§1 复数的概念及其几何意义
1.1 复数的概念
学习目标
1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程以及由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念,发展数学抽象的核心素养.
2.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件,发展数学抽象的核心素养.
知识探究
知识点1 复数的概念
(1)虚数单位的引入.
为了使方程x2=-1有解,人们引入一个新数i,叫作虚数单位,并规定:
①它的平方等于-1,即i2=-1;
②实数与它进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立.
(2)复数的有关概念.
①复数的定义:形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z表示.
②复数集:全体复数构成的集合称为复数集,记作C.
③复数的代数形式:z=a+bi(a,b∈R),其中a称为复数z的实部,记作Re z,b称为复数z的虚部,记作Im z.
[思考1] 方程x2+2=0,x∈C的解集是什么
提示:{-i,i}.
[思考2] 复数m+ni的实部、虚部一定是m,n吗 请简要说明.
提示:不一定.只有当m∈R,n∈R时,m,n才是该复数的实部、虚部.
[思考3] 对于复数z=a+bi(a,b∈R),它的虚部是b还是bi
提示:虚部是b.
知识点2 复数的分类
(1)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫作虚数;当a=0且b≠0时,叫作纯虚数.
根据复数中a,b的取值不同,复数可以有以下的分类:
(2)集合表示如下图.
知识点3 复数相等
两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚部相等,即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
[思考4] 两个向量没有大小之分,两个复数一定没有大小之分吗 请简要说明.
提示:如果两个复数都是实数,那么这两个复数具有大小关系;但两个复数,如果不全是实数,那么就不能比较大小,只能说相等或不相等.
[思考5] “因为3>2,所以3+i>2+i,3i>2i,i是虚数单位”,你认为这个推理正确吗
提示:不正确.
探究点一 复数概念的理解
[例1] 下列命题正确的是( )
A.若z∈C,则z2≥0
B.复数a+bi的虚部是b
C.复数2i的实部是0
D.设a,b∈R,若复数a2-(2-b)i的实部和虚部分别是4和3,则a+b=4
解析:由于复数的平方不一定大于0,故A错误;复数z=a+bi中没有a,b∈R,故B错误;2i的实部是0,C正确;由题意,得a2=4,-(2-b)=3,所以a=±2,b=5,因此a+b=7或3,故D错误.故选C.
(1)一个数的平方非负在实数范围内是真命题,在复数范围内是假命题,所以在判定数的性质和结论时,一定要关注在哪个数集上 .
(2)对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意a,b均为实数时,才能确定复数的实部、虚部.
(3)复数a+bi(a,b∈R)的虚部是实数b而非bi.
[针对训练] (多选题)下列说法正确的是( )
A.复数0的实部和虚部均为0
B.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数
C.-(2-i)的虚部是
D.方程x2+4=0的解是x=2i
解析:由于复数z=0=0+0i,因此A正确;在B中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故B错误;由-(2-i)=-2+i,可知其虚部是,故C正确;方程x2+4=0的解是x=±2i,故D错误.故选AC.
探究点二 复数的分类
[例2] 已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R).
(1)若复数z为实数,求a的值.
(2)若复数z为虚数,求a的取值范围.
(3)复数z能否为纯虚数 若能,求a的值;若不能,请说明理由.
解:(1)若复数z为实数,则
解得a=6.
(2)若复数z为虚数,则
解得a≠±1且a≠6,
所以a的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞).
(3)复数z不能为纯虚数,理由如下:
若复数z为纯虚数,则此不等式组无解,所以复数z不能为纯虚数.
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义,其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.
[针对训练] 已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i,试求实数m分别取什么值时,z为下列数.
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解:(1)由得m=-2,
所以当m=-2时,z是实数.
(2)由得m≠-1且m≠-2,
所以当m∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)时,z是虚数.
(3)由题意得
即解得m=0.
所以当m=0时,z是纯虚数.
探究点三 复数相等
[例3] 求满足下列条件的实数x,y的值.
(1)(x-3y)+(2x+3y)i=5+i;
(2)2x2-5x+3+(y2+y-6)i=0.
解:(1)由(x-3y)+(2x+3y)i=5+i可得
解得
(2)由2x2-5x+3+(y2+y-6)i=0可得
解得x=或x=1,y=2或y=-3.
(1)复数z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,则z1=z2 a=c且b=d.
(2)复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:
①等式两边整理为a+bi(a,b∈R)的形式;
②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;
③解方程组,求出相应的参数.
[针对训练] 若a,b∈R,i是虚数单位,a+2 023i=2-bi,则a2+bi等于 .
解析:因为a,b∈R且a+2 023i=2-bi,
所以解得
所以a2+bi=22-2 023i=4-2 023i.
答案:4-2 023i
学海拾贝
含有复数的不等式
[典例探究] 使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10(i是虚数单位)成立的实数m为( )
A.1 B.0
C.3 D.m不存在
解析:由题意得
解①,得m=0或m=3;解②,得m=1或m=3;
解③,得-[应用探究] (1)若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值为 .
(2)求满足条件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i的实数a,b的值.
(1)解析:因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,
所以
所以
所以所以x=-2.
答案:-2
(2)解:由-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i知,不等号左右两边均为实数,
所以解得a=b=2.
当堂检测
1.已知复数(x+y)+(2-x)i的实部和虚部分别为3和 4,则实数x和y的值分别是( D )
A.2,-4 B.2,5 C.-2,4 D.-2,5
解析:由题意得解得故选D.
2.已知x,y∈R,若2+yi=x-i(i为虚数单位),则y-x的值为( B )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
解析:因为2+yi=x-i,x,y∈R,则x=2,y=-1,所以y-x=-3.故选B.
3.若复数z=(x2-100)+(x-10)i为纯虚数,则实数x的值为( A )
A.-10 B.10
C.100 D.-10或10
解析:因为z为纯虚数,所以x2-100=0,同时x-10≠0,所以x=-10.故选A.
4.若实数x,y满足x+y+(x-y)i=2,则xy= .
解析:由题意,得解得
所以xy=1.
答案:1
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的概念 1,2,7,11
复数相等 3,6,9
复数概念的综合应用 4,5,8,10,12
基础巩固
1.设复数z=3-4i,则z的实部与虚部的和为( A )
A.-1 B.1 C.5 D.7
解析:由z=3-4i知,实部为3,虚部为-4,故实部与虚部的和为-1.
故选A.
2.若复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则a的值为( B )
A.-1 B.1 C.0或1 D.-1或1
解析:由题意可知解得a=1.故选B.
3.若-3+ai=b-2i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则等于( B )
A.- B. C. D.-
解析:因为-3+ai=b-2i,
所以a=-2,b=-3,得=.故选B.
4.(多选题)对于复数a+bi (a,b∈R),下列说法正确的是( BC )
A.若a=0,则a+bi为纯虚数
B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1
C.若b=0,则a+bi为实数
D.i的平方等于1
解析:当a=b=0时,a+bi=0为实数,故A错误;
若a+(b-1)i=3-2i,则解得故B正确;
若b=0,则a+bi=a为实数,故C正确;
i的平方为-1,故D错误.故选BC.
5.若复数m-3+(m2-9)i≥0,则实数m的值为 .
解析:依题意知解得m=3.
答案:3
6.已知i为虚数单位,a,b∈R,集合A={z|z=a+(2a-1)i},B={z|z=b-2+bi},则A∩B= .
解析:由题得a+(2a-1)i=b-2+bi,
所以解得所以A∩B={3+5i}.
答案:{3+5i}
7.一个实部与虚部的平方和为10的虚数是 .(写出一个即可)
解析:在z=a+bi(a,b∈R)中,只要a2+b2=10就满足题意,所以z=3-i符合题意.
答案:3-i(答案不唯一)
能力提升
8.设m∈R,则“m=-1”是“复数z=(m2-2m-3)+(m-1)i为纯虚数”的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若复数z=(m2-2m-3)+(m-1)i为纯虚数,则解得m=3或m=-1,
所以“m=-1”是“复数z=(m2-2m-3)+(m-1)i为纯虚数”的充分不必要条件.故选A.
9.设m∈R,i为虚数单位.若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,则m= .
解析:集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,
则有2m+(m-1)i=-2i或2m+(m-1)i=2,解得m=1.
答案:1
10.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,则a的取值集合为 .
解析:由z1>z2,得解得a=0,
故a的取值集合为{0}.
答案:{0}
11.已知复数z=(2m2-7m+3)+(m2-m-6)i(m∈R),根据下列条件求实数m的取值范围.
(1)若z∈R;(2)z是纯虚数;(3)Re z>Im z+2.
解:(1)若z∈R,则m2-m-6=0,得m=3或m=-2,即m的取值范围为{-2,3}.
(2)若z是纯虚数,则
即得m=,即m的取值范围为{}.
(3)若Re z>Im z+2,则2m2-7m+3>(m2-m-6)+2,即m2-6m+7>0,
解得m>3+或m<3-,即m的取值范围为(-∞,3-)∪(3+,+∞).
应用创新
12.若复数z=(cos θ-)+(sin θ-)i是纯虚数(i为虚数单位),则tan(θ-)的值为( C )
A.7 B.-
C.-7 D.-7或-
解析:因为复数z=(cos θ-)+(sin θ-)i是纯虚数,所以cos θ-=0,sin θ-≠0.
又cos2θ+sin2θ=1,
所以cos θ=,sin θ=-,所以tan θ=-,
所以tan(θ-)===-7.故选C.§1 复数的概念及其几何意义
1.1 复数的概念
学习目标
1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程以及由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念,发展数学抽象的核心素养.
2.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件,发展数学抽象的核心素养.
知识探究
知识点1 复数的概念
(1)虚数单位的引入.
为了使方程x2=-1有解,人们引入一个新数i,叫作虚数单位,并规定:
①它的平方等于-1,即i2=-1;
②实数与它进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立.
(2)复数的有关概念.
①复数的定义:形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z表示.
②复数集:全体复数构成的集合称为复数集,记作C.
③复数的代数形式:z=a+bi(a,b∈R),其中a称为复数z的实部,记作Re z,b称为复数z的虚部,记作Im z.
[思考1] 方程x2+2=0,x∈C的解集是什么
提示:{-i,i}.
[思考2] 复数m+ni的实部、虚部一定是m,n吗 请简要说明.
提示:不一定.只有当m∈R,n∈R时,m,n才是该复数的实部、虚部.
[思考3] 对于复数z=a+bi(a,b∈R),它的虚部是b还是bi
提示:虚部是b.
知识点2 复数的分类
(1)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫作虚数;当a=0且b≠0时,叫作纯虚数.
根据复数中a,b的取值不同,复数可以有以下的分类:
(2)集合表示如下图.
知识点3 复数相等
两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚部相等,即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
[思考4] 两个向量没有大小之分,两个复数一定没有大小之分吗 请简要说明.
提示:如果两个复数都是实数,那么这两个复数具有大小关系;但两个复数,如果不全是实数,那么就不能比较大小,只能说相等或不相等.
[思考5] “因为3>2,所以3+i>2+i,3i>2i,i是虚数单位”,你认为这个推理正确吗
提示:不正确.
探究点一 复数概念的理解
[例1] 下列命题正确的是( )
A.若z∈C,则z2≥0
B.复数a+bi的虚部是b
C.复数2i的实部是0
D.设a,b∈R,若复数a2-(2-b)i的实部和虚部分别是4和3,则a+b=4
(1)一个数的平方非负在实数范围内是真命题,在复数范围内是假命题,所以在判定数的性质和结论时,一定要关注在哪个数集上 .
(2)对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意a,b均为实数时,才能确定复数的实部、虚部.
(3)复数a+bi(a,b∈R)的虚部是实数b而非bi.
[针对训练] (多选题)下列说法正确的是( )
A.复数0的实部和虚部均为0
B.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数
C.-(2-i)的虚部是
D.方程x2+4=0的解是x=2i
探究点二 复数的分类
[例2] 已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R).
(1)若复数z为实数,求a的值.
(2)若复数z为虚数,求a的取值范围.
(3)复数z能否为纯虚数 若能,求a的值;若不能,请说明理由.
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义,其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.
[针对训练] 已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i,试求实数m分别取什么值时,z为下列数.
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
探究点三 复数相等
[例3] 求满足下列条件的实数x,y的值.
(1)(x-3y)+(2x+3y)i=5+i;
(2)2x2-5x+3+(y2+y-6)i=0.
(1)复数z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,则z1=z2 a=c且b=d.
(2)复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:
①等式两边整理为a+bi(a,b∈R)的形式;
②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;
③解方程组,求出相应的参数.
[针对训练] 若a,b∈R,i是虚数单位,a+2 023i=2-bi,则a2+bi等于 .
学海拾贝
含有复数的不等式
[典例探究] 使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10(i是虚数单位)成立的实数m为( )
A.1 B.0
C.3 D.m不存在
[应用探究] (1)若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值为 .
(2)求满足条件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i的实数a,b的值.
当堂检测
1.已知复数(x+y)+(2-x)i的实部和虚部分别为3和 4,则实数x和y的值分别是( )
A.2,-4 B.2,5 C.-2,4 D.-2,5
2.已知x,y∈R,若2+yi=x-i(i为虚数单位),则y-x的值为( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.若复数z=(x2-100)+(x-10)i为纯虚数,则实数x的值为( )
A.-10 B.10
C.100 D.-10或10
4.若实数x,y满足x+y+(x-y)i=2,则xy= .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的概念 1,2,7,11
复数相等 3,6,9
复数概念的综合应用 4,5,8,10,12
基础巩固
1.设复数z=3-4i,则z的实部与虚部的和为( )
A.-1 B.1 C.5 D.7
2.若复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则a的值为( )
A.-1 B.1 C.0或1 D.-1或1
3.若-3+ai=b-2i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则等于( )
A.- B. C. D.-
4.(多选题)对于复数a+bi (a,b∈R),下列说法正确的是( )
A.若a=0,则a+bi为纯虚数
B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1
C.若b=0,则a+bi为实数
D.i的平方等于1
5.若复数m-3+(m2-9)i≥0,则实数m的值为 .
6.已知i为虚数单位,a,b∈R,集合A={z|z=a+(2a-1)i},B={z|z=b-2+bi},则A∩B= .
7.一个实部与虚部的平方和为10的虚数是 .(写出一个即可)
能力提升
8.设m∈R,则“m=-1”是“复数z=(m2-2m-3)+(m-1)i为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设m∈R,i为虚数单位.若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,则m= .
10.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,则a的取值集合为 .
11.已知复数z=(2m2-7m+3)+(m2-m-6)i(m∈R),根据下列条件求实数m的取值范围.
(1)若z∈R;(2)z是纯虚数;(3)Re z>Im z+2.
应用创新
12.若复数z=(cos θ-)+(sin θ-)i是纯虚数(i为虚数单位),则tan(θ-)的值为( )
A.7 B.-
C.-7 D.-7或-
