人教版九年级数学下册 27.1 图形的相似 课时训练（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册 27.1 图形的相似 课时训练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-11 10:00:53 | ||
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文档简介
九年级数学下册第二十七章第1节《图形的相似》课时训练
一、单选题
1．一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为（ ）
A．3 B． C．3 D．
2．如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，则
A． B． C．4 D．
6．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（ ）
A． B． C． D．
8．如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平：再一次折叠，使点D落到上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（ ）
A． B． C． D．
10．线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
11．如图，在矩形中，，．点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则的长为 ．
12．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝ ．
13．如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．
14．如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
16．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；……按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，……，则的值为 ．
17．如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为 ．
18．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）．
三、解答题
19．已知线段a、b满足，且．
(1)求线段a、b的长；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
20．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
21．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
22．如图，a∥b∥c．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．
（1）若AB=3，BC=5，DE=4，求EF的长；
（2）若AB：BC=2：5，DF=10，求EF的长．
23．在的矩形花坛四周修筑小路．
(1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由；
(2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由．
24．如图，△ABC中，于点D，E是AB上一点，连接DE，．
(1)求证；
(2)若，，求证；
(3)若，，则的值为______（用含m，k的式子表示）．
25．【探究与应用】
问题：如图①所示，是的角平分线．求证：．
(1)【解决问题的方法】善于思考的小安发现：过点作交的延长线于点，如图②，通过两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例的推论，可以解决问题．请证明：．
(2)【应用提升】请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形中，，，，平分，，与相交于点．求和的值．
26．如图1，是等腰直角三角形，，先将边沿过点B的直线l对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，当点D在的斜边上时，请直接写出用表示的关系式；
(3)如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且的面积为10，求的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1-10 BDBCB BDCAC
11．/
12．/
13．1.5或9
14．/
15．
16．
17．
18．
19．（1）解：，
设，，
，
，
，
，，
线段的长为18，线段的长为12．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为．
20．（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AEFG是菱形，ABCD是菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴GD＝．
21．（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，
∴AE＝，BP＝AB＝1，
∴
∴EP＝2
∴
∴GD＝．
22．解：（1）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EF；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EF即可．
试题解析：（1）∵a∥b∥c，
∴，即，
解得；
（2）∵a∥b∥c，
∴，
∴，
解得．
23．（1）解：不相似，理由如下：
如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似；
设四周的小路的宽为x，
∵，，
∴，
∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似；
（2）解：当小路的宽x与y的比值为时，
矩形和矩形相似．
理由如下：
当矩形和矩形相似时，解得
所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似．
24．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴＝2（90°－∠C），
∴；
（2）证明：如图1，在BD上取点F，使，则CF＝2CD，连接AF，过点B作AF的平行线与DE延长线交于点G．
∵，，
∴AD垂直平分CF，
∴，
∴△AFC是等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠C＝∠GBD，
又∵，
∴（ASA），
∴，，
∴，
∵，，
∴∠C＝∠BEG，
∴，
∴，
∴BE＝CF，
∵，
∴．
（3）解：如图2，在BD上取点M，使DM＝DC，连接AM，过点E作EHAM与 BD交于点H．
∵DM＝CD，，，
∴AD垂直平分MC，
∴AM＝AC，
∴△AMC是等腰三角形，
∴∠MAC＝2∠CAD，∠AMC＝∠C，
∵，
∴∠MAC＝∠BDE，
∵EHAM，
∴∠EHD＝∠AMC＝∠C，
∴∠EHD＋∠BDE＋∠HED＝180°，∠AMC＋∠MAC＋∠C＝180°，
∴∠HED＝∠C，
∴∠HED＝∠EHD，
∴△DEH是等腰三角形，
∴DE＝DH，
∵EHAM，，
∴，
∴，
∵，
∴BH＋HM＝BH＋kBH＝（k＋1）BH，BH＋HM＝BD－DM＝BD－CD＝mCD－CD＝（m-1）CD，
∴（k＋1）BH＝（m-1）CD，
∴BH＝，HM＝，
∴DE＝DH＝HM＋DM＝＋CD＝，
∴＝，
即＝
故答案为：．
25．（1）证明：交的延长线于点E，
∴，．
又是的平分线，
，
，
，
．
（2）（2）平分，，
，，
．
，
，，
，
．
过点A作于点E，如图③
，
，
．
，
，
．
26．（1）证明：∵边沿过点B的直线l对折得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，
设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为（ ）
A．3 B． C．3 D．
2．如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，则
A． B． C．4 D．
6．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（ ）
A． B． C． D．
8．如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平：再一次折叠，使点D落到上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（ ）
A． B． C． D．
10．线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
11．如图，在矩形中，，．点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则的长为 ．
12．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝ ．
13．如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．
14．如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
16．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；……按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，……，则的值为 ．
17．如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为 ．
18．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）．
三、解答题
19．已知线段a、b满足，且．
(1)求线段a、b的长；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
20．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
21．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
22．如图，a∥b∥c．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．
（1）若AB=3，BC=5，DE=4，求EF的长；
（2）若AB：BC=2：5，DF=10，求EF的长．
23．在的矩形花坛四周修筑小路．
(1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由；
(2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由．
24．如图，△ABC中，于点D，E是AB上一点，连接DE，．
(1)求证；
(2)若，，求证；
(3)若，，则的值为______（用含m，k的式子表示）．
25．【探究与应用】
问题：如图①所示，是的角平分线．求证：．
(1)【解决问题的方法】善于思考的小安发现：过点作交的延长线于点，如图②，通过两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例的推论，可以解决问题．请证明：．
(2)【应用提升】请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形中，，，，平分，，与相交于点．求和的值．
26．如图1，是等腰直角三角形，，先将边沿过点B的直线l对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，当点D在的斜边上时，请直接写出用表示的关系式；
(3)如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且的面积为10，求的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1-10 BDBCB BDCAC
11．/
12．/
13．1.5或9
14．/
15．
16．
17．
18．
19．（1）解：，
设，，
，
，
，
，，
线段的长为18，线段的长为12．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为．
20．（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AEFG是菱形，ABCD是菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴GD＝．
21．（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，
∴AE＝，BP＝AB＝1，
∴
∴EP＝2
∴
∴GD＝．
22．解：（1）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EF；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EF即可．
试题解析：（1）∵a∥b∥c，
∴，即，
解得；
（2）∵a∥b∥c，
∴，
∴，
解得．
23．（1）解：不相似，理由如下：
如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似；
设四周的小路的宽为x，
∵，，
∴，
∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似；
（2）解：当小路的宽x与y的比值为时，
矩形和矩形相似．
理由如下：
当矩形和矩形相似时，解得
所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似．
24．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴＝2（90°－∠C），
∴；
（2）证明：如图1，在BD上取点F，使，则CF＝2CD，连接AF，过点B作AF的平行线与DE延长线交于点G．
∵，，
∴AD垂直平分CF，
∴，
∴△AFC是等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠C＝∠GBD，
又∵，
∴（ASA），
∴，，
∴，
∵，，
∴∠C＝∠BEG，
∴，
∴，
∴BE＝CF，
∵，
∴．
（3）解：如图2，在BD上取点M，使DM＝DC，连接AM，过点E作EHAM与 BD交于点H．
∵DM＝CD，，，
∴AD垂直平分MC，
∴AM＝AC，
∴△AMC是等腰三角形，
∴∠MAC＝2∠CAD，∠AMC＝∠C，
∵，
∴∠MAC＝∠BDE，
∵EHAM，
∴∠EHD＝∠AMC＝∠C，
∴∠EHD＋∠BDE＋∠HED＝180°，∠AMC＋∠MAC＋∠C＝180°，
∴∠HED＝∠C，
∴∠HED＝∠EHD，
∴△DEH是等腰三角形，
∴DE＝DH，
∵EHAM，，
∴，
∴，
∵，
∴BH＋HM＝BH＋kBH＝（k＋1）BH，BH＋HM＝BD－DM＝BD－CD＝mCD－CD＝（m-1）CD，
∴（k＋1）BH＝（m-1）CD，
∴BH＝，HM＝，
∴DE＝DH＝HM＋DM＝＋CD＝，
∴＝，
即＝
故答案为：．
25．（1）证明：交的延长线于点E，
∴，．
又是的平分线，
，
，
，
．
（2）（2）平分，，
，，
．
，
，，
，
．
过点A作于点E，如图③
，
，
．
，
，
．
26．（1）证明：∵边沿过点B的直线l对折得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，
设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴．
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