§2 直观图
学习目标
1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤,培养数学抽象的核心素养.
2.会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图,发展直观想象的核心素养.
3.掌握简单的几何体的直观图的还原与计算,提高逻辑推理与数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,且使
∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段长度为原来的.
(4)擦去辅助线x′轴和y′轴.
[思考1] 相等的角在直观图中还相等吗
提示:不一定.例如正方形的直观图为平行四边形,邻角不相等.
[思考2] 相等的线段的长度在直观图中相等吗
提示:不一定.
知识点2 空间几何体直观图的画法
(1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy;再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.
(2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°.x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段长度为原来的一半.
(5)擦去辅助线,并将被遮线画成虚线.
[思考3] 几何体的直观图图形唯一吗
提示:不唯一.作直观图时,由于选轴的不同,画出的直观图也不同.
[思考4] 平面图形的直观图都是实线,空间几何体的直观图也都是实线吗
提示:不一定,空间几何体中,被遮挡的部分要画为虚线.
(1)用斜二测画法画几何体的直观图时,要注意原图与直观图中的“三变、三不变”.
“三变”
“三不变”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.
探究点一 斜二测画法画平面图形的直观图
[例1] 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解:(1)如图(a)所示,取AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系.如图(b),画对应的坐标系x′O′y′,使
∠x′O′y′=45°.
(2)如图(b),以O′为中点在x′轴上取 A′B′=AB,在y轴上取 O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.
(3)如图(c),连接B′C′,D′A′,擦去辅助线,所得的四边形A′B′C′D′ 就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
(1)画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定直观图的顶点,确定顶点的位置,可借助平面直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键,常利用图形的对称性,并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
[针对训练] 画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图.
解:(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图(a)(b)所示.
(2)在x′轴上截取O′B′=OB,在y′轴上截取O′D′=OD,过点D′作x′轴的平行线l,在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′=DC.连接 B′C′,如图(b).
(3)擦去辅助线,所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图,如图(c).
探究点二 空间图形的直观图
[例2] 有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3 cm,高为3 cm,画出这个正六棱锥的直观图.
解:(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图,如图(a)所示.
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,在z′轴上截取O′V′=3 cm,画出正六棱锥的顶点V′,如图(b)所示.
(3)连接V′A′,V′B′,V′C′,V′D′,V′E′,V′F′,如图(c)所示.
(4)擦去辅助线,将被遮线画成虚线,即得到正六棱锥的直观图,如图(d)所示.
空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时,比画平面图形的直观图增加了一个z′轴,表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段,方向与长度都与原来保持一致.
[针对训练] 画底面是正方形,侧棱均与底面边长相等的四棱锥的直观图.
解:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图(a)所示.
(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出底面正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP=AB.
(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮线画成虚线,得四棱锥的直观图,如图(b)所示.
探究点三 直观图的计算与还原
[例3] (1)如图,Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图,若O′B′=,则这个平面图形的面积是( )
A.1 B.
C.2 D.4
(2)如图,四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′.已知A′B′=4,C′D′=2,则下列说法正确的是( )
A.AB=2
B.A′D′=2
C.四边形ABCD的周长为4+2+2
D.四边形ABCD的面积为6
解析:(1)法一 由题图知,△OAB为直角三角形.
因为O′B′=,所以A′B′=,O′A′=2.
所以在原△OAB中,OB=,OA=4,
∠AOB=90°,
所以S△OAB=××4=2.
故选C.
法二 由题意,△O′A′B′为等腰直角三角形,O′B′=A′B′=,
则S△O′A′B′=××=1,故原图形面积S△OAB=2·S△O′A′B′=2.
故选C.
(2)
如图,过D′作D′E⊥O′B′交O′B′于点E,
由等腰梯形A′B′C′D′且∠D′O′B′=45°,
又A′B′=4,C′D′=2,可得△A′D′E是等腰直角三角形,即A′D′=A′E=×(4-2)×=,故B错误.
还原平面图如下图,
则AB=A′B′=4,CD=C′D′=2,AD=2A′D′=2,故A错误.
过C作CF⊥AB交AB于点F,则AF=DC=2,
由勾股定理得CB==2,
故四边形ABCD的周长为4+2+2+2=6+2+2,故C错误.
四边形ABCD的面积为×(4+2)×2=6,故D正确.故选D.
(1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)由原图形求直观图的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实际图形中的高,在直观图中变为与水平直线成45°且长度为原来一半的线段,这样可得出所求图形相应的高.
[针对训练] 如图,矩形O′A′B′C′是平面图形OABC用斜二测画法画的直观图,且该直观图的面积为8,则平面图形OABC的面积为
.
解析:由题意,直观图的面积为8,因为直观图和原图形的面积之间的关系为=2,
所以原图形的面积是2×8=16.
答案:16
当堂检测
1.如图,△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图,其中O′C′=O′A′=2O′B′,则以下说法正确的是( C )
A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC是等腰三角形,但不是直角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是等边三角形
解析:因为O′C′=O′A′=2O′B′,由斜二测画法的直观图知,原图形如图,
所以原图形△ABC中,OC=OA=OB,
所以点B在以O为圆心,AC为直径的圆上,
所以△ABC是等腰直角三角形.
故选C.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( D )
A.45° B.135°
C.90° D.45°或135°
解析:因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴,故∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.故选D.
3.如图为一平面图形的直观图的大致图形,则此平面图形可能是( C )
A B
C D
解析:根据该平面图形的直观图,该平面图形为一个直角梯形,且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直.故选C.
4.在棱长为6 cm的正方体ABCDA1B1C1D1中,作直观图时,棱AA1在x轴上,棱AD在y轴上,则在其直观图中,对应棱A′D′的长为 cm,棱A′A1′ 的长为 cm.
解析:在x轴上的线段长度不变,故A′A1′=6 cm,在y轴上的线段长度变成原来的一半,故A′D′=3 cm.
答案:3 6
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
斜二测画法 1,2,3,4
直观图的计算与还原 5,6,7,8
基础巩固
1.若用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则该圆柱的高应画成( A )
A.平行于z′轴且长度为10 cm
B.平行于z′轴且长度为5 cm
C.与z′轴成45°且长度为10 cm
D.与z′轴成45°且长度为5 cm
解析:平行于z轴的线段,在直观图中平行性和长度都不变.故选A.
2.(多选题)关于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图,下列描述正确的是( CD )
A.直角三角形的直观图仍然是一个直角三角形
B.90°的角的直观图会变为45°的角
C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D.由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
解析:对于A,根据斜二测画法的特点知,直角三角形的直观图不一定是直角三角形,故A错误;对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角,故B错误;C,D显然正确.故选CD.
3.如图,已知等腰三角形ABC,则如图所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是( D )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
解析:原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,③④两图分别是△ABC在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图.故选D.
4.(多选题)关于斜二测画法,下列说法正确的是( ABC )
A.在原图中平行的直线,在对应的直观图中仍然平行
B.若一个多边形的面积为S,则在对应直观图中的面积为S
C.一个梯形的直观图仍然是梯形
D.在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直
解析:对于A,根据斜二测画法知,直观图中平行关系不会改变,
A正确;
对于B,平面多边形直观图的面积为原来平面多边形面积的,B正确;
对于C,梯形的上、下底平行且长度不相等,在直观图中,两底仍然平行,且长度不相等,
故一个梯形的直观图仍然是梯形,C正确;
对于D,空间几何体的直观图中,在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直,如长方体的长和高,D错误.故选ABC.
5.如图,是用斜二测画法画出的△AOB的直观图,则△AOB的面积是 .
解析:由题图可知O′B′=4,则对应三角形AOB中,OB=4.又和y′轴平行的线段的长度为4,则对应三角形AOB的高为8.所以△AOB的面积为×4×8=16.
答案:16
能力提升
6.(多选题)水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B′O′=
C′O′=1,A′O′=,那么△ABC是一个( AD )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边互不相等的三角形
D.面积为的三角形
解析:由题中图形知,在△ABC中,AO⊥BC.
因为A′O′=,所以AO=.
因为B′O′=C′O′=1,所以BC=2,AB=AC=2,
所以△ABC为等边三角形.所以△ABC的面积为×2×=.故选AD.
7.(多选题)如图,△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图,其中
A′B′=2,A′C′=B′C′=,则在原平面图形ABC中有( AD )
A.ACC.AC=2 D.S△ABC=4
解析:如图,在直观图△A′B′C′中,A′B′=2,A′C′=B′C′=,取A′B′中点D′,连接C′D′,
则C′D′⊥A′B′.而∠B′O′C′=45°,
于是O′D′=C′D′==2,O′A′=1,O′C′=2,
由斜二测画法规则作出△ABC,如图,
则OC=O′C′=2,OA=2O′A′=2,OB=2O′B′=6,AB=4,
AC==2,BC==2,S△ABC=OC·AB=4,
显然AC8.如图,若△A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图.已知A′B′=4,∠C′A′B′=45°,△A′B′C′的面积为 2,则△ABC中BC的长度为 .
解析:因为A′B′=4,∠C′A′B′=45°,且△A′B′C′的面积为2,所以S△A′B′C′=A′B′·A′C′·sin∠C′A′B′=2,
所以A′C′=2.
△A′B′C′的原平面图形如图所示,
所以AC=2A′C′=4,AB=4,
且AC⊥AB,
所以BC==4.
答案:4§2 直观图
学习目标
1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤,培养数学抽象的核心素养.
2.会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图,发展直观想象的核心素养.
3.掌握简单的几何体的直观图的还原与计算,提高逻辑推理与数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,且使
∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段长度为原来的.
(4)擦去辅助线x′轴和y′轴.
[思考1] 相等的角在直观图中还相等吗
提示:不一定.例如正方形的直观图为平行四边形,邻角不相等.
[思考2] 相等的线段的长度在直观图中相等吗
提示:不一定.
知识点2 空间几何体直观图的画法
(1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy;再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.
(2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°.x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段长度为原来的一半.
(5)擦去辅助线,并将被遮线画成虚线.
[思考3] 几何体的直观图图形唯一吗
提示:不唯一.作直观图时,由于选轴的不同,画出的直观图也不同.
[思考4] 平面图形的直观图都是实线,空间几何体的直观图也都是实线吗
提示:不一定,空间几何体中,被遮挡的部分要画为虚线.
(1)用斜二测画法画几何体的直观图时,要注意原图与直观图中的“三变、三不变”.
“三变”
“三不变”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.
探究点一 斜二测画法画平面图形的直观图
[例1] 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
(1)画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定直观图的顶点,确定顶点的位置,可借助平面直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键,常利用图形的对称性,并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
[针对训练] 画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图.
探究点二 空间图形的直观图
[例2] 有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3 cm,高为3 cm,画出这个正六棱锥的直观图.
空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时,比画平面图形的直观图增加了一个z′轴,表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段,方向与长度都与原来保持一致.
[针对训练] 画底面是正方形,侧棱均与底面边长相等的四棱锥的直观图.
探究点三 直观图的计算与还原
[例3] (1)如图,Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图,若O′B′=,则这个平面图形的面积是( )
A.1 B.
C.2 D.4
(2)如图,四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′.已知A′B′=4,C′D′=2,则下列说法正确的是( )
A.AB=2
B.A′D′=2
C.四边形ABCD的周长为4+2+2
D.四边形ABCD的面积为6
(1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)由原图形求直观图的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实际图形中的高,在直观图中变为与水平直线成45°且长度为原来一半的线段,这样可得出所求图形相应的高.
[针对训练] 如图,矩形O′A′B′C′是平面图形OABC用斜二测画法画的直观图,且该直观图的面积为8,则平面图形OABC的面积为
.
当堂检测
1.如图,△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图,其中O′C′=O′A′=2O′B′,则以下说法正确的是( )
A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC是等腰三角形,但不是直角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是等边三角形
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( )
A.45° B.135°
C.90° D.45°或135°
3.如图为一平面图形的直观图的大致图形,则此平面图形可能是( )
A B
C D
4.在棱长为6 cm的正方体ABCDA1B1C1D1中,作直观图时,棱AA1在x轴上,棱AD在y轴上,则在其直观图中,对应棱A′D′的长为 cm,棱A′A1′ 的长为 cm.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
斜二测画法 1,2,3,4
直观图的计算与还原 5,6,7,8
基础巩固
1.若用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则该圆柱的高应画成( )
A.平行于z′轴且长度为10 cm
B.平行于z′轴且长度为5 cm
C.与z′轴成45°且长度为10 cm
D.与z′轴成45°且长度为5 cm
2.(多选题)关于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图,下列描述正确的是( )
A.直角三角形的直观图仍然是一个直角三角形
B.90°的角的直观图会变为45°的角
C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D.由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
3.如图,已知等腰三角形ABC,则如图所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
4.(多选题)关于斜二测画法,下列说法正确的是( )
A.在原图中平行的直线,在对应的直观图中仍然平行
B.若一个多边形的面积为S,则在对应直观图中的面积为S
C.一个梯形的直观图仍然是梯形
D.在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直
5.如图,是用斜二测画法画出的△AOB的直观图,则△AOB的面积是 .
能力提升
6.(多选题)水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B′O′=
C′O′=1,A′O′=,那么△ABC是一个( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边互不相等的三角形
D.面积为的三角形
7.(多选题)如图,△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图,其中
A′B′=2,A′C′=B′C′=,则在原平面图形ABC中有( )
A.ACC.AC=2 D.S△ABC=4
8.如图,若△A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图.已知A′B′=4,∠C′A′B′=45°,△A′B′C′的面积为 2,则△ABC中BC的长度为 .
