2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
学习目标
1.掌握复数的乘除运算法则,会进行复数的乘除运算,发展数学运算的核心素养.
2.掌握虚数单位i的幂值的周期性,并能应用周期性进行化简与计算,增强数学运算的核心素养.
3.掌握共轭复数的运算性质,提升数学运算的核心素养.
4.了解复数乘法的几何意义,提升直观想象的核心素养.
知识探究
知识点1 复数的乘法
(1)复数的乘法法则.
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)复数的乘法运算律.
对于任意z1,z2,z3∈C,有:
结合律 (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)
交换律 z1·z2=z2·z1
乘法对加法 的分配律 z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(3)复数的乘方.
对于复数z,定义它的乘方zn=.
n个
(4)复数乘方的运算律.
根据乘法的运算律,实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立,即对复数z,z1,z2和正整数m,n,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn ,
(z1·z2)n=·.
[思考1] 复数的乘法法则可以推广到多个复数相乘吗
提示:可以.
[思考2] 若m,n∈R,则m2+n2=0 m=n=0.当z1,z2∈C,+=0时,z1=z2=0成立吗 请简要说明.
提示:不一定成立,但是当z1=z2=0时,一定有+=0.
[思考3] 若复数z=a+bi,则=a-bi(a,b∈R),那么z·的值与|z|有什么关系
提示:由复数z=a+bi及=a-bi(a,b∈R)可知,z·=(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2,因此 z·=|z|2=.
[做一做1] 复数(3+2i)i等于( B )
A.-2-3i B.-2+3i
C.2-3i D.2+3i
解析:(3+2i)i=3i+2i·i=-2+3i.故选B.
知识点2 复数的除法
复数的除法法则.
设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c+di≠0,c,d∈R),==-i.
[做一做2] 已知i是虚数单位,则等于( D )
A.1-2i B.2-i
C.2+i D.1+2i
解析:===1+2i.故选D.
知识点3 复数乘法几何意义初探
设复数z1=a+bi(a,b∈R)所对应的向量为.
若z2=(a+bi)·c(c>0)所对应的向量为,则 是与c的数乘,即是将沿原方向伸长(c>1)或压缩(0z3=(a+bi)·i所对应的向量为,则是将逆时针旋转得
到的.
[做一做3] 将复数z1=2+i所对应的向量绕原点O逆时针旋转后得到,设所对应的复数为z2,则等于( D )
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
解析:因为z2=z1·i=(2+i)i=2i-1=-1+2i,所以=-1-2i.故选D.
(1)复数的除法与实数的除法有所不同,对于实数的除法,可以直接约分化简,得出结论;但是对于复数的除法,因为分母为复数,一般不能直接约分化简.
(2)复数除法实质上就是分母实数化的过程.
(3)复数的除法法则形式复杂,难于记忆,所以有关复数的除法运算,只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”,然后结果再写成a+bi(a,b∈R)的形式即可.
探究点一 复数的乘法、除法运算
角度1 复数的乘法运算
[例1] 计算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)(-+i)(+i).
解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.
(2)(-+i)(+i)=(--)+(-)i=-+i.
(1)复数乘法的运算步骤
首先按多项式的乘法展开,再将i2换成-1,然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式.
(2)常用公式
①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
[针对训练] (1)(2+i)2等于( )
A.5-4i B.5+4i
C.3-4i D.3+4i
(2)已知复数z=(1-2i)·(4-3i),则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:(1)(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.故选D.
(2)z=(1-2i)(4-3i)=-2-11i,复数z在复平面内对应的点为(-2,-11),
所以复数z在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.
角度2 复数的除法运算
[例2] 计算:(1);(2)-.
解:(1)原式===+i.
(2)法一 -
=
===2i.
法二 -=-=i+i=2i.
(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)常用公式:①=-i;②=i;③=-i.
[针对训练] (1)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z- 等于( )
A.-i B.i C.0 D.1
解析:(1)由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i,
所以==-1+2i,对应的点在第二象限.故选B.
(2)因为z====-i,所以=i,即z-=-i.故选A.
角度3 复数的积或商的模
[例3] 若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|等于( )
A.1 B.2 C. D.
解析:法一 因为z(1+i)=2i,所以z===1+i,
所以|z|==.故选C.
法二 因为z(1+i)=2i,所以|z(1+i)|=|2i|.
因为|z||1+i|=|z|×=|z|,|2i|=2,所以 |z|=2,所以|z|=.故选C.
求解复数的积或商的模的方法有两种:一是直接计算出复数的积或商后,根据积或商的实部与虚部直接利用模的公式计算;二是利用复数的模的运算性质.
(1)两个或多个复数积的模等于构成积的各个复数的模的积,即|z1z2·…·zn|=|z1||z2|·…·|zn|.
(2)两个复数的商的模等于模的商,即||=(z2≠0).
(3)|z|2==|z2|=||=z·.
[针对训练] (1)已知z=i(1-2i),则|z|等于( )
A. B.3 C. D.5
(2)记i是虚数单位,复数z满足z=,则||等于( )
A.2 B. C. D.1
解析:(1)由题意z=i(1-2i)=2+i,|z|==.故选C.
(2)z=====i,
故=-i,故||=1.故选D.
角度4 复数的商与复数有关概念的综合
[例4] 设a∈R,复数(i为虚数单位)是纯虚数,则a的值为 .
解析:法一 因为==为纯虚数,
所以解得a=-6.
法二 因为复数(i为虚数单位)是纯虚数,
则设=ti(t∈R,t≠0),
因此a+3i=ti+2ti2=ti-2t.由复数相等的定义可知
所以a=-6.
答案:-6
[变式探究] 若将本例题中的纯虚数改为实数,则a的值为 .
解析:法一 因为==为实数,
所以3-2a=0,即a=.
法二 因为(i为虚数单位)为实数,
则设=t(t∈R),
即a+3i=t+2ti,由复数相等的定义可知即a=.
答案:
涉及含未知量的复数的商为纯虚数或实数问题,一种方法是利用复数的除法将复数的商化为z=a+bi(a,b∈R)的形式后利用复数的有关概念求解,另一种方法是设出纯虚数或实数将问题转化为复数相等求解.
探究点二 复数乘法的几何意义
[例5] 已知A(2,-1),B(-1,3),四边形ABCD是正方形,且A,B,C,D按顺时针方向排列,求点C,D对应的复数.
解:如图所示,=(-1,3)-(2,-1)=(-3,4),
所以对应的复数为-3+4i.
所以对应的复数为(-3+4i)·(-i)=4+3i.
所以=+=(2,-1)+(4,3)=(6,2),
=+=+=(-1,3)+(4,3)=(3,6),
所以点C对应的复数为3+6i,点D对应的复数为6+2i.
利用复数乘法的几何意义解题时应注意将复数乘法转化为复数对应的向量旋转的角度与模的变化的乘积.
[针对训练] 若复数z0=+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°且模变为原来的2倍后与向量重合,且对应的复数为z,
求z3.
解:由题意得对应的复数为z=z0·2i=(+i)·2i=-1+i,
所以z2=(-1+i)2=1-2i+3i2=
-2-2i,
所以z3=z2·z=(-2-2i)·(-1+i)=-2(1+i)·(-1+i)
=-2×(-4)=8.
学海拾贝
复数范围内一元二次方程的解法
在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法.
(1)求根公式法.
①当Δ≥0时,x=;
②当Δ<0时,x=.
(2)利用复数相等的定义求解.
设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解.
说明:实系数的一元二次方程若有虚根,则两个虚根互为共轭复数.
[典例探究] 已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根.
(1)求实数a,b的值;
(2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并给予证明.
解:(1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0,得(-a+b)+(a-2)i=0,
所以解得a=2,b=2.
(2)由(1)知方程为x2+2x+2=0.设另一个根为x2,由根与系数的关系,得-1+i+x2=-2,所以x2=-1-i.证明如下:
把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0,
则左边=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边,
所以x2=-1-i是方程的另一个根.
已知含参数的实系数一元二次方程的一个虚数根,求参数的值,可以将方程的根代入方程中,利用复数相等的定义求参数的值.另外对于实系数一元二次方程,由其求根公式可知,当方程有一个虚根z=m+ni
(m,n∈R),复数z的共轭复数=m-ni也是方程的一个根,因此对于本题也可以根据此性质直接利用二次方程根与系数的关系(-1+i)+(-1-i)=-a,(-1+i)(-1-i)=b,求得a,b的值.
[应用探究] 已知x=2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
解:因为x=2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根,所以2(2i-3)2+p(2i-3)+q=0,
即(10-3p+q)+(-24+2p)i=0,
所以解得p=12,q=26.
当堂检测
1.若i为虚数单位,则i607等于( B )
A.i B.-i C.1 D.-1
解析:i607=i4×151+3=i3=-i.故选B.
2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( A )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,
则所求复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限.故选A.
3.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+等于( D )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:因为i(1-z)=1,
所以z=1-=1+i,
所以=1-i,
所以z+=(1+i)+(1-i)=2.
故选D.
4.设复数z=-2+i,若复数z+的虚部为b,则b= .
解析:因为z=-2+i,
所以z+=-2+i+
=-2+i+
=-2+i--i
=-+i,
所以b=.
答案:
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的乘法、除法 1,2,3,4,5,6,7,12
复数的运算的综合应用 8,9,10,11,14,15
实系数一元二次方程 13
基础巩固
1.复数z=(1-2i)2(i为虚数单位)的虚部为( D )
A.4i B.4 C.-4i D.-4
解析:z=(1-2i)2=1-4-4i=-3-4i,所以复数z=(1-2i)2的虚部为-4.故选D.
2.复数z满足(1+i)z=6+4i(i为虚数单位),则复数z在复平面内的对应点的坐标是( A )
A.(5,-1) B.(5,-i)
C.(1,-1) D.(1,-i)
解析:因为(1+i)z=6+4i,所以z====5-i,所以复数z在复平面内的对应点的坐标是(5,-1).故选A.
3.(2022·全国甲卷)若z=1+i,则|iz+3|等于( D )
A.4 B.4 C.2 D.2
解析:因为z=1+i,所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=-1+i+3-3i=2-2i,所以|iz+3|=|2-2i|==2.故选D.
4.(1+i)20-(1-i)20的值是( C )
A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512
解析:因为(1+i)2=2i,所以(1+i)4=-4,
又(1-i)2=-2i,所以(1-i)4=-4,
所以(1+i)20-(1-i)20=(-4)5-(-4)5=0.故选C.
5.(多选题)已知复数 z=,其中i为虚数单位,则下列选项正确的是( BCD )
A.|z|=2 B.z2=2i
C.z的共轭复数为1-i D.z的虚部为1
解析:由题意可知,z===1+i.
|z|==,故选项A错误;z2=(1+i)2=1+2i-1=2i,故选项B正确;z的共轭复数为1-i,故选项C正确;z的虚部为1,故选项D正确.故选BCD.
6.若复数z满足z(1+i)=2-i,则z对应的点位于第 象限.
解析:依题意,z====-i,z对应的点位于第四象限.
答案:四
7.已知z是纯虚数,是实数,那么z= .
解析:设z=bi(b∈R,b≠0),
则====+i是实数,所以b+2=0,b=-2,
所以z=-2i.
答案:-2i
8.设复数z1与z2所对应的点为Z1与Z2,若z1=1+i,z2=i·z1,则||=
.
解析:依题意,z2=i·(1+i)=i-1,则z2-z1=i-1-(1+i)=-2,
所以||=|-|=2.
答案:2
能力提升
9.(多选题)已知复数z1,z2,则下列命题正确的是( BC )
A.若|z1|=|z2|,则z1=±z2
B.若z1=,则|z1z2|=|z1|2
C.若z1是非零复数,且=z1z2,则z1=z2
D.若z1是非零复数,则z1+≠0
解析:对于A项,若z1=1+i,z2=i,显然满足|z1|=|z2|,但z1≠±z2,故A项错误;
对于B项,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,z1z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,故|z1z2|=a2+b2而|z1|2=a2+b2,故B项正确;
对于C项,由=z1z2可得,-z1z2=z1(z1-z2)=0,因z1是非零复数,故z1-z2=0,即z1=z2,故C项正确;
对于D项,当z1=i时,z1是非零复数,但z1+=i+=i-i=0,故D项错误.故选BC.
10.(多选题)已知复数z满足(1-i)z=2i(i是虚数单位),则下列关于复数z的结论正确的是( AD )
A.|z|=
B.复数z的共轭复数为=1-i
C.复平面内表示复数z的点位于第三象限
D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根
解析:因为z===-1+i,所以|z|=,=-1-i,复数z在复平面内的对应点位于第二象限,故A正确,B,C错误;将复数z=-1+i代入方程x2+2x+2=0,得(-1+i)2+2(-1+i)+2=1-1-2i-2+2i+2=0,故D正确.故选AD.
11.(多选题)已知复数z,w均不为0,则下列说法正确的是( AD )
A.=
B.|z+w|=|z|+|w|
C.=
D.若∈R,则z∈R
解析:设z=a+bi,w=c+di,其中a,b,c,d∈R,且复数z,w均不为0.
选项A,由z=a+bi可得=a-bi,所以z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|z|2,即=,A说法正确.
选项B,z+w=a+c+(b+d)i,所以|z+w|2=(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2.
又因为(|z|+|w|)2=(+)2
=a2+b2+2+c2+d2,
当|z+w|=|z|+|w|,即|z+w|2=(|z|+|w|)2时,
可得ac+bd=,
两边平方整理得2abcd=a2d2+b2c2,所以|z+w|=|z|+|w|不一定成立,B说法错误.
选项C,===,
所以=,
又===,
当=时可得bd+adi=0,所以=不一定成立,C说法错误.
选项D,若===∈R,则b=0,所以z=a∈R,D说法正确.故选AD.
12.已知a∈R,且ai+=1,则a= .
解析:ai+=ai+=ai+=+(a-)i=1,
所以解得a=1.
答案:1
13.已知x=1-i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则a= ,b= .
解析:因为x=1-i为实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,
所以(1-i)2+a(1-i)+b=0,
即a+b-(2+a)i=0,所以
解得a=-2,b=2.
答案:-2 2
14.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围.
(2)设μ=,求证:μ为纯虚数.
(1)解:因为z是虚数,
所以可设z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),
则ω=z+=(x+yi)+
=x+yi+
=(x+)+(y-)i.
因为ω是实数,且y≠0,
所以y-=0,即x2+y2=1,
所以|z|==1,此时ω=2x.
又-1<ω<2,所以-1<2x<2,
所以-即z的实部的取值范围是(-,1).
(2)证明:μ====.
又x2+y2=1,所以μ=-i.
因为y≠0,所以μ为纯虚数.
应用创新
15.已知复数z=(a+i)2,w=4-3i,其中a是实数.
(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限,求a的取值范围.
(2)若是纯虚数,a是正实数.
①求a;
②求+()2+()3+…+()2 024.
解:(1)因为z=(a+i)2=a2+2ai+i2=a2-1+2ai在复平面内表示的点位于第一象限,
所以解得a>1.所以a的取值范围为(1,+∞).
(2)①依题意得===+i是纯虚数,
所以
即
解得a=-(舍去)或a=2,验证a=2符合题意.
②当a=2时,===i,
所以+()2+()3+…+()2 024=i+i2+i3+…+i2 024=i-1-i+1+…+1=0.2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
学习目标
1.掌握复数的乘除运算法则,会进行复数的乘除运算,发展数学运算的核心素养.
2.掌握虚数单位i的幂值的周期性,并能应用周期性进行化简与计算,增强数学运算的核心素养.
3.掌握共轭复数的运算性质,提升数学运算的核心素养.
4.了解复数乘法的几何意义,提升直观想象的核心素养.
知识探究
知识点1 复数的乘法
(1)复数的乘法法则.
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)复数的乘法运算律.
对于任意z1,z2,z3∈C,有:
结合律 (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)
交换律 z1·z2=z2·z1
乘法对加法 的分配律 z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(3)复数的乘方.
对于复数z,定义它的乘方zn=.
n个
(4)复数乘方的运算律.
根据乘法的运算律,实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立,即对复数z,z1,z2和正整数m,n,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn ,
(z1·z2)n=·.
[思考1] 复数的乘法法则可以推广到多个复数相乘吗
提示:可以.
[思考2] 若m,n∈R,则m2+n2=0 m=n=0.当z1,z2∈C,+=0时,z1=z2=0成立吗 请简要说明.
提示:不一定成立,但是当z1=z2=0时,一定有+=0.
[思考3] 若复数z=a+bi,则=a-bi(a,b∈R),那么z·的值与|z|有什么关系
提示:由复数z=a+bi及=a-bi(a,b∈R)可知,z·=(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2,因此 z·=|z|2=.
[做一做1] 复数(3+2i)i等于( )
A.-2-3i B.-2+3i
C.2-3i D.2+3i
知识点2 复数的除法
复数的除法法则.
设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c+di≠0,c,d∈R),==-i.
[做一做2] 已知i是虚数单位,则等于( )
A.1-2i B.2-i
C.2+i D.1+2i
知识点3 复数乘法几何意义初探
设复数z1=a+bi(a,b∈R)所对应的向量为.
若z2=(a+bi)·c(c>0)所对应的向量为,则 是与c的数乘,即是将沿原方向伸长(c>1)或压缩(0z3=(a+bi)·i所对应的向量为,则是将逆时针旋转得
到的.
[做一做3] 将复数z1=2+i所对应的向量绕原点O逆时针旋转后得到,设所对应的复数为z2,则等于( )
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
(1)复数的除法与实数的除法有所不同,对于实数的除法,可以直接约分化简,得出结论;但是对于复数的除法,因为分母为复数,一般不能直接约分化简.
(2)复数除法实质上就是分母实数化的过程.
(3)复数的除法法则形式复杂,难于记忆,所以有关复数的除法运算,只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”,然后结果再写成a+bi(a,b∈R)的形式即可.
探究点一 复数的乘法、除法运算
角度1 复数的乘法运算
[例1] 计算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)(-+i)(+i).
(1)复数乘法的运算步骤
首先按多项式的乘法展开,再将i2换成-1,然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式.
(2)常用公式
①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
[针对训练] (1)(2+i)2等于( )
A.5-4i B.5+4i
C.3-4i D.3+4i
(2)已知复数z=(1-2i)·(4-3i),则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
角度2 复数的除法运算
[例2] 计算:(1);(2)-.
(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)常用公式:①=-i;②=i;③=-i.
[针对训练] (1)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z- 等于( )
A.-i B.i C.0 D.1
角度3 复数的积或商的模
[例3] 若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|等于( )
A.1 B.2 C. D.
求解复数的积或商的模的方法有两种:一是直接计算出复数的积或商后,根据积或商的实部与虚部直接利用模的公式计算;二是利用复数的模的运算性质.
(1)两个或多个复数积的模等于构成积的各个复数的模的积,即|z1z2·…·zn|=|z1||z2|·…·|zn|.
(2)两个复数的商的模等于模的商,即||=(z2≠0).
(3)|z|2==|z2|=||=z·.
[针对训练] (1)已知z=i(1-2i),则|z|等于( )
A. B.3 C. D.5
(2)记i是虚数单位,复数z满足z=,则||等于( )
A.2 B. C. D.1
角度4 复数的商与复数有关概念的综合
[例4] 设a∈R,复数(i为虚数单位)是纯虚数,则a的值为 .
[变式探究] 若将本例题中的纯虚数改为实数,则a的值为 .
涉及含未知量的复数的商为纯虚数或实数问题,一种方法是利用复数的除法将复数的商化为z=a+bi(a,b∈R)的形式后利用复数的有关概念求解,另一种方法是设出纯虚数或实数将问题转化为复数相等求解.
探究点二 复数乘法的几何意义
[例5] 已知A(2,-1),B(-1,3),四边形ABCD是正方形,且A,B,C,D按顺时针方向排列,求点C,D对应的复数.
利用复数乘法的几何意义解题时应注意将复数乘法转化为复数对应的向量旋转的角度与模的变化的乘积.
[针对训练] 若复数z0=+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°且模变为原来的2倍后与向量重合,且对应的复数为z,
求z3.
学海拾贝
复数范围内一元二次方程的解法
在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法.
(1)求根公式法.
①当Δ≥0时,x=;
②当Δ<0时,x=.
(2)利用复数相等的定义求解.
设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解.
说明:实系数的一元二次方程若有虚根,则两个虚根互为共轭复数.
[典例探究] 已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根.
(1)求实数a,b的值;
(2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并给予证明.
已知含参数的实系数一元二次方程的一个虚数根,求参数的值,可以将方程的根代入方程中,利用复数相等的定义求参数的值.另外对于实系数一元二次方程,由其求根公式可知,当方程有一个虚根z=m+ni
(m,n∈R),复数z的共轭复数=m-ni也是方程的一个根,因此对于本题也可以根据此性质直接利用二次方程根与系数的关系(-1+i)+(-1-i)=-a,(-1+i)(-1-i)=b,求得a,b的值.
[应用探究] 已知x=2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
当堂检测
1.若i为虚数单位,则i607等于( )
A.i B.-i C.1 D.-1
2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.设复数z=-2+i,若复数z+的虚部为b,则b= .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的乘法、除法 1,2,3,4,5,6,7,12
复数的运算的综合应用 8,9,10,11,14,15
实系数一元二次方程 13
基础巩固
1.复数z=(1-2i)2(i为虚数单位)的虚部为( )
A.4i B.4 C.-4i D.-4
2.复数z满足(1+i)z=6+4i(i为虚数单位),则复数z在复平面内的对应点的坐标是( )
A.(5,-1) B.(5,-i)
C.(1,-1) D.(1,-i)
3.(2022·全国甲卷)若z=1+i,则|iz+3|等于( )
A.4 B.4 C.2 D.2
4.(1+i)20-(1-i)20的值是( )
A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512
5.(多选题)已知复数 z=,其中i为虚数单位,则下列选项正确的是( )
A.|z|=2 B.z2=2i
C.z的共轭复数为1-i D.z的虚部为1
6.若复数z满足z(1+i)=2-i,则z对应的点位于第 象限.
7.已知z是纯虚数,是实数,那么z= .
8.设复数z1与z2所对应的点为Z1与Z2,若z1=1+i,z2=i·z1,则||=
.
能力提升
9.(多选题)已知复数z1,z2,则下列命题正确的是( )
A.若|z1|=|z2|,则z1=±z2
B.若z1=,则|z1z2|=|z1|2
C.若z1是非零复数,且=z1z2,则z1=z2
D.若z1是非零复数,则z1+≠0
10.(多选题)已知复数z满足(1-i)z=2i(i是虚数单位),则下列关于复数z的结论正确的是( )
A.|z|=
B.复数z的共轭复数为=1-i
C.复平面内表示复数z的点位于第三象限
D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根
11.(多选题)已知复数z,w均不为0,则下列说法正确的是( )
A.=
B.|z+w|=|z|+|w|
C.=
D.若∈R,则z∈R
12.已知a∈R,且ai+=1,则a= .
13.已知x=1-i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则a= ,b= .
14.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围.
(2)设μ=,求证:μ为纯虚数.
应用创新
15.已知复数z=(a+i)2,w=4-3i,其中a是实数.
(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限,求a的取值范围.
(2)若是纯虚数,a是正实数.
①求a;
②求+()2+()3+…+()2 024.
