1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
学习目标
1.了解球、圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.掌握与球、圆柱、圆锥、圆台有关的截面问题的计算,提升数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 球
(1)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面.球面所围成的几何体称为球体,简称球.半圆的圆心称为球心(如图).连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径,连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径.球用表示它球心的字母来表示,如球O.球具有下面的性质:①球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径;②用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大,等于球的半径.
(2)一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.显然,球面是旋转面,球体是旋转体.
[思考1] 球能否由圆面旋转而成
提示:能.圆面以直径所在的直线为旋转轴,旋转半周形成的旋转体即为球.
[思考2] 球面与球体有区别吗
提示:有.球面是旋转面,球体是旋转体.
知识点2 圆柱、圆锥、圆台
(1)如图,以矩形的一边OO1、直角三角形的一条直角边SO、直角梯形垂直于底边的腰OO1所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别称为圆柱、圆锥、圆台.在旋转轴上的这条边的长度称为它们的高;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为它们的底面,不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为它们的侧面,无论转到什么位置,这条边都称为侧面的母线.
(2)圆柱、圆锥、圆台用表示它的旋转轴的字母来表示,如圆柱O1O、圆锥SO、圆台O1O.
[思考3] 可以通过对几何体切割、拼组、旋转、放缩等变换得到新的几何体,类比利用棱锥来定义棱台,如何定义圆台
提示:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截得的截面与底面之间的部分称为圆台.
[思考4] 试说明圆柱、圆锥、圆台三者之间的关系.
提示:圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
知识点3 关于旋转体的截面
(1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆.
(2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
探究点一 球的有关计算
[例1] 如图所示,已知OA为球O的半径,M为线段OA上的点,且AM=2MO,过M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,B为圆M上一点,若圆M的面积为8π,则OA等于( )
A.2 B.3 C.2 D.4
求解与球的截面有关的问题,常借助球的截面的性质.
用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆,有以下性质:
(1)若平面α过球心O,则截面圆是以O为圆心的球的大圆.
(2)若平面α不过球心O,如图,设OO′⊥α,垂足为O′,记OO′=d,对于平面α与球面的任意一个公共点P,都满足OO′⊥O′P,则有O′P=,即此时截得的圆是以O′为圆心,以r=为半径的球O的小圆.
[针对训练] (1) 一个球体被两个平行平面所截,夹在两平行平面间的部分叫作球台,两平行平面间的距离叫作球台的高.西晋越窑的某个卧足杯的外形可近似看作球台,其直观图如图所示,已知杯底的直径为 2 cm,杯口直径为4 cm,杯的深度为 cm,则该卧足杯侧面所在球面的半径为( )
A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm
(2)若球的半径为2,则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为( )
A.4π B.π C.2π D.π
探究点二 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
[例2] 下列命题正确的是 .(填序号)
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球;
④用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成;
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量;
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
[针对训练] (多选题)下列命题中不正确的是( )
A.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
B.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
C.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点,则这两点的连线是圆柱的母线
探究点三 旋转体中的计算
[例3] 一个圆台的母线长为12 cm,两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2,求圆台的高.
[变式探究] (1)求本例中截得圆台的圆锥的母线长;
(2)将本例中的圆台还原为圆锥后,该圆锥内接一个高为 cm的圆柱,求圆柱的底面半径.
与圆锥(台)有关的计算问题的解题策略
(1)画出圆锥(台)的轴截面.
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系,由高、母线长、底面圆的半径长的等量关系建立等式.
(3)求解圆锥(台)的内接几何体问题,应画出其轴截面图形,借助平面几何的知识求解.
学海拾贝
平面图形生成的旋转体
[典例探究] 如图,四边形ABCD为直角梯形,试作出绕其每条边所在的直线旋转所得到的几何体.
旋转体形状的判断方法
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定,看是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹,应利用空间想象能力,或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.
(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征.
[应用探究] 一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗 如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转360°得到什么几何体
当堂检测
1.用过球面上任意两点A,B的平面截球面,所得半径最大的圆的个数可能是( )
A.有且只有一个 B.一个或无穷多个
C.无数个 D.以上均不正确
2.(多选题)下列关于球体的说法正确的是( )
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
3.圆台的两个底面的面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为180,则圆台的母线长l等于( )
A.6 B.6 C.12 D.12
4.下列给出的图形中,绕给出的轴旋转一周(如图所示),能形成圆台的是 .(填序号)
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
球的结构特征有关计算 4,5,6,7
圆柱、圆锥、圆台的结构特征 1,2,3,9
旋转体的有关计算 8,10
基础巩固
1.下列结论:①任意平面截圆柱,截面都是圆面;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线.其中正确的是( )
A.① B.② C.①② D.②③
2.(多选题)下列命题正确的是( )
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫作
棱台
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
3.已知等腰梯形ABCD,现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( )
A.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆柱、两个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱 D.两个圆柱、一个圆台
4.如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的旋转体形状为( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个棱柱
5.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的截面,则截面的面积与球的最大的截面的面积之比为( )
A.1∶4 B.1∶2 C.3∶4 D.2∶3
6.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,圆柱的高和球的半径均为2,则该圆柱的底面半径为 .
7.若球的两个平行截面的面积分别为10π和16π,且这两个截面间的距离为,则球的直径为 .
能力提升
8.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
9.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A.两个圆锥拼接而成的组合体
B.一个圆台
C.一个圆锥
D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
10.如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O′O的母线长.1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
学习目标
1.了解球、圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.掌握与球、圆柱、圆锥、圆台有关的截面问题的计算,提升数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 球
(1)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面.球面所围成的几何体称为球体,简称球.半圆的圆心称为球心(如图).连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径,连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径.球用表示它球心的字母来表示,如球O.球具有下面的性质:①球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径;②用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大,等于球的半径.
(2)一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.显然,球面是旋转面,球体是旋转体.
[思考1] 球能否由圆面旋转而成
提示:能.圆面以直径所在的直线为旋转轴,旋转半周形成的旋转体即为球.
[思考2] 球面与球体有区别吗
提示:有.球面是旋转面,球体是旋转体.
知识点2 圆柱、圆锥、圆台
(1)如图,以矩形的一边OO1、直角三角形的一条直角边SO、直角梯形垂直于底边的腰OO1所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别称为圆柱、圆锥、圆台.在旋转轴上的这条边的长度称为它们的高;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为它们的底面,不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为它们的侧面,无论转到什么位置,这条边都称为侧面的母线.
(2)圆柱、圆锥、圆台用表示它的旋转轴的字母来表示,如圆柱O1O、圆锥SO、圆台O1O.
[思考3] 可以通过对几何体切割、拼组、旋转、放缩等变换得到新的几何体,类比利用棱锥来定义棱台,如何定义圆台
提示:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截得的截面与底面之间的部分称为圆台.
[思考4] 试说明圆柱、圆锥、圆台三者之间的关系.
提示:圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
知识点3 关于旋转体的截面
(1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆.
(2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
探究点一 球的有关计算
[例1] 如图所示,已知OA为球O的半径,M为线段OA上的点,且AM=2MO,过M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,B为圆M上一点,若圆M的面积为8π,则OA等于( )
A.2 B.3 C.2 D.4
解析:由题意得圆M的半径为BM,
则π·BM2=8π,BM=2.
设球的半径为R,则MO=R,OB=R,所以 R2=R2+,所以OA=R=3.故选B.
求解与球的截面有关的问题,常借助球的截面的性质.
用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆,有以下性质:
(1)若平面α过球心O,则截面圆是以O为圆心的球的大圆.
(2)若平面α不过球心O,如图,设OO′⊥α,垂足为O′,记OO′=d,对于平面α与球面的任意一个公共点P,都满足OO′⊥O′P,则有O′P=,即此时截得的圆是以O′为圆心,以r=为半径的球O的小圆.
[针对训练] (1) 一个球体被两个平行平面所截,夹在两平行平面间的部分叫作球台,两平行平面间的距离叫作球台的高.西晋越窑的某个卧足杯的外形可近似看作球台,其直观图如图所示,已知杯底的直径为 2 cm,杯口直径为4 cm,杯的深度为 cm,则该卧足杯侧面所在球面的半径为( )
A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm
(2)若球的半径为2,则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为( )
A.4π B.π C.2π D.π
解析:(1)如图所示,作出球台的轴截面,
设球心为O,过O作OE⊥AB交AB于点E,
交CD于点F.
依题意AB=2,CD=4,EF=,
设球的半径为R cm,
则R2=DF2+OF2且R2=AE2+OE2,
即解得
即球面的半径为5 cm.故选A.
(2)设球的半径为R,则R=2,因为截面与球心距离d=,所以截面圆的半径r==1,可得截面圆的面积为S=πr2=π.故选D.
探究点二 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
[例2] 下列命题正确的是 .(填序号)
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球;
④用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
解析:①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台;③④正确.
答案:③④
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成;
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量;
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
[针对训练] (多选题)下列命题中不正确的是( )
A.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
B.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
C.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点,则这两点的连线是圆柱的母线
解析:由圆台的结构特征可知,A选项正确;直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体,不是圆锥,是由两个同底圆锥组成的几何体,B选项错误;过圆锥顶点的截面为等腰三角形,且两腰长为母线长l,设该等腰三角形顶角为θ,则截面三角形面积为S=l2sin θ,显然当θ=时,面积S最大,故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时,圆锥的轴截面面积不一定是所有过顶点的截面中面积最大的,C选项错误;根据圆柱的母线定义,在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,这两点的连线不一定是圆柱的母线,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,D选项错误.故选BCD.
探究点三 旋转体中的计算
[例3] 一个圆台的母线长为12 cm,两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2,求圆台的高.
解:圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).
由已知可得O1A=2 cm,
OB=5 cm.
又由题意知,腰长AB=12 cm,
所以高AM==3(cm).
[变式探究] (1)求本例中截得圆台的圆锥的母线长;
(2)将本例中的圆台还原为圆锥后,该圆锥内接一个高为 cm的圆柱,求圆柱的底面半径.
解:(1)如图所示,延长BA,OO1,CD,交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为l,
则由△SAO1∽△SBO可得=,
解得l=20 cm,即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
(2)如图所示,由题意可知圆锥的高为h==5(cm).
设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,
则由三角形相似,得=,
即=,解得r=4 cm.
所以圆柱的底面半径为4 cm.
与圆锥(台)有关的计算问题的解题策略
(1)画出圆锥(台)的轴截面.
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系,由高、母线长、底面圆的半径长的等量关系建立等式.
(3)求解圆锥(台)的内接几何体问题,应画出其轴截面图形,借助平面几何的知识求解.
学海拾贝
平面图形生成的旋转体
[典例探究] 如图,四边形ABCD为直角梯形,试作出绕其每条边所在的直线旋转所得到的几何体.
解:(1)以边AD所在直线为旋转轴旋转,形成的几何体是圆台,如图(a)所示.
(2)以边AB所在直线为旋转轴旋转,形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体,如图(b)所示.
(3)以边CD所在直线为旋转轴旋转,形成的几何体是一个圆柱挖掉一个同底圆锥构成的几何体,如图(c)所示.
(4)以边BC所在直线为旋转轴旋转,形成的几何体是由一个圆台挖掉一个同底(上底面)圆锥构成的几何体和一个同底(下底面)圆锥拼接而成,如图(d)所示.
旋转体形状的判断方法
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定,看是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹,应利用空间想象能力,或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.
(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征.
[应用探究] 一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗 如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转360°得到什么几何体
解:如图(1)和(2)所示,绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥.
如图(3)所示,绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥拼接而成的几何体.
如图(4)所示,绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转360°围成的几何体是两个同轴圆锥,其中大圆锥覆盖了小圆锥,所以最后得到的是一个大圆锥.
当堂检测
1.用过球面上任意两点A,B的平面截球面,所得半径最大的圆的个数可能是( B )
A.有且只有一个 B.一个或无穷多个
C.无数个 D.以上均不正确
解析:当过A,B的直线经过球心时,经过A,B的截面所得的圆都是半径最大的圆,有无数个;当直线AB不经过球心O时,经过A,B,O的截面所得的半径最大的圆,只能有一个.故选B.
2.(多选题)下列关于球体的说法正确的是( BC )
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
解析:空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面,所以A错误,B正确;
由球体的定义知C正确;球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴,所以D错误.故选BC.
3.圆台的两个底面的面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为180,则圆台的母线长l等于( D )
A.6 B.6 C.12 D.12
解析:设圆台的高为h,上、下底面的半径分别为2r,3r,
则
得r=6,h=6,l==12.故选D.
4.下列给出的图形中,绕给出的轴旋转一周(如图所示),能形成圆台的是 .(填序号)
解析:根据定义,①形成的是圆台;②形成的是球;③形成的是圆柱;④形成的是圆锥.
答案:①
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
球的结构特征有关计算 4,5,6,7
圆柱、圆锥、圆台的结构特征 1,2,3,9
旋转体的有关计算 8,10
基础巩固
1.下列结论:①任意平面截圆柱,截面都是圆面;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线.其中正确的是( B )
A.① B.② C.①② D.②③
解析:过两条母线的截面为矩形,若平面不与底面平行,截面可能是椭圆,故①错误;根据母线的定义和特点,③错误;②正确.故选B.
2.(多选题)下列命题正确的是( ACD )
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫作
棱台
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
解析:A显然正确;对于B,用一个平行于底面的平面截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台,所以B错误;对于C,圆台的所有平行于底面的截面都是圆面,C正确;对于D,圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形,D正确.故选ACD.
3.已知等腰梯形ABCD,现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( B )
A.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆柱、两个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱 D.两个圆柱、一个圆台
解析:将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形,如图所示.
由于矩形绕其一边所在直线旋转一周得到圆柱,直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥,
因此,将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,可得几何体为一个圆柱、两个圆锥.故选B.
4.如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的旋转体形状为( B )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个棱柱
解析:圆绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体是球体,中间矩形绕对称轴旋转一周所得几何体是圆柱,则平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周,所得旋转体是一个球体中间挖去一个圆柱.故选B.
5.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的截面,则截面的面积与球的最大的截面的面积之比为( C )
A.1∶4 B.1∶2 C.3∶4 D.2∶3
解析:设该球与截面圆的半径分别为R,r,则R2=()2+r2,得=.
故选C.
6.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,圆柱的高和球的半径均为2,则该圆柱的底面半径为 .
解析:设圆柱的底面半径为r,由已知有r2+12=22,所以r=.
答案:
7.若球的两个平行截面的面积分别为10π和16π,且这两个截面间的距离为,则球的直径为 .
解析:设球心为O,半径为R,
若两平面在球心同一侧,画出其截面图,如图.
设OA=d,由题可得AD=4,BC=,AB=,OD=OC=R,
则解得故球的直径为2R=6.
若两平面在球心两侧,画出其截面图,如图.
设OA=d,由题可得AD=4,BC=,AB=,OD=OC=R,
则解得d=-(不合题意舍去).
答案:6
能力提升
8.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( C )
A.2 B.2 C.4 D.4
解析:设圆锥的母线长为l,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则πl=2π×2,解得l=4.故选C.
9.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( D )
A.两个圆锥拼接而成的组合体
B.一个圆台
C.一个圆锥
D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
解析:如图所示,以AB所在直线为轴旋转一周所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.故选D.
10.如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O′O的母线长.
解:设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面,如图,
则△SO′A′∽△SOA,
SA′=3 cm,
所以=,
所以==,
解得l=9.
故圆台的母线长为9 cm.
