*§3 复数的三角表示
3.1 复数的三角表示式
3.2 复数乘除运算的几何意义
学习目标
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的辐角的主值的概念,培养数学抽象与数学运算的核心素养.
2.了解复数乘、除运算的三角表示及几何意义,提升直观想象与数学运算的核心素养.
知识探究
问题:如图,非零复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量的模,θ是以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的一个角.能否利用θ,r表示a,b和复数z呢
提示:a=rcos θ,b=rsin θ,z=r(cos θ+isin θ).
知识点1 复数的三角表示式
(1)复数的辐角与模.
以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ,称为复数z=a+bi(a,b∈R)的辐角.
将满足条件0≤θ<2π的辐角值,称为辐角的主值,记作arg z,即0≤arg z<2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
(2)复数的三角形式.
任何复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示为z=r(cos θ+isin θ),
其中r=,cos θ=,sin θ=.
这个式子称为复数z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称代数形式.
[思考1] 非零复数z的辐角唯一吗
提示:非零复数z的辐角不唯一,各角之间相差2π的整数倍.
知识点2 复数乘除运算的几何意义
设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2).
(1)z1·z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
这就是说,两个复数相乘,积的模等于它们的模的积,积的辐角等于它们的辐角的和.由此可得复数乘法的几何意义:
设复数z1,z2对应的向量分别为,,把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(若θ2<0,就要把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,所得向量就表示复数z1,z2的乘积.
(2)z2≠0,则==
[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.由此可得复数除法的几何意义:
设复数z1,z2对应的向量分别为,,把向量绕原点O按顺时针方向旋转角θ2(若θ2<0,就要把绕原点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的倍,所得向量就表示复数.
[思考2] 如何理解“把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2”
提示:当θ2>0时,按逆时针方向旋转角θ2;当θ2<0时,按顺时针方向旋转角|θ2|.
[思考3] 如何计算复数z=r(cos θ+isin θ)的乘方zn
提示:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ).
探究点一 复数的三角形式
[例1] 将下列复数化为三角形式(辐角取主值):
(1)2(cos-isin);
(2)2(-cos+isin);
(3)2(sin+icos);
(4)z=-+i.
代数形式化为三角形式
将复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cos θ+isin θ)(r>0),可按如下步骤进行:
(1)画图,并标出r和θ.
(2)求θ和r,其中r=,cos θ=,sin θ=.
(3)写出z的三角形式.
[针对训练] 将下列复数表示成三角形式(辐角取主值):
(1)+i;
(2)-2(cos+isin).
探究点二 复数的三角形式的乘除运算
[例2] (1)若z=sin+icos,则z3等于( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
(2)复数z1,z2分别对应复平面内的点Z1(1,),Z2(,1),则=
.
复数三角形式的运算法则
(1)乘法法则:模相乘,辐角相加.
(2)除法法则:模相除,辐角相减.
(3)复数的n次幂:模的n次幂,辐角的n倍.
[针对训练] 计算:
(1)10(cos+isin)×5(cos+isin);
(2).
学海拾贝
利用复数乘法的几何意义求解旋转问题
[典例探究] 在复平面内,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点).已知Z2对应复数z2=1+i,求Z1和Z3所对应的复数.
[应用探究] 如图,复平面内的△ABC(A,B,C按顺时针排列)是等边三角形,它的两个顶点A,B的坐标分别为(1,0),(2,1),求点C的坐标.
当堂检测
1.下列各式中已表示成三角形式的复数是( )
A.(cos-isin)
B.(cos+isin)
C.(sin+icos)
D.-(cos+isin)
2.复数z=+i的三角形式正确的是( )
A.cos+isin B.sin+icos
C.cos+isin D.sin+icos
3.(cos +isin )×3(cos +isin )等于( )
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的三角形式 1,4,10
复数的三角形式的乘除运算 2,7
复数三角形式的综合 3,5,6,8,9
基础巩固
1.-1-i的三角形式是( )
A.-2(cos+isin)
B.2
C.2(sin+icos)
D.2(cos+isin)
2.设复数z1=(cos +isin),z2=6(cos +isin),则z1z2为( )
A.3i B.3(cos +isin)
C.-3i D.3(cos +isin)
3.在复平面内,常把复数z=a+bi(a,b∈R)和向量进行一一对应.现把与复数1+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°,所得的向量对应的复数为( )
A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i
4.已知z=(1-i)·(-cos+isin),则arg z等于( )
A. B. C. D.
5.复数z=的辐角的主值为( )
A. B. C. D.
6.将复数z=[cos(-)+isin(-)]化为代数形式为 .
7.计算:(cos π+isin π)÷(cos +isin )= .
能力提升
8.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是( )
A.1 B.-1 C.- D.-
9.(多选题)已知复数z=cos θ+isin θ(其中i为虚数单位),下列选项正确的是( )
A.z·=i
B.z+为实数
C.若θ=,则复数z在复平面内的对应点位于第一象限
D.若θ∈(0,π),复数z是纯虚数,则θ=
10.写出下列复数的三角形式:
(1)ai(a∈R);
(2)-(sin θ-icos θ).*§3 复数的三角表示
3.1 复数的三角表示式
3.2 复数乘除运算的几何意义
学习目标
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的辐角的主值的概念,培养数学抽象与数学运算的核心素养.
2.了解复数乘、除运算的三角表示及几何意义,提升直观想象与数学运算的核心素养.
知识探究
问题:如图,非零复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量的模,θ是以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的一个角.能否利用θ,r表示a,b和复数z呢
提示:a=rcos θ,b=rsin θ,z=r(cos θ+isin θ).
知识点1 复数的三角表示式
(1)复数的辐角与模.
以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ,称为复数z=a+bi(a,b∈R)的辐角.
将满足条件0≤θ<2π的辐角值,称为辐角的主值,记作arg z,即0≤arg z<2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
(2)复数的三角形式.
任何复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示为z=r(cos θ+isin θ),
其中r=,cos θ=,sin θ=.
这个式子称为复数z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称代数形式.
[思考1] 非零复数z的辐角唯一吗
提示:非零复数z的辐角不唯一,各角之间相差2π的整数倍.
知识点2 复数乘除运算的几何意义
设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2).
(1)z1·z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
这就是说,两个复数相乘,积的模等于它们的模的积,积的辐角等于它们的辐角的和.由此可得复数乘法的几何意义:
设复数z1,z2对应的向量分别为,,把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(若θ2<0,就要把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,所得向量就表示复数z1,z2的乘积.
(2)z2≠0,则==
[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.由此可得复数除法的几何意义:
设复数z1,z2对应的向量分别为,,把向量绕原点O按顺时针方向旋转角θ2(若θ2<0,就要把绕原点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的倍,所得向量就表示复数.
[思考2] 如何理解“把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2”
提示:当θ2>0时,按逆时针方向旋转角θ2;当θ2<0时,按顺时针方向旋转角|θ2|.
[思考3] 如何计算复数z=r(cos θ+isin θ)的乘方zn
提示:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ).
探究点一 复数的三角形式
[例1] 将下列复数化为三角形式(辐角取主值):
(1)2(cos-isin);
(2)2(-cos+isin);
(3)2(sin+icos);
(4)z=-+i.
解:(1)2(cos-isin)=2(cos+isin).
(2)2(-cos+isin)=2(cos+isin).
(3)2(sin+icos)=2(cos+isin).
(4)设z=r(cos θ+isin θ).
因为r=2,cos θ=-,sin θ=,所以θ=,
所以-+i=2(cos+isin).
代数形式化为三角形式
将复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cos θ+isin θ)(r>0),可按如下步骤进行:
(1)画图,并标出r和θ.
(2)求θ和r,其中r=,cos θ=,sin θ=.
(3)写出z的三角形式.
[针对训练] 将下列复数表示成三角形式(辐角取主值):
(1)+i;
(2)-2(cos+isin).
解:(1)+i=cos+isin.
(2)-2(cos+isin)=2(cos+isin).
探究点二 复数的三角形式的乘除运算
[例2] (1)若z=sin+icos,则z3等于( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
(2)复数z1,z2分别对应复平面内的点Z1(1,),Z2(,1),则=
.
解析:(1)(sin+icos)3=(cos+isin)3=cos(3×)+isin(3×)=i.故选C.
(2)由题意z1=2(cos+isin),
z2=2(cos+isin),
所以=
=cos(-)+isin(-)
=cos+isin=+i.
答案:(1)C (2)+i
复数三角形式的运算法则
(1)乘法法则:模相乘,辐角相加.
(2)除法法则:模相除,辐角相减.
(3)复数的n次幂:模的n次幂,辐角的n倍.
[针对训练] 计算:
(1)10(cos+isin)×5(cos+isin);
(2).
解:(1)原式=10×5[cos(+)+isin(+)]=50(cos+isin).
(2)原式===2i+2×=2+2i.
学海拾贝
利用复数乘法的几何意义求解旋转问题
[典例探究] 在复平面内,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点).已知Z2对应复数z2=1+i,求Z1和Z3所对应的复数.
解:设Z1,Z3对应的复数分别为z1,z3.如图所示,由复数运算的几何意义知,
z1=·z2·[cos(-)+isin(-)]
=·(1+i)(-i)
=+i,
z3=·z2·(cos +isin )
=×(1+i)(+i)
=+i.
[应用探究] 如图,复平面内的△ABC(A,B,C按顺时针排列)是等边三角形,它的两个顶点A,B的坐标分别为(1,0),(2,1),求点C的坐标.
解:=(1,1),
向量对应的复数是
1+i=(+i)=(cos +isin ),
将绕点A顺时针方向旋转得对应的复数是
(cos +isin )·[cos(-)+isin(-)]
=[cos(-)+isin(-)]
=(cos -isin )
=×(-i)
=+i,
所以对应的复数为1++i,
所以点C的坐标为(+1,),即(,).
当堂检测
1.下列各式中已表示成三角形式的复数是( B )
A.(cos-isin)
B.(cos+isin)
C.(sin+icos)
D.-(cos+isin)
解析:复数的三角形式为z=r(cos α+isin α),其中r≥0,B选项满足.故选B.
2.复数z=+i的三角形式正确的是( A )
A.cos+isin B.sin+icos
C.cos+isin D.sin+icos
解析:复数z=+i的模为1,辐角的主值为,所以复数z=+i的三角形式为cos+isin.故选A.
3.(cos +isin )×3(cos +isin )等于( C )
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
解析:原式=3i(+i)=-+i.
故选C.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的三角形式 1,4,10
复数的三角形式的乘除运算 2,7
复数三角形式的综合 3,5,6,8,9
基础巩固
1.-1-i的三角形式是( B )
A.-2(cos+isin)
B.2
C.2(sin+icos)
D.2(cos+isin)
解析:-1-i=2(--i)=2[cos(-)+isin(-)].故选B.
2.设复数z1=(cos +isin),z2=6(cos +isin),则z1z2为( A )
A.3i B.3(cos +isin)
C.-3i D.3(cos +isin)
解析:z1z2=×6=3(cos +isin)=3i.
故选A.
3.在复平面内,常把复数z=a+bi(a,b∈R)和向量进行一一对应.现把与复数1+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°,所得的向量对应的复数为( A )
A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i
解析:根据题意可知,复数1+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°可得(1+2i)(cos 90°+isin 90°)=i(1+2i)=i+2i2=-2+i,即所得的向量对应的复数为-2+i.故选A.
4.已知z=(1-i)·(-cos+isin),则arg z等于( B )
A. B. C. D.
解析:z=(1-i)·(-cos+isin)
=(1-i)·(-+i)
=-+i+×i-i2
=2i=2(cos+isin),
所以arg z=.故选B.
5.复数z=的辐角的主值为( D )
A. B. C. D.
解析:z====-+i=cos+isin,所以辐角的主值为.故选D.
6.将复数z=[cos(-)+isin(-)]化为代数形式为 .
解析:z=(cos -isin ) =×cos -i×sin =1-i.
答案:1-i
7.计算:(cos π+isin π)÷(cos +isin )= .
解析:(cos π+isin π)÷(cos +isin )
=cos +isin =-+i.
答案:-+i
能力提升
8.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是( B )
A.1 B.-1 C.- D.-
解析:因为z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=,所以所以a=-1.故选B.
9.(多选题)已知复数z=cos θ+isin θ(其中i为虚数单位),下列选项正确的是( BD )
A.z·=i
B.z+为实数
C.若θ=,则复数z在复平面内的对应点位于第一象限
D.若θ∈(0,π),复数z是纯虚数,则θ=
解析:选项A,z·=(cos θ+isin θ)(cos θ-isin θ)=1,A错误.
选项B,z+=cos θ+isin θ+
=cos θ+isin θ+
=cos θ+isin θ+cos θ-isin θ=2cos θ,
所以z+为实数,B正确.
选项C,若θ=,则z=cos+isin=-+i,
则复数z在复平面内的对应点为(-,),位于第二象限,C错误.
选项D,若θ∈(0,π),复数z是纯虚数,
则解得θ=,D正确.
故选BD.
10.写出下列复数的三角形式:
(1)ai(a∈R);
(2)-(sin θ-icos θ).
解:(1)ai=
(2)-(sin θ-icos θ)=[cos(+θ)+isin(+θ)].
