沪教版八年级数学下册 22.3.1 特殊的平行四边形--矩形（含解析）

22.3.1 特殊的平行四边形--矩形
一、单选题
1．下列性质中,矩形具有而一般平行四边形不具有的是（ ）．
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行
2．如图，矩形ABCD的对角线，则BD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．如图，矩形的对角线、相交于点，，，则矩形的对角线长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
5．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°
C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD
6．已知四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，那么这个四边形是（ ）
A．是中心对称图形，但不是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
7．如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
9．如图，在矩形中，，E是的中点，于点F，则的长是（　　）
A．1 B． C． D．2
10．如图，在矩形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△AEC，过点E作EF⊥DC于点F，连结AF，若AD=DF，S△AEF=3，S△ACF=5，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
二、填空题
11．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为 ．
12．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC= ．
13．如图，在矩形ABCD中，，，平分，，则 ．
14．矩形ABCD中，对角线AC=10㎝，两邻边长度之比AB:BC是3:4，那么= ㎝ ．
15．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号） ．
16．如图，延长矩形的边至点，使，若，则 ．
17．如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，连接，若，，则 ， ．
18．如图，矩形的对角线相交于点O，，，点在对角线上，P是的中点，的最小值是 ．

三、解答题
19．已知：如图，四边形是矩形，，对角线与相交于点O．
求证：
（1）；
（2）．
20．如图 ABCD，四个内角的平分线相交于E、F、G、H四个点；
求证：四边形EFGH是矩形．
21．如图，在中，为边上的中线，延长至E，使，连接，．
（1）试判断四边形的形状；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？
22．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
23．如图，矩形ABCD的对角线相交于点，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点在上，连接，若，求的面积．
24．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为．
(1)用含t的代数式表示 ；
(2)若四边形为矩形，求t的值；
(3)是否存在t值，使线段的长为？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
25．如图，在矩形中，是边上一点，连接，过点作交于点，连接．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，若恰好是边的中点，求证：．
(3)在（2）的条件下，当，时，求的值．
26．如图，在矩形中，，，点E是上一点.将沿折叠后，得到.点F在矩形内部，延长交于点G.

(1)如图①，当点E是中点时，求的长；
(2)如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证：；
(3)如图③，在矩形中，当点F落在矩形对角线上时，的长是
27．如图1，点是矩形边上一点（不与点，重合），直线与的延长线交于点．将沿直线折叠得到，点在矩形的内部，延长交直线于点．

(1)证明：；
(2)如图2，连接，若，，求周长的最小值；
(3)如图3，连接交于点，点是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
答案
一、单选题
1．C
【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
【解析】解：∵矩形的对边相等，对角相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选C．
2．D
【分析】根据矩形的性质可知AC=BD且AO=CO，根据AO=3，求出AC，进一步求BD即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC，
∵AO=3cm，
∴AC=2AO=6cm，
∴BD=6cm．
故选：D．
3．C
【分析】根据矩形性质得出，，，，推出，求出等边三角形，求出，即可得出答案．
【解析】，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，．
故选C．
4．B
【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解．
【解析】解：在矩形ABCD中，OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，
∴∠ADO=55°，
∵，即∠AED=90°，
∴∠DAE=35°．
故选：B
5．C
【解析】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴A正确；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B正确；
∵∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴C不正确；
如图所示：
在和中，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又 ∴四边形ABCD是矩形，
∴D正确；
故选：C
6．C
【分析】先根据已知条件OA=OB=OC=OD，可知四边形ABCD的对角线相等且互相平分，得出四边形ABCD是矩形，然后根据矩形的对称性，得出结果．
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD的对角线相交于点O且OA=OB=OC=OD，
∴OA=OC，OB=OD；AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：C．
7．A
【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵对角线上的两点、满足，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
故选：A．
8．B
【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可．
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】延长交于点M，可证得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
【解析】解：如图，延长交于点M，
∵E是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故选：C
10．B
【分析】过点E作EG垂直AD延长线于点G，然后通过已知三角形的面积得到EF和FC的比值，从而设EF和FC的长度分别为3b和5b，AD和DF的长度为a，然后利用Rt△GEA，Rt△EFC，Rt△CEA，Rt△DAC中的勾股定理得到a与b的关系，再利用△AEF的面积求出a和b的值，最后求矩形ABCD的面积．
【解析】解：过点E作EG⊥AD交AD的延长线与G
∵EF⊥DC
∴ ，
∵DF=AD
∴EF：CF=3∶5
设EF=3b，CF=5b，AD=DF=a
∵∠G=90°，∠EFD=90°，∠GDF=90°
∴四边形EFDG是矩形
∴GE=DF=a，GD=EF=3b
在Rt△GEA中，
在Rt△EFC中，
在Rt△CEA中，
∴
=
=
在Rt△DAC中，
∴=
∴
∵b>0
∴
∴
∴
∴a=
∴
故选：B．
二、填空题
11．24
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．
【解析】解：如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，AC，BD是对角线，
∴AC=BD，
OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC，
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
OA＝OB＝AB＝12cm，
则BD＝2OB＝2×12＝24（cm），
故答案为24．
12．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OD，然后判断出△AOD是等边三角形，再根据勾股定理解答即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD＝AC＝×12＝6，∠ADC=90°，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OA＝6，
∴．
故答案为：．
13．1.5.
【分析】根据题意画出图形,由题意得出△CDF是等腰直角三角形即可得出DF的长,从而得出AF．
【解析】由题意画出图形如下:
∵ABCD是矩形,
∴AD=BC=5cm,CD=AB=3.5cm,
∵AE平分∠BAD,CF∥AE,
∴△ABE和△CDF是等腰直角三角形,
∴DF=CD=3.5cm,
∴AF=AD－AF=1.5cm．
故答案为:1.5．
14．48
【分析】根据题意，画出图形，设AB=3xcm,BC=4xcm，根据勾股定理列出方程即可求出x，从而求出AB和BC，最后根据矩形的面积公式计算即可．
【解析】解：如下图所示，设AB=3xcm,BC=4xcm，
根据勾股定理AB2＋BC2=AC2
即，
解得：x=2或-2（不符合实际，舍去）
∴AB=6cm，BC=8cm
∴=cm2
故答案为：48．
15．③
【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解析】①∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
②，
不能判定四边形ABCD是矩形，不符合题意；
③∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
④，
不能推出四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故答案为：③．
16．15°
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD=AD,AB=CD，
∴△ABD≌△DCA，
∴∠ADB=∠CAD=30°，
∵AD∥BE，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，
故答案为：15°．
17．
【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．设交于H，，，根据勾股定理得到，，解得，，然后根据三角形的面积求出解题即可．
【解析】解：设交于H，如图：
设，，
∵沿折叠得到，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴①，
在中，，
∴②，
①②联立解得，或（舍去），
∴，，
∴；
，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，．
18．
【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．取的中点F，再作B关于的对称点H，与交于点G，连接，求出，再利用三角形的三边关系可得答案．
【解析】解：取的中点F，作直线，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
作点B关于直线的对称点H，连接交直线于点G，连接，

∵垂直平分，
∴，，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴PO+PB的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
19．证明：（1）∵四边形是矩形，
∴（矩形的对角相等），
（矩形的对边平行）．
∴．
又∵，
∴．
∴；
（2）∵四边形是矩形，
∴（矩形的对边相等）．
在和中，
∵，，
∴．
∴．
20．解：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，
∴∠GAB=∠BAD，∠GBA=∠ABC，
∵ ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠GAB+∠GBA=（∠DAB+∠ABC）=90°，
即∠AGB=90°，
同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，
∴四边形EFGH是矩形．
21．解：（1）四边形ABEC是平行四边形；理由如下：
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵DE＝AD，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
（2）当∠BAC＝90°，四边形ABEC是矩形；理由如下：
∵四边形ABEC是平行四边形，∠BAC＝90°，
∴四边形ABEC是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝5．
23．（1）证明：，
，
，
∵在矩形ABCD中，
∴，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：∵在矩形中，，
，
．
由（1）可知，，
，
，
，
．
24．（1）∵动点P从点A开始沿边以的速度运动，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
由题意得，， ，
当四边形为矩形时，，
∴，
∴．
（3）当时，如图1，过点Q作于E，
∴，，
当时，，
∴，
解得：；
当时，如图2，过点Q作于E，
∴，
当时，，
∴，
解得：；
∴或9．
25．（1）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
．
∵，
，
，
；
（2）证明：如图，延长交于点M，
在矩形中，，
∴，
∴E点为的中点，
∴，
，
，
，
∴，
∴C是的中点，
∵，
．
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
，
∴，，
∴．
26．（1）连接，如图①，
∵是的中点，
∴，
∵沿折叠后，得到，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
即；
（2）延长交的延长线于点，如图②，
∵四边形是平行四边形，
∴,
∴，
∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，，
∴
∴，即；
（3）如图③，在中，，
即，
由折叠得,，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，，
即．
故答案为：．
27．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴；
（2）解：由折叠得，，
∴的周长为，
如图1，连接，，

∵，
∴当点恰好位于对角线上时，最小，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，
∴周长的最小值为；
（3）解：与HG的数量关系是，理由如下：
如图2，由折叠可知，，，过点作，交于点．

∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∵，即，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵点为中点，点是中点，
∴，．
∴．
∴，
∴．