角函数的和差化积公式
[例3] 求下列各式的值.
(1)sin 20°+sin 40°-sin 80°;
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°.
和差化积时,两个以和差连接的三角函数是同名的,形如sin α±sin β,cos α±cos β,如果两个三角函数不同名,要根据诱导公式把其化为同名,再使用和差化积公式.
[针对训练] 已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,求tan 的值.
当堂检测
1.求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°等于( )
A. B. C. D.1
2.(多选题)下列有关和差化积的转化正确的是( )
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ
B.cos 3θ-cos 5θ=2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=2cos 4θsin θ
D.sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ
3.化简的结果为 .
4.函数f(x)=5cos x+12sin x的最小值为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
辅助角公式及其应用 1,8,12,13
和差化积与积化和差 2,4,7
综合应用 3,5,6,9,10,11
基础巩固
1.为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.已知sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( )
A.- B.- C. D.
3.(多选题)已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x,则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x-)是奇函数
D.f(x)的单调递减区间为[kπ-,kπ+],k∈Z
4.已知sin α-sin β=-,cos α+cos β=,则tan的值为( )
A. B.
C.- D.-
5.已知函数f(x)=sin x+cos x在(0,m)上有且仅有3个零点,则m的最大值为( )
A. B. C. D.
6.函数y=sin x+sin(x+)的最大值是 .
7.cos 20°+cos 100°+cos 140°= .
8.已知f(x)=sin x+2cos x,当x=θ时,f(x)取得最大值,则tan θ=
.
能力提升
9.已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x,下列结论错误的是( )
A.f(x)在区间[-,]上单调递减
B.(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C.f(x)在[0,]上的值域为[-,]
D.f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)=
2cos(2x+)的图象
10.已知函数f(x)=asin x+cos x满足:f(x)≤f().若函数f(x)在区间[x1,x2]上单调,且f(x1)+f(x2)=0,则当|x1+x2|取得最小值时,
sin(x1+x2)= .
11.已知函数f(x)=cos xsin(x+)-.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)=0在区间(0,)上的根.
12.已知函数f(x)=sin x-cos x-m.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)函数g(x)的图象可以由f(x)的图象向左平移个单位长度得到,若g(x)在[-,]上有两个零点,求m的取值范围.
应用创新
13.已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asin x+bcos x,称向量=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量,同时称函数f(x)为向量的相伴函数.
(1)若向量m=(2,2)为h(x)=λsin(x+)的相伴特征向量,求实数λ
的值;
(2)记向量m=(5,12)的相伴函数是f(x),求f(x)在x∈[0,]的值域.
