§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
学习目标
1.掌握复数的加减法运算法则,能熟练地进行复数的加减运算,提升数学运算的核心素养.
2.理解复数加减法运算的几何意义,能解决相关的问题,提升直观想象与数学运算的核心素养.
知识探究
问题1:我们知道,数系的每一次扩充之后,原有的数学运算法则仍然是成立的,那么将实数扩充到复数后,原有的实数的加减法运算法则还成立吗
提示:成立.
知识点1 复数的加法与减法
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
(2)加法运算律.
对于任意z1,z2,z3∈C,有:
结合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
交换律 z1+z2=z2+z1
[思考1] 复数的加减法运算法则可以推广到多个复数的加减法运算中吗
提示:可以.
[做一做] 已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于( B )
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
解析:根据复数的加法法则得z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.故选B.
问题2:已知向量=(a,b),=(c,d),求+,-.
提示:(a+c,b+d),(a-c,b-d).
知识点2 复数加减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义.
如图,设复数z1,z2分别与向量,对应,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是.
(2)复数减法的几何意义.
如图,设向量,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应,且,不共线,则这两个复数的差z1-z2与向量-(即)对应.
[思考2] 已知复数z1=a+bi(a,b∈R)和z2=c+di(c,d∈R)在复平面内的对应点分别是Z1,Z2,则线段Z1Z2的中点对应的复数是什么
提示:+i.
[思考3] 你能利用复数的几何意义与复数的减法运算法则,求平面上两点间的距离公式吗
提示:设复数z1,z2分别对应复平面内的两个点A(a,b),B(c,d)
(a,b,c,d∈R),
则z1=a+bi,z2=c+di,由于z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,
因此|z1-z2|=,根据复数的几何意义可知=-(O为原点),即|BA|=|AB|=.
在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则:
(1)四边形OACB为平行四边形.
(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形.
(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形.
(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
(5)+=2(+).
探究点一 复数的加法与减法
[例1] 计算下列各式.
(1)(-i)+(-+i)+1;
(2)(--)-(-)+i;
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i).
解:(1)原式=(-)+(-+)i+1=1-i.
(2)原式=(-+)+(--+1)i=+i.
(3)原式=(5-2-3)+[-6+(-2)-3]i=-11i.
(1)类比实数运算,若有括号,先计算括号内的;若没有括号,可从左到右依次进行.
(2)算式中出现字母,首先要确定其是不是实数,再确定复数的实部和虚部,最后把实部、虚部分别相加.
[针对训练] (1)已知a,b∈R,(a+3i)+(-1+bi)=0,则( )
A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3
(2)复数z1=a+3i,z2=-4+bi,a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b等于( )
A.-7 B.7 C.-1 D.1
解析:(1)由(a+3i)+(-1+bi)=(a-1)+(3+b)i=0,得解得故选A.
(2)因为z1+z2=a-4+(3+b)i为实数,所以3+b=0,即b=-3,
又z1-z2=a+4+(3-b)i为纯虚数,所以即a=-4且b≠3,
综上可知所以a+b=-7.故选A.
探究点二 复数加减法的几何意义
[例2] 复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
解:设复数z1,z2,z3在复平面内的对应点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),如图,
则=-,对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,=-,
对应的复数为(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.
因为=,所以(x-1)+(y-2)i=1-3i,
所以解得
故点D对应的复数为2-i.
[变式探究] 若本例题条件不变,利用复数的几何意义求正方形的边长及对角线的长.
解:由题意可知,正方形的边长为|AB|=||=|-|=|z2-z1|.因为z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i,所以|AB|==.
依题意,正方形的一条对角线为AC,结合=-,对应的复数为z3-z1=(-1-2i)-(1+2i)=-2-4i,因此正方形的对角线的长为|AC|=||==2.
求解与复数对应的点的坐标或向量问题的方法
由于复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义,因此求解与复数对应的点的坐标或向量问题时可以根据题意正确地画出图形,然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解.
探究点三 复数加减法的综合应用
[例3] 设复数z满足z-=-2i,|z|=,复数z所对应的点位于第四象限,则z等于( )
A.1-2i B.1-i
C.-1-i D.2-i
解析:设复数z=a+bi(a,b∈R),因为z-=(a+bi)-(a-bi)=2bi=-2i,
所以b=-1,又|z|==,解得a=±1,
因为复数z所对应的点位于第四象限,所以a=1,所以z=1-i.故选B.
求解复数方程的方法
若已知关系式中含有关于z,以及|z|,||的等式,求复数z时主要是设出z=a+bi(a,b∈R),利用复数的加减法运算法则及复数相等的充要条件转化为实数方程(组)求解.
[针对训练] (2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
解析:由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,
所以解得故选A.
当堂检测
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于( A )
A.-1+i B.1-i C.i D.-i
解析:(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故选A.
2.设z1=3-4i,z2=-2+5i,则z1+z2在复平面内的对应点位于( A )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为z1=3-4i,z2=-2+5i,所以z1+z2=3-4i-2+5i=1+i,故z1+z2在复平面内的对应点位于第一象限.故选A.
3.已知复数z在复平面内的对应点的坐标为(2,-1),则|z-i|等于( C )
A. B.2 C.2 D.8
解析:由已知得z=2-i,所以|z-i|=|2-2i|==2.故选C.
4.已知复数z满足|z|=1,则|z-2i|的取值范围为 .
解析:|z|=1表示z在复平面内的对应点是以原点为圆心的单位圆上的点.|z-2i|的几何意义表示单位圆上的点和点(0,2)之间的距离,所以最小距离为2-1=1,最大距离为2+1=3.所以|z-2i|的取值范围为[1,3].
答案:[1,3]
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
复数加减法的运算法则 1,4,5,7
复数加减法的几何意义 2,6,8,13,15
复数加减法的综合应用 3,9,10,11,12,14
基础巩固
1.已知复数z=2-i,则|2z-|等于( D )
A. B. C.2 D.
解析:因为=2+i,
所以2z-=(4-2i)-(2+i)=2-3i,
所以|2z-|==.故选D.
2.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2在复平面内的对应点在实轴上,则a的值为( D )
A.3 B.2 C.1 D.-1
解析:z1+z2=2+i+3+ai=5+(1+a)i.
因为z1+z2在复平面内的对应点在实轴上,
所以1+a=0,所以a=-1.故选D.
3.设3(z+)+2(z-)=3-4i,则复数z在复平面内的对应点位于( D )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以3(z+)+2(z-)=6a+4bi=3-4i,故a=,b=-1,则z=-i,因此复数z在复平面内的对应点位于第四象限.故选D.
4.已知复数z=a+bi(a,b∈R),i是虚数单位,若z-2=2+3i,则复数z的虚部为( A )
A. B.2 C.i D.2i
解析:z-2=a+bi-2(a-bi)=-a+3bi=2+3i,
则解得则复数z的虚部为.故选A.
5.(多选题)已知复数z满足z+4-i=8+i,则下列命题是真命题的是( AD )
A.的虚部为-2
B.z-2为纯虚数
C.若z与复数a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,则a=1
D.z在复平面内对应的点位于第一象限
解析:因为z+4-i=8+i,所以z=8+i-(4-i)=4+2i,所以=4-2i,则的虚部为-2,故A正确;
又z-2=2+2i,所以z-2不是纯虚数,故B错误;
若z与复数a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,则
解得a=-4,故C错误;
复数z在复平面内对应的点为(4,2),位于第一象限,故D正确.
故选AD.
6.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则z1+z2= .
解析:由题意可知,z1=i,z2=2-i,所以z1+z2=i+(2-i)=2.
答案:2
7.设f(z)=z-3i+|z|,若z1=-2+4i,z2=5-i,则f(z1+z2)= .
解析:z1+z2=3+3i,f(z1+z2)=f(3+3i)=3+|3+3i|=3+3.
答案:3+3
8.已知四边形OACB是复平面内的平行四边形,O是原点,点A,B分别表示复数3+i,2+4i,M是OC与AB的交点,如图所示,则点M表示的复数为 .
解析:因为,分别表示复数3+i,2+4i,所以=+表示的复数为(3+i)+(2+4i)=5+5i,即点C表示的复数为5+5i,又=,所以表示的复数为+i,即点M表示的复数为+i.
答案:+i
能力提升
9.(多选题)若z-=-14i,||=5,则复数z可能为( AC )
A.1-7i B.1+7i
C.-1-7i D.-1+7i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由题意可得
解得或
所以z=1-7i或-1-7i.故选AC.
10.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是( CD )
A.若复数z满足|z-i|=,则复数z在复平面内的对应点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i
C.复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模
D.非零复数z1对应的向量为,非零复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则⊥
解析:A中复数z在复平面内的对应点在以(0,1)为圆心,为半径的圆上,A错误;
设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=.
由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,
即解得
所以z=-15+8i,B错误;C正确;
由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选CD.
11.若复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z= .
解析:z=a+bi,z-2i=a+(b-2)i.
由|z-2i|=|z|知,=,化简得b=1,
故只要b=1,即z=a+i(a可为任意实数)满足题意,可取z=1+i.
答案:1+i(答案不唯一)
12.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.
解:z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]
=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以解得y=0,x=1,
所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,
所以|z1+z2|==.
13.根据复数加法的几何意义,证明:||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
证明:设复数z1所对应的向量是,复数z2所对应的向量是,
若复数z1,z2有一个为0,或者均为0,不等式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|显然成立;
若向量,不是零向量且共线时,显然||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|成立,
不等式左侧在两向量共线反向时等号成立,不等式右侧在两向量共线同向时等号成立;
若向量,不是零向量且不共线时,如图,
由三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可得||z1|-|z2||<|z1+z2|<|z1|+|z2|成立.
综上,||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
14.已知m∈R,复数z1=(m2+m)+(m2-1)i,z2=2m+i.
(1)若z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,求m的取值范围;
(2)设O为坐标原点,z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B(不与O重合),若·=0,求|z1-|.
解:(1)依题意,z1-z2=(m2-m)+(m2-2)i,且z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,则解得0(2)依题意,=(m2+m,m2-1),=(2m,1),
由·=0,得2m(m2+m)+m2-1=(m+1)2·(2m-1)=0,解得m=或m=-1.
而m=-1时,A(0,0)为原点,不符合题意,因此m=,z1=-i,z2=1+i,=1-i,
所以|z1-|=|-+i|=.
应用创新
15.欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系,则|eiθ-3|的最小值等于( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:根据题意,eiθ-3=cos θ-3+isin θ,
故|eiθ-3|==.
又cos θ∈[-1,1],故∈[2,4],故|eiθ-3|的最小值为2.故选C.§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
学习目标
1.掌握复数的加减法运算法则,能熟练地进行复数的加减运算,提升数学运算的核心素养.
2.理解复数加减法运算的几何意义,能解决相关的问题,提升直观想象与数学运算的核心素养.
知识探究
问题1:我们知道,数系的每一次扩充之后,原有的数学运算法则仍然是成立的,那么将实数扩充到复数后,原有的实数的加减法运算法则还成立吗
提示:成立.
知识点1 复数的加法与减法
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
(2)加法运算律.
对于任意z1,z2,z3∈C,有:
结合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
交换律 z1+z2=z2+z1
[思考1] 复数的加减法运算法则可以推广到多个复数的加减法运算中吗
提示:可以.
[做一做] 已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于( )
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
问题2:已知向量=(a,b),=(c,d),求+,-.
提示:(a+c,b+d),(a-c,b-d).
知识点2 复数加减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义.
如图,设复数z1,z2分别与向量,对应,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是.
(2)复数减法的几何意义.
如图,设向量,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应,且,不共线,则这两个复数的差z1-z2与向量-(即)对应.
[思考2] 已知复数z1=a+bi(a,b∈R)和z2=c+di(c,d∈R)在复平面内的对应点分别是Z1,Z2,则线段Z1Z2的中点对应的复数是什么
提示:+i.
[思考3] 你能利用复数的几何意义与复数的减法运算法则,求平面上两点间的距离公式吗
提示:设复数z1,z2分别对应复平面内的两个点A(a,b),B(c,d)
(a,b,c,d∈R),
则z1=a+bi,z2=c+di,由于z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,
因此|z1-z2|=,根据复数的几何意义可知=-(O为原点),即|BA|=|AB|=.
在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则:
(1)四边形OACB为平行四边形.
(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形.
(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形.
(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
(5)+=2(+).
探究点一 复数的加法与减法
[例1] 计算下列各式.
(1)(-i)+(-+i)+1;
(2)(--)-(-)+i;
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i).
(1)类比实数运算,若有括号,先计算括号内的;若没有括号,可从左到右依次进行.
(2)算式中出现字母,首先要确定其是不是实数,再确定复数的实部和虚部,最后把实部、虚部分别相加.
[针对训练] (1)已知a,b∈R,(a+3i)+(-1+bi)=0,则( )
A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3
(2)复数z1=a+3i,z2=-4+bi,a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b等于( )
A.-7 B.7 C.-1 D.1
探究点二 复数加减法的几何意义
[例2] 复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
[变式探究] 若本例题条件不变,利用复数的几何意义求正方形的边长及对角线的长.
求解与复数对应的点的坐标或向量问题的方法
由于复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义,因此求解与复数对应的点的坐标或向量问题时可以根据题意正确地画出图形,然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解.
探究点三 复数加减法的综合应用
[例3] 设复数z满足z-=-2i,|z|=,复数z所对应的点位于第四象限,则z等于( )
A.1-2i B.1-i
C.-1-i D.2-i
求解复数方程的方法
若已知关系式中含有关于z,以及|z|,||的等式,求复数z时主要是设出z=a+bi(a,b∈R),利用复数的加减法运算法则及复数相等的充要条件转化为实数方程(组)求解.
[针对训练] (2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
当堂检测
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于( )
A.-1+i B.1-i C.i D.-i
2.设z1=3-4i,z2=-2+5i,则z1+z2在复平面内的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知复数z在复平面内的对应点的坐标为(2,-1),则|z-i|等于( )
A. B.2 C.2 D.8
4.已知复数z满足|z|=1,则|z-2i|的取值范围为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
复数加减法的运算法则 1,4,5,7
复数加减法的几何意义 2,6,8,13,15
复数加减法的综合应用 3,9,10,11,12,14
基础巩固
1.已知复数z=2-i,则|2z-|等于( )
A. B. C.2 D.
2.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2在复平面内的对应点在实轴上,则a的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
3.设3(z+)+2(z-)=3-4i,则复数z在复平面内的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知复数z=a+bi(a,b∈R),i是虚数单位,若z-2=2+3i,则复数z的虚部为( )
A. B.2 C.i D.2i
5.(多选题)已知复数z满足z+4-i=8+i,则下列命题是真命题的是( )
A.的虚部为-2
B.z-2为纯虚数
C.若z与复数a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,则a=1
D.z在复平面内对应的点位于第一象限
6.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则z1+z2= .
7.设f(z)=z-3i+|z|,若z1=-2+4i,z2=5-i,则f(z1+z2)= .
8.已知四边形OACB是复平面内的平行四边形,O是原点,点A,B分别表示复数3+i,2+4i,M是OC与AB的交点,如图所示,则点M表示的复数为 .
能力提升
9.(多选题)若z-=-14i,||=5,则复数z可能为( )
A.1-7i B.1+7i
C.-1-7i D.-1+7i
10.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是( )
A.若复数z满足|z-i|=,则复数z在复平面内的对应点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i
C.复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模
D.非零复数z1对应的向量为,非零复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则⊥
11.若复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z= .
12.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.
13.根据复数加法的几何意义,证明:||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
14.已知m∈R,复数z1=(m2+m)+(m2-1)i,z2=2m+i.
(1)若z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,求m的取值范围;
(2)设O为坐标原点,z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B(不与O重合),若·=0,求|z1-|.
应用创新
15.欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系,则|eiθ-3|的最小值等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
