§1 基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
学习目标
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法,培养数学抽象与直观想象的核心素养.
2.通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征,了解棱柱、棱锥、棱台之间的关系,发展直观想象、逻辑推理的核心素养.
知识探究
知识点1 构成空间几何体的基本元素
(1)空间几何体的基本元素:任意一个几何体都是由点、线、面构成的,点、线、面是构成几何体的基本元素.
(2)平面的画法:一般地,用平行四边形表示平面,当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°,横边长画成邻边长的两倍.
当两个平面相交时,把被遮挡部分画成虚线或不画(如图).
(3)平面的表示方法.
平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,如平面α、平面β、平面γ等[如图(a)];也可以用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示,如平面AC[如图(b)].
[思考1] 若平面用平行四边形表示,则平行四边形的面积就是平面的面积,这种说法对吗
提示:不对,平面既没有大小,也没有厚薄.
[思考2] 一个平面能否把空间分成两部分
提示:因为平面是无限延展的,所以一个平面可以把空间分成两部分.
知识点2 棱柱的结构特征
(1)多面体.
一般地,由平面多边形围成的几何体称为多面体,这些多边形称为多面体的面,两个相邻的面的公共边称为多面体的棱,棱与棱的公共点称为多面体的顶点.
(2)棱柱.
①每个多面体都有两个面是边数相同的多边形,且它们所在平面平行;其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行.像这样的几何体称为棱柱.
②棱柱中,两个互相平行的面称为棱柱的底面,简称底;其余各面称为棱柱的侧面;相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点;既不在同一底面上也不在同一侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线.如图,过上底面上一点O1作下底面的垂线,这点和垂足O间的距离OO1称为点O1到下底面的距离,也是两底面间的距离,即棱柱的高.
③棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示,也可以用它的某一条对角线的两个端点的字母来表示,如图中的棱柱既可表示为棱柱ABCDEA1B1C1D1E1,也可表示为棱柱AC1.
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
④侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱,其他的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.
[思考3] 棱柱的侧面一定是平行四边形吗
提示:根据棱柱的概念可知,棱柱的侧面一定是平行四边形.
知识点3 棱锥和棱台的结构特征
(1)棱锥.
①有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体称为棱锥.
②如图,多边形ABCD称为棱锥的底面,简称底;其余各面称为棱锥的侧面;各个侧面的公共点称为棱锥的顶点;相邻两个侧面的公共边称为棱锥的侧棱.顶点到底面的距离称为棱锥的高.
③棱锥可以用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示,如图中的棱锥记作棱锥SABCD,也可用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示,如棱锥SAC.棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥也叫作四面体.如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,那么这个棱锥称为正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,称为正棱锥的斜高.
(2)棱台.
①用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为
棱台.
②在棱台中,原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面,其余各面称为棱台的侧面.相邻两个侧面的公共边称为棱台的侧棱,上底面、下底面之间的距离称为棱台的高.
③棱台用上底面、下底面多边形各顶点的字母来表示,如图中的棱台表示为棱台ABCDEA1B1C1D1E1.由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台,分别称为三棱台、四棱台、五棱台……
由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高.
[思考4] 有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗
提示:不一定.因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”.
[思考5] 若一个棱锥是正六棱锥,这个棱锥的各侧棱与底面边长能相等吗
提示: 不能.若棱锥的各侧棱与底面边长相等,则棱锥侧面三角形的顶角是60°,此时顶点处是一个平面,因此不存在.
[思考6] 棱台的上、下底面互相平行,各侧棱延长线一定相交于一点吗
提示:根据棱台的定义可知其各侧棱延长线一定交于一点.
(1)几种常见四棱柱的关系.
(2)棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
探究点一 棱柱的结构特征
[例1] 下列命题正确的是( )
A.棱柱的所有侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面是棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形,但底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形
解析:由棱柱的定义可知,只有D正确,分别构造图形如图(1)(2).
棱柱的侧棱相互平行,A错误;
图(1)中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行,但不是底面,B错误;
图(2)中直平行六面体的底面ABCD是平行四边形,C错误.故选D.
(1)棱柱的定义有以下两个要点:
①有两个平面(底面)互相平行;②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.
(2)求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征.
[针对训练] 下列关于棱柱的说法中正确的是( )
A.棱柱中相邻两个面的公共边叫作侧棱
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
解析:底面和侧面的公共边不是侧棱,A错误;根据棱柱的特征知,棱柱的两个底面一定是全等的,故棱柱中至少有两个面的形状完全相同,B正确;正六棱柱的两个相对侧面互相平行,C错误;“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”,如图所示的几何体就不是棱柱,D错误.故选B.
探究点二 棱锥和棱台的结构特征
[例2] 下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的侧面一定不会是平行四边形;
②由四个面围成的几何体只能是三棱锥;
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中说法正确的是 .(填序号)
解析:①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
②正确,由四个面围成的几何体只能是三棱锥;
③错误,如图所示,四棱锥SABCD 被平面SAC截成的两部分都是棱锥.
答案:①②
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:
多面体 棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面
看侧棱 各侧棱相交于一点 各侧棱延长后相交于一点
[针对训练] 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是( )
A.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体是棱台
C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫作棱台
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
解析:有一个面是多边形,其余各面是三角形,若其余各面没有一个共同的顶点,则不是棱锥,故A错误;两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台,还要满足各侧棱的延长线交于一点,故B错误,D正确;用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫作棱台,故C错误.故选D.
探究点三 多面体的平面展开图
[例3] (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为( )
A B
C D
(2)如图是三个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体
(1)解析:由选项验证可知A正确.故选A.
(2)解:题图①中,有5个平行四边形,而且还有两个全等的五边形,符合棱柱特点;题图②中,有5个三角形,且具有共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;题图③中,有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的三角形,符合棱台的特点.把平面展开图还原为原几何体,如图所示.所以图(a)为五棱柱,图(b)为五棱锥,图(c)为三棱台.
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.
(2)由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可能有多个平面展开图.
[针对训练] 某人用如图所示的纸片,沿折痕折叠后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形为灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯顺时针旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①②③处应依次写上( )
A.快、新、乐 B.乐、新、快
C.新、乐、快 D.乐、快、新
解析:根据四棱锥顺时针旋转时正好看到“新年快乐”的字样,可知顺序为②年①③.故选A.
学海拾贝
多面体中的几何计算
[典例探究] (1)如图,棱锥PABCD的高PO=3,截面A′B′C′D′平行于底面ABCD,PO与截面交于点O′,且OO′=2.若四边形ABCD的面积为36,则四边形A′B′C′D′的面积为( )
A.12 B.16 C.4 D.8
(2) 如图,在正三棱台ABCA1B1C1中,已知AB=10,棱台的一个侧面的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,D1D为棱台的斜高,∠D1DA=60°,求上底面的边长.
(1)解析:由题意可知,四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为3∶1,
根据相似比与面积比关系可得四边形A′B′C′D′的面积为36×=4.故选C.
(2)解:因为AB=10,
所以AD=AB=5,
所以OD=AD=.
设上底面的边长为x,
则O1D1=x.
如图,过D1作D1H⊥AD于点H,
则DH=OD-OH=OD-O1D1=-x.
在△D1DH中,D1D==2(-x),
所以=(B1C1+BC)·D1D,
即=(x+10)·2(-x),
解得x=2,
所以上底面的边长为2.
(1)正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于点E,则PE为斜高.
①斜高、侧棱构成直角三角形,如图中Rt△PEC.
②斜高、高构成直角三角形,如图中Rt△POE.
③侧棱、高构成直角三角形,如图中Rt△POC.
(2)正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面的中心,作O1E1⊥B1C1于点E1,OE⊥BC于点E,则E1E为斜高.
①斜高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形E1ECC1.
②斜高、高构成直角梯形,如图中梯形O1E1EO.
③高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形O1OCC1.
[应用探究] 正三棱锥的底面边长为3.
(1)若侧棱长为2,求正三棱锥的高;
(2)若斜高为2,求正三棱锥的高.
解:作出正三棱锥如图,SO为其高,连接AO,作OD⊥AB于点D,则点D为AB的中点,连接SD.
在Rt△ADO中,AD=,
∠OAD=30°,故AO==.
(1)在Rt△SAO中,SA=2,AO=,
故SO==3,故正三棱锥的高为3.
(2)在Rt△SDO中,SD=2,DO=AO=,故SO===.故正三棱锥的高为.
当堂检测
1.棱锥的侧面和底面可以都是( A )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
解析:棱锥的侧面都是三角形,所以底面和侧面相同只能是三角形.故选A.
2.下列图形中,是棱台的是( C )
A B C D
解析:由棱台的定义知,A,D的侧棱延长线不交于一点,所以不是棱台;B中上、下底面不平行,不是棱台,只有C符合棱台的定义.故选C.
3.下列描述中,不可能是棱柱的结构特征的是( D )
A.有一对面互相平行
B.侧面都是四边形
C.相邻两个侧面的公共边都互相平行
D.所有侧棱都交于一点
解析:由棱柱的结构特征知D错误.故选D.
4.四棱柱有 条侧棱, 个顶点.
解析:四棱柱有4条侧棱,8个顶点(可以结合正方体观察求得).
答案:4 8
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
空间几何体的基本元素 1,7,8
简单多面体的理解 2,3,4,5,6
简单多面体及综合应用 9,10,11,12,13
基础巩固
1.下列结论正确的个数是( B )
①曲面上可以存在直线;②平面上可存在曲线;③曲线运动的轨迹可形成平面;④直线运动的轨迹可形成曲面.
A.3 B.4 C.1 D.2
解析:①②③④均正确.故选B.
2.下列说法正确的是( C )
A.棱锥的侧面不一定是三角形
B.棱锥的各侧棱长一定相等
C.棱台的各侧棱的延长线交于一点
D.用一平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,另一个是棱台
解析:根据棱锥的定义知,棱锥的侧面一定是三角形,故A不正确;在斜棱锥中侧棱长不一定相等,故B不正确;用一平行于底面的平面截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,另一个是棱台,故D不正确.
故选C.
3.(多选题)下列关于棱柱的说法中,正确的有( ABC )
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形
D.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等
解析:三棱柱的底面为三角形,A正确;因为三棱柱有五个面,所以棱柱至少有五个面,B正确;五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形,C正确;若棱柱的底面边长相等,它的各个侧面为平行四边形,即边长对应相等,但夹角不一定相等,D错误.故选ABC.
4.下列关于四棱柱的说法:①四条侧棱互相平行且相等;②两对相对的侧面互相平行;③侧棱必与底面垂直;④侧面垂直于底面.其中正确结论的个数为( A )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①棱柱侧棱互相平行,侧面都是四边形,因此四条侧棱互相平行且相等,故①正确;②若底面四边形不是平行四边形,则两对相对的侧面不互相平行,故②错误;③斜棱柱侧棱与底面不垂直,故③错误;④斜棱柱侧面与底面不垂直,故④错误.所以只有①正确,正确结论的个数为1.故选A.
5.设M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这些集合间的关系是( B )
A.P M N Q B.Q M N P
C.P N M Q D.Q N M P
解析:根据正方体、正四棱柱、长方体、直四棱柱的特征,可以判断它们之间的包含关系,正四棱柱要求是直四棱柱,其底面为正方形,长方体要求是直四棱柱,底面为矩形.故选B.
6.下列说法正确的是 .(填序号)
①一个棱锥至少有四个面;
②如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等;
③五棱锥只有五条棱;
④用与底面平行的平面去截三棱锥,得到的截面三角形和底面三角形相似.
解析:①正确;②不正确,四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等,也可以不相等;③不正确,五棱锥除了五条侧棱外,还有五条底边,故共十条棱;④正确.
答案:①④
7.一个棱台至少有 个面,面数最少的棱台有 个顶点,有 条棱.
解析:面数最少的棱台为三棱台,有5个面,6个顶点,9条棱.
答案:5 6 9
8.若一个正n棱台的棱数大于15,且各棱的长度构成的集合为{2,3},则n的最小值为 ,该棱台各棱的长度之和的最小值为 .
解析:因为正n棱台的侧棱有n条,底面有2n条棱,所以正n棱台共有3n条棱,
由3n>15,得n>5,所以n的最小值为6,该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12+3×6=42.
答案:6 42
能力提升
9.(多选题)如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法正确的是( ABC )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B.该几何体有12条棱、6个顶点
C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形
解析:根据题图知该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体,
且有棱MA,MB,MC,MD,AB,BC,CD,DA,NA,NB,NC和ND,共12条;
顶点是M,A,B,C,D和N,共6个;有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA,共8个,且每个面都是三角形.所以选项A,B,C正确,选项D错误.故选ABC.
10.已知在正四棱锥VABCD中,底面的面积为16,侧棱的长为2,则该棱锥的高是 .
解析:如图,取正方形ABCD的中心O,连接VO,AO,则VO就是正四棱锥VABCD的高.
因为底面的面积为16,
所以AO=2.
因为侧棱的长为2,则VA=2,
所以VO===6.
所以正四棱锥VABCD的高为6.
答案:6
11.如图所示的是一个三棱台ABCA1B1C1.
(1)如果把这个三棱台截成三个三棱锥,则这三个三棱锥分别是
(答案不唯一);
(2)如果把这个三棱台截成两个多面体,则这两个多面体可以是
(答案不唯一).
解析:(1)如图(a)所示,所截成的三个三棱锥分别是A1ABC,A1BB1C1,A1BCC1.
(2)用平行于三棱台底面的平面去截,可以得到两个三棱台,也可以截成一个三棱柱和一个五面体,如图(b)所示,也可以截成一个三棱锥和一个四棱锥,如图(c)所示.
答案:(1)A1ABC,A1BB1C1,A1BCC1
(2)两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四棱锥)
12.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点
(3)每个面的三角形面积分别为多少
解:(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=a2,
S△DPF=S△DPE=×2a·a=a2,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
13.试从正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取若干个,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;
(3)三棱柱.
解:(1)如图(a)所示,三棱锥A1AB1D1(答案不唯一).
(2)如图(b)所示,三棱锥B1ACD1(答案不唯一).
(3)如图(c)所示,三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一).§1 基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
学习目标
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法,培养数学抽象与直观想象的核心素养.
2.通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征,了解棱柱、棱锥、棱台之间的关系,发展直观想象、逻辑推理的核心素养.
知识探究
知识点1 构成空间几何体的基本元素
(1)空间几何体的基本元素:任意一个几何体都是由点、线、面构成的,点、线、面是构成几何体的基本元素.
(2)平面的画法:一般地,用平行四边形表示平面,当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°,横边长画成邻边长的两倍.
当两个平面相交时,把被遮挡部分画成虚线或不画(如图).
(3)平面的表示方法.
平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,如平面α、平面β、平面γ等[如图(a)];也可以用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示,如平面AC[如图(b)].
[思考1] 若平面用平行四边形表示,则平行四边形的面积就是平面的面积,这种说法对吗
提示:不对,平面既没有大小,也没有厚薄.
[思考2] 一个平面能否把空间分成两部分
提示:因为平面是无限延展的,所以一个平面可以把空间分成两部分.
知识点2 棱柱的结构特征
(1)多面体.
一般地,由平面多边形围成的几何体称为多面体,这些多边形称为多面体的面,两个相邻的面的公共边称为多面体的棱,棱与棱的公共点称为多面体的顶点.
(2)棱柱.
①每个多面体都有两个面是边数相同的多边形,且它们所在平面平行;其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行.像这样的几何体称为棱柱.
②棱柱中,两个互相平行的面称为棱柱的底面,简称底;其余各面称为棱柱的侧面;相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点;既不在同一底面上也不在同一侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线.如图,过上底面上一点O1作下底面的垂线,这点和垂足O间的距离OO1称为点O1到下底面的距离,也是两底面间的距离,即棱柱的高.
③棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示,也可以用它的某一条对角线的两个端点的字母来表示,如图中的棱柱既可表示为棱柱ABCDEA1B1C1D1E1,也可表示为棱柱AC1.
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
④侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱,其他的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.
[思考3] 棱柱的侧面一定是平行四边形吗
提示:根据棱柱的概念可知,棱柱的侧面一定是平行四边形.
知识点3 棱锥和棱台的结构特征
(1)棱锥.
①有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体称为棱锥.
②如图,多边形ABCD称为棱锥的底面,简称底;其余各面称为棱锥的侧面;各个侧面的公共点称为棱锥的顶点;相邻两个侧面的公共边称为棱锥的侧棱.顶点到底面的距离称为棱锥的高.
③棱锥可以用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示,如图中的棱锥记作棱锥SABCD,也可用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示,如棱锥SAC.棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥也叫作四面体.如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,那么这个棱锥称为正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,称为正棱锥的斜高.
(2)棱台.
①用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为
棱台.
②在棱台中,原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面,其余各面称为棱台的侧面.相邻两个侧面的公共边称为棱台的侧棱,上底面、下底面之间的距离称为棱台的高.
③棱台用上底面、下底面多边形各顶点的字母来表示,如图中的棱台表示为棱台ABCDEA1B1C1D1E1.由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台,分别称为三棱台、四棱台、五棱台……
由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高.
[思考4] 有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗
提示:不一定.因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”.
[思考5] 若一个棱锥是正六棱锥,这个棱锥的各侧棱与底面边长能相等吗
提示: 不能.若棱锥的各侧棱与底面边长相等,则棱锥侧面三角形的顶角是60°,此时顶点处是一个平面,因此不存在.
[思考6] 棱台的上、下底面互相平行,各侧棱延长线一定相交于一点吗
提示:根据棱台的定义可知其各侧棱延长线一定交于一点.
(1)几种常见四棱柱的关系.
(2)棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
探究点一 棱柱的结构特征
[例1] 下列命题正确的是( )
A.棱柱的所有侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面是棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形,但底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形
(1)棱柱的定义有以下两个要点:
①有两个平面(底面)互相平行;②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.
(2)求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征.
[针对训练] 下列关于棱柱的说法中正确的是( )
A.棱柱中相邻两个面的公共边叫作侧棱
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
探究点二 棱锥和棱台的结构特征
[例2] 下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的侧面一定不会是平行四边形;
②由四个面围成的几何体只能是三棱锥;
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中说法正确的是 .(填序号)
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:
多面体 棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面
看侧棱 各侧棱相交于一点 各侧棱延长后相交于一点
[针对训练] 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是( )
A.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体是棱台
C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫作棱台
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
探究点三 多面体的平面展开图
[例3] (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为( )
A B
C D
(2)如图是三个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.
(2)由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可能有多个平面展开图.
[针对训练] 某人用如图所示的纸片,沿折痕折叠后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形为灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯顺时针旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①②③处应依次写上( )
A.快、新、乐 B.乐、新、快
C.新、乐、快 D.乐、快、新
学海拾贝
多面体中的几何计算
[典例探究] (1)如图,棱锥PABCD的高PO=3,截面A′B′C′D′平行于底面ABCD,PO与截面交于点O′,且OO′=2.若四边形ABCD的面积为36,则四边形A′B′C′D′的面积为( )
A.12 B.16 C.4 D.8
(2) 如图,在正三棱台ABCA1B1C1中,已知AB=10,棱台的一个侧面的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,D1D为棱台的斜高,∠D1DA=60°,求上底面的边长.
(1)正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于点E,则PE为斜高.
①斜高、侧棱构成直角三角形,如图中Rt△PEC.
②斜高、高构成直角三角形,如图中Rt△POE.
③侧棱、高构成直角三角形,如图中Rt△POC.
(2)正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面的中心,作O1E1⊥B1C1于点E1,OE⊥BC于点E,则E1E为斜高.
①斜高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形E1ECC1.
②斜高、高构成直角梯形,如图中梯形O1E1EO.
③高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形O1OCC1.
[应用探究] 正三棱锥的底面边长为3.
(1)若侧棱长为2,求正三棱锥的高;
(2)若斜高为2,求正三棱锥的高.
当堂检测
1.棱锥的侧面和底面可以都是( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
2.下列图形中,是棱台的是( )
A B C D
3.下列描述中,不可能是棱柱的结构特征的是( )
A.有一对面互相平行
B.侧面都是四边形
C.相邻两个侧面的公共边都互相平行
D.所有侧棱都交于一点
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
空间几何体的基本元素 1,7,8
简单多面体的理解 2,3,4,5,6
简单多面体及综合应用 9,10,11,12,13
基础巩固
1.下列结论正确的个数是( )
①曲面上可以存在直线;②平面上可存在曲线;③曲线运动的轨迹可形成平面;④直线运动的轨迹可形成曲面.
A.3 B.4 C.1 D.2
2.下列说法正确的是( )
A.棱锥的侧面不一定是三角形
B.棱锥的各侧棱长一定相等
C.棱台的各侧棱的延长线交于一点
D.用一平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,另一个是棱台
3.(多选题)下列关于棱柱的说法中,正确的有( )
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形
D.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等
4.下列关于四棱柱的说法:①四条侧棱互相平行且相等;②两对相对的侧面互相平行;③侧棱必与底面垂直;④侧面垂直于底面.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这些集合间的关系是( )
A.P M N Q B.Q M N P
C.P N M Q D.Q N M P
6.下列说法正确的是 .(填序号)
①一个棱锥至少有四个面;
②如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等;
③五棱锥只有五条棱;
④用与底面平行的平面去截三棱锥,得到的截面三角形和底面三角形相似.
7.一个棱台至少有 个面,面数最少的棱台有 个顶点,有 条棱.
8.若一个正n棱台的棱数大于15,且各棱的长度构成的集合为{2,3},则n的最小值为 ,该棱台各棱的长度之和的最小值为 .
能力提升
9.(多选题)如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法正确的是( )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B.该几何体有12条棱、6个顶点
C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形
10.已知在正四棱锥VABCD中,底面的面积为16,侧棱的长为2,则该棱锥的高是 .
11.如图所示的是一个三棱台ABCA1B1C1.
(1)如果把这个三棱台截成三个三棱锥,则这三个三棱锥分别是
(答案不唯一);
(2)如果把这个三棱台截成两个多面体,则这两个多面体可以是
(答案不唯一).
12.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点
(3)每个面的三角形面积分别为多少
13.试从正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取若干个,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;
(3)三棱柱.
