1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解复数的几何意义,会用复平面内的点与向量表示复数,提升数学抽象与直观想象的核心素养.
2.理解复数的模的概念及几何意义,会求复数的模,发展数学抽象与数学运算的核心素养.
3.理解共轭复数的概念及意义.
知识探究
问题:实数与数轴上的点是一一对应的,复数z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)有什么对应关系
提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R),都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.
知识点1 复数与复平面内的点的对应关系
(1)复平面.
①定义:通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.
②实轴:在复平面内,x轴称为实轴,实轴上的点都表示实数.
③虚轴:在复平面内,y轴称为虚轴,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
④原点:复平面内的原点(0,0)表示复数0.
(2)复数与复平面内的点的对应关系.
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,即复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b).
[思考1] 虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗
提示:不是.
[做一做1] 已知复数z=-i,在复平面内的对应点Z的坐标为( A )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(0,0) D.(-1,-1)
解析:复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故在复平面内的对应点Z的坐标为(0,-1).
故选A.
知识点2 复数与复平面内的向量的对应关系
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量=(a,b)是一一对应的,即复数z=a+bi 平面向量.
[思考2] 复数与平面向量建立一一对应关系的前提条件是什么
提示:向量的起点是原点.若起点不是原点,则复数与向量就不能建立一一对应关系.
[做一做2] 向量a=(1,-2)所对应的复数是( B )
A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-2+i
解析:因为复数与向量一一对应,所以向量a=(1,-2)的复数形式为z=1-2i.故选B.
知识点3 复数的模、共轭复数
(1)复数的模.
向量的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|=.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模|z|===|a|(a的绝对值).
(2)共轭复数.
①定义:若两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.
②表示:复数z的共轭复数用表示.当z=a+bi(a,b∈R)时,=a-bi.
③性质:a.在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等.
b.任意一个实数的共轭复数仍是它本身,反之亦然.
[思考3] 复数不一定能比较大小,那么复数的模可以比较大小吗
提示:由于复数的模是非负实数,因此复数的模可以比较大小.
[思考4] 若复数z的模满足|z|=0,则复数z有何特征
提示:z=0.
[思考5] 若复数z满足z=,则复数z有何特征
提示:z∈R.
[做一做3] 已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则|z|= .
解析:因为z=1+2i,
所以|z|==.
答案:
已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d.
探究点一 复数与复平面内的点的对应关系
[例1] 实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(a∈R)的对应点Z满足下列条件
(1)在复平面的第二象限内;
(2)在复平面内的实轴上方.
解:(1)点Z在复平面的第二象限内,
则解得a<-3.
(2)点Z在实轴上方,则
即(a+3)(a-5)>0,
解得a>5或a<-3.
[变式探究] (1)本例中题设条件不变,求复数z在复平面内的对应点Z在实轴上时,实数a的值;
(2)本例中条件不变,如果点Z在直线y=-x-7上,求实数a的值.
解:(1)点Z在实轴上,a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.
故当a=5时,点Z在实轴上.
(2)因为点Z在直线y=-x-7上,
所以a2-2a-15=--7,
即+(a-4)(a+2)=0,
整理得=0,
故a=-2或a=±.
所以当a=-2或a=±时,点Z在直线y=-x-7上.
求解复数与复平面内的点的对应关系的方法
(1)将复数表示为z=a+bi(a,b∈R)的形式后,确定复数的实部与虚部,从而确定复数的对应点的x,y坐标.
(2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
探究点二 复数与复平面内的向量的对应关系
[例2] 已知在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-3+4i,向量对应的复数为2a+i(a∈R).若向量与共线,求a的值.
解:因为向量对应的复数为-3+4i,向量对应的复数为2a+i,
所以=(-3,4),=(2a,1).
因为向量与共线,
所以存在实数k,使=k,
即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
所以所以
即a的值为-.
(1)根据复数与复平面内的向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与复平面内的向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、平面向量之间的转化.
[针对训练] (1)在复平面内,复数z=-+i对应的向量为,复数z+1对应的向量为,那么向量对应的复数是( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
(2)在复平面内,O为原点,已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别是A,B,C.若=x+y(x,y∈R),则x+y= .
解析:(1)由题意得A(-,),B(,),=(1,0),则对应的复数为1.故选A.
(2)由A(-1,2),B(1,-1),C(3,-2),
得=(-1,2),=(1,-1),=(3,-2),
得(3,-2)=(-x,2x)+(y,-y)=(-x+y,2x-y),
所以所以
所以x+y=5.
答案:(1)A (2)5
探究点三 复数的模、共轭复数
[例3] 已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|;
(2)设z∈C,且z在复平面内对应的点为Z,则满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形 作图并计算其面积.
解:(1)由题意可得,|z1|==2,
|z2|==1.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点Z到原点的距离,
所以|z|≥1表示|z|=1所表示的圆及其外部所有点组成的集合,
|z|≤2表示|z|=2所表示的圆及其内部所有点组成的集合,
故符合题设条件的点Z的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含边界),如图所示.
圆环的面积为π×22-π×12=3π.
(1)两个复数不全为实数时,不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小.
(2)复数的模的几何意义是复数在复平面内的对应点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.
[针对训练] 已知复数z=3+ai(a∈R)的共轭复数是,若||<5,则实数a的取值范围为 .
解析:因为|z|=||,且z=3+ai(a∈R),所以||=,由已知得<5,因此a2<16,所以a∈(-4,4).
答案:(-4,4)
当堂检测
1.设复数z=-1+i(i为虚数单位),则在复平面内z的对应点位于( B )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:复数z=-1+i在复平面内的对应点的坐标为(-1,1),即在复平面内z的对应点位于第二象限.故选B.
2.(多选题)已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值可以为( AC )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:依题意可得=2,解得m=1或3.故选AC.
3.复数=1+i和z=1-i在复平面内的对应点关于( A )
A.实轴对称
B.第一、第三象限的角平分线对称
C.虚轴对称
D.第二、第四象限的角平分线对称
解析:因为复数=1+i在复平面内的对应点为Z1(1,),复数z=1-i在复平面内的对应点为Z2(1,-),所以点Z1与Z2关于实轴对称.故选A.
4.已知O为复平面中的坐标原点,向量=(-1,2),则点M对应的复数为( B )
A.1+2i B.-1+2i
C.2-i D.2+i
解析:因为O为复平面中的坐标原点,向量=(-1,2),则点M对应的复数为-1+2i.故选B.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的几何意义与向量 2,3,5,6,9
复数的模、共轭复数 4
复数几何意义的综合 1,7,8,10,11
基础巩固
1.(多选题)若复数z=i-2,则下列结论正确的是( BCD )
A.z的虚部是-2
B.z的共轭复数是-i-2
C.z的模是
D.z在复平面内的对应点为(-2,1)
解析:因为z=i-2=-2+i,所以z的虚部是1,
共轭复数是-i-2,|z|==,
在复平面内的对应点为(-2,1).故选BCD.
2.已知复数z=1+m-mi(m∈R),且z在复平面内的对应点在第二象限,则实数m的值可以为( B )
A.2 B.-2 C.-1 D.0
解析:当z在复平面内的对应点在第二象限时,有可得m<-1,结合选项可知,B正确.故选B.
3.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内的对应点的轨迹是( A )
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
解析:由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,
即|z|=3或|z|=-1.
因为|z|≥0,所以|z|=3,
所以复数z在复平面内的对应点的轨迹是1个圆.故选A.
4.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是( A )
A.{x|-C.{x|x>-} D.{-,2}
解析:由题意,|z|==<,即5x2-6x-8<0,解得-5.已知复数z=-3+ai(a∈R)对应的点到原点的距离是a+1,则实数a= .
解析:复数z=-3+ai(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(-3,a),
所以=a+1,即a2+9=(a+1)2,解得a=4.
答案:4
6.若复数z满足|z|=5,且z在复平面内对应的点位于第四象限,写出一个符合条件的复数z= .
解析:设z=a+bi,a,b∈R,因为|z|=5,所以a2+b2=25,
因为z在复平面内对应的点位于第四象限,所以z可以为3-4i.
答案:3-4i(不唯一,符合题意即可)
能力提升
7.复数z=a+(3-a)i(a∈R,i为虚数单位)在复平面内的对应点在直线y=2x上,则|z|等于( B )
A. B. C. D.
解析:复数z=a+(3-a)i在复平面内的对应点的坐标为(a,3-a),
因为点(a,3-a)在直线y=2x上,所以3-a=2a,解得a=1,所以z=1+2i,
所以|z|==.故选B.
8.(多选题)设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位,则下列说法正确的是( BD )
A.若|z|=1,则z=±1或z=±i
B.若点Z的坐标为(-1,1),则对应的点在第三象限
C.若z=-2i,则z的模为7
D.若1≤|z|≤,则点Z的集合所构成的图形的面积为π
解析:对A,由|z|=1,可得z=a+bi(a,b∈R),且a2+b2=1,故A错误;
对B,若点Z的坐标为(-1,1),则z=-1+i,=-1-i,故对应的点的坐标为(-1,-1),在第三象限,故B正确;
对C,若z=-2i,则z的模为=,故C错误;
对D,设z=c+di(c,d∈R),若1≤|z|≤,则1≤c2+d2≤2,
则点Z的集合所构成的图形的面积为π×()2-π×12=π,故D正确.故选BD.
9.已知复数1+i与3i在复平面内用向量 和 表示(其中i是虚数单位,O为坐标原点),则 与 的夹角为 .
解析:根据题意,=(1,1),=(0,3),
设 ,的夹角为θ,
所以cos θ===.又0≤θ≤π,
所以向量 与 的夹角为.
答案:
10.已知复数z=(m+1)+(2m-1)i(m∈R).
(1)若z为纯虚数,求实数m的值;
(2)若z在复平面内的对应点位于第四象限,求实数m的取值范围及|z|的最小值.
解:(1)因为z=(m+1)+(2m-1)i(m∈R)为纯虚数,所以m+1=0且2m-1≠0,所以m=-1.
(2)因为z在复平面内的对应点为(m+1,2m-1),由题意得所以-1即实数m的取值范围是(-1,).
而|z|===,
当m=∈(-1,)时,|z|min==.
应用创新
11.设复数z=a+bi(a∈Z,b∈Z),则满足|z-1|≤1的复数z有( B )
A.7个 B.5个
C.4个 D.3个
解析:由题意得≤1,
即(a-1)2+b2≤1,又a∈Z,b∈Z,
得b=±1或0.
当b=±1时,a=1,
当b=0时,a=0,1,2.
故选B.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解复数的几何意义,会用复平面内的点与向量表示复数,提升数学抽象与直观想象的核心素养.
2.理解复数的模的概念及几何意义,会求复数的模,发展数学抽象与数学运算的核心素养.
3.理解共轭复数的概念及意义.
知识探究
问题:实数与数轴上的点是一一对应的,复数z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)有什么对应关系
提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R),都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.
知识点1 复数与复平面内的点的对应关系
(1)复平面.
①定义:通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.
②实轴:在复平面内,x轴称为实轴,实轴上的点都表示实数.
③虚轴:在复平面内,y轴称为虚轴,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
④原点:复平面内的原点(0,0)表示复数0.
(2)复数与复平面内的点的对应关系.
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,即复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b).
[思考1] 虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗
提示:不是.
[做一做1] 已知复数z=-i,在复平面内的对应点Z的坐标为( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(0,0) D.(-1,-1)
知识点2 复数与复平面内的向量的对应关系
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量=(a,b)是一一对应的,即复数z=a+bi 平面向量.
[思考2] 复数与平面向量建立一一对应关系的前提条件是什么
提示:向量的起点是原点.若起点不是原点,则复数与向量就不能建立一一对应关系.
[做一做2] 向量a=(1,-2)所对应的复数是( )
A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-2+i
知识点3 复数的模、共轭复数
(1)复数的模.
向量的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|=.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模|z|===|a|(a的绝对值).
(2)共轭复数.
①定义:若两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.
②表示:复数z的共轭复数用表示.当z=a+bi(a,b∈R)时,=a-bi.
③性质:a.在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等.
b.任意一个实数的共轭复数仍是它本身,反之亦然.
[思考3] 复数不一定能比较大小,那么复数的模可以比较大小吗
提示:由于复数的模是非负实数,因此复数的模可以比较大小.
[思考4] 若复数z的模满足|z|=0,则复数z有何特征
提示:z=0.
[思考5] 若复数z满足z=,则复数z有何特征
提示:z∈R.
[做一做3] 已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则|z|= .
已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d.
探究点一 复数与复平面内的点的对应关系
[例1] 实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(a∈R)的对应点Z满足下列条件
(1)在复平面的第二象限内;
(2)在复平面内的实轴上方.
[变式探究] (1)本例中题设条件不变,求复数z在复平面内的对应点Z在实轴上时,实数a的值;
(2)本例中条件不变,如果点Z在直线y=-x-7上,求实数a的值.
求解复数与复平面内的点的对应关系的方法
(1)将复数表示为z=a+bi(a,b∈R)的形式后,确定复数的实部与虚部,从而确定复数的对应点的x,y坐标.
(2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
探究点二 复数与复平面内的向量的对应关系
[例2] 已知在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-3+4i,向量对应的复数为2a+i(a∈R).若向量与共线,求a的值.
(1)根据复数与复平面内的向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与复平面内的向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、平面向量之间的转化.
[针对训练] (1)在复平面内,复数z=-+i对应的向量为,复数z+1对应的向量为,那么向量对应的复数是( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
(2)在复平面内,O为原点,已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别是A,B,C.若=x+y(x,y∈R),则x+y= .
探究点三 复数的模、共轭复数
[例3] 已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|;
(2)设z∈C,且z在复平面内对应的点为Z,则满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形 作图并计算其面积.
(1)两个复数不全为实数时,不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小.
(2)复数的模的几何意义是复数在复平面内的对应点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.
[针对训练] 已知复数z=3+ai(a∈R)的共轭复数是,若||<5,则实数a的取值范围为 .
当堂检测
1.设复数z=-1+i(i为虚数单位),则在复平面内z的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(多选题)已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.复数=1+i和z=1-i在复平面内的对应点关于( )
A.实轴对称
B.第一、第三象限的角平分线对称
C.虚轴对称
D.第二、第四象限的角平分线对称
4.已知O为复平面中的坐标原点,向量=(-1,2),则点M对应的复数为( )
A.1+2i B.-1+2i
C.2-i D.2+i
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的几何意义与向量 2,3,5,6,9
复数的模、共轭复数 4
复数几何意义的综合 1,7,8,10,11
基础巩固
1.(多选题)若复数z=i-2,则下列结论正确的是( )
A.z的虚部是-2
B.z的共轭复数是-i-2
C.z的模是
D.z在复平面内的对应点为(-2,1)
2.已知复数z=1+m-mi(m∈R),且z在复平面内的对应点在第二象限,则实数m的值可以为( )
A.2 B.-2 C.-1 D.0
3.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内的对应点的轨迹是( )
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
4.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是( )
A.{x|-C.{x|x>-} D.{-,2}
5.已知复数z=-3+ai(a∈R)对应的点到原点的距离是a+1,则实数a= .
6.若复数z满足|z|=5,且z在复平面内对应的点位于第四象限,写出一个符合条件的复数z= .
能力提升
7.复数z=a+(3-a)i(a∈R,i为虚数单位)在复平面内的对应点在直线y=2x上,则|z|等于( )
A. B. C. D.
8.(多选题)设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位,则下列说法正确的是( )
A.若|z|=1,则z=±1或z=±i
B.若点Z的坐标为(-1,1),则对应的点在第三象限
C.若z=-2i,则z的模为7
D.若1≤|z|≤,则点Z的集合所构成的图形的面积为π
9.已知复数1+i与3i在复平面内用向量 和 表示(其中i是虚数单位,O为坐标原点),则 与 的夹角为 .
10.已知复数z=(m+1)+(2m-1)i(m∈R).
(1)若z为纯虚数,求实数m的值;
(2)若z在复平面内的对应点位于第四象限,求实数m的取值范围及|z|的最小值.
应用创新
11.设复数z=a+bi(a∈Z,b∈Z),则满足|z-1|≤1的复数z有( )
A.7个 B.5个
C.4个 D.3个
