人教版数学五年级下册：分解质因数
一、填空题
1．（2024.9.22重庆市西南大学附属中学数学竞赛选拔）两个正整数的乘积是7776，这两个数字中没有一个有6作为因子，这两个数字的差是 .
【答案】211
【知识点】分解质因数
【解析】【解答】解：分解7776的质因数：
7776=25×35
根据题干信息，可知
一个数包含所有2的因子，即25=32
另一个数包含所有3的因子，即35=243
因此，两个数的差为：243 32=211
故答案为：211
【分析】将给定的乘积分解为其质因数的乘积，然后根据题目条件筛选符合条件的组合。此题中的条件为乘积为7776，且两个数均不含有6作为因子。由于6的因子包含2和3，这意味着两个数都不能同时包含2和3的因子。
2．（2024.9.14重庆市两江巴蜀中学小升初数学练习题）甲乙是两个不同的自然数。它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们的最大公约数是12。求甲乙两数之和是 。
【答案】204
【知识点】分解质因数；公因数与最大公因数；约分的认识与应用
【解析】【解答】解：12=22×3，甲、乙至少含有两个2和一个3.
因为甲、乙有12个约数，12=2×6=3×4，
由约数个数定理得，甲、乙可能是25×3、22×33或32×23， 即甲、乙可能是96、108、 72， .
因为这两个数不相同，并且最大公因数是12，所以可以得出甲、乙只能是96和108或108和96，
故甲+乙=96+ 108= 204.
答：甲乙两数之和是204。
故答案为：204
【分析】先根据题目条件知道甲乙两数都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，确定两数取值范围96、108、 72，再根据题目给出的最大公约数是12的条件，进一步确定甲乙两数的具体值。最后求出甲乙两数之和即可.
3．（2022六下·陆丰竞赛）一个学生在做两位数乘以两位数乘法时，把其中一个乘数的个位数字8误看成6，得出的乘积是756，正确的乘积是 。
【答案】798
【知识点】分解质因数；两位数乘两位数的笔算乘法（进位）
【解析】【解答】解：756=2×2×3×3×3×7=36×21
所以看错的乘数是36，原来正确的乘数是38
所以正确的乘积是：38×21=798
故答案为：798。
【分析】把错误的乘积756分解质因数，再把质因数自由组合成两个两位数，使其中一个两位数的个位上是6。由此可以找出错误的乘数，然后再将正确的两个乘数相乘即可求出乘积。
4．（2022六下·陆丰竞赛）自然数A分解质因数是A＝a×a×a×b×b×c，a、b、c是不同的质数，A总共有 个因数。
【答案】24
【知识点】因数的特点及求法；合数与质数的特征；分解质因数
【解析】【解答】解：A的因数个数为：(3+1)×(2+1)×(1+1)
=4×3×2
=24(个)
故答案为：24。
【分析】一个数的因数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。自然数A分解质因数后，其中质因数a有3个，质因数b有2个，质因数c有1个，根据求因数个数的计算公式可知，A的因数有(3+1)×(2+1)×(1+1)个。
5．（2021六下·竞赛）100!=1×2×3×...×100，将100！分解质因数，其中有 个质因数的指数为奇数。（注：ab中，b称为指数）
【答案】17
【知识点】分解质因数
6．（2021六下·竞赛）如果一个自然数的最大因数等于它其他全部因数的积，我们称这样的自然数为“单纯数”。2~100之间的“单纯数”有 个。
【答案】32
【知识点】定义新运算；分解质因数
7．（2022六下·陆丰竞赛）10500的约数共有 个。
【答案】48
【知识点】约数个数与约数和定理；因数的特点及求法；分解质因数
【解析】【解答】解：10500=2×2×3×5×5×5×7=22×31×53×71，
所以，10500的约（因）数个数为：
（2+1）×（1+1）×（3+1）×（1+1）=48。
故答案为：48。
【分析】求一个数的约（因）数，首先求这个数的所有质数，将10500分成：2×2×3×5×5×5×7，因为10500的约数由它的质因数自由组合相乘而组成，据此解答。
二、解决问题
8．三个连续偶数的积是480，这三个连续偶数的和是多少？ .
【答案】480=2×2×2×2×2×3×5=(2×3)×(2×2×2)×(2×5)=6×8×10，
所以这三个连续偶数的和为6+8+10= 24
【知识点】分解质因数
9．（2022六上·竞赛）一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【答案】解：310-37=273
273=3×7×13
所求的两位数因数还要满足比37大，符合条件的有39，91。
答：这个两位数是39或91。
【知识点】分解质因数；万以内的有余数除法
【解析】【分析】用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数，再将这个数进行分解质因数，找出符合条件的因数，结合除数比余数大，进行排除找出符合条件的数即可。
10．（2022六上·竞赛）两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少？
【答案】解：111555=3×3×5×37×67=（3×3×37）×（5×67）=333×335，
这两个奇数为333和335，和为 668。
【知识点】分解质因数
【解析】【分析】本题考查的是分解质因数。要注意一些技巧，例如本题中的 111=3×37。
11．（2024·期末）四个连续自然数的乘积是11 880，求这四个数。
【答案】11 880=2×2×2×3×3×3×5×11
11 880的质因数中11比较大，从11入手，只能有8、9、10、11或9、10、11、12，前者不成立，那么这四个数是9、10、11、12。
【知识点】数字问题；分解质因数
12．有三个自然数a、b、c，已知a×b= 35，b×c=63，a×c=45，求a×b×c的积。
【答案】35=5×7，
63=7×9，
45=5×9，
所以a=5，b=7，c=9，
a×b×c=5×7×9=315
【知识点】分解质因数
13．有4名小朋友，他们的年龄恰好为连续的自然数，同时4个人的年龄之积是1 680。这4名小朋友的年龄分别是多少？
【答案】解：把1680分解质因数：1680＝2×2×2×2×3×5×7
再把这些质数凑成四个连续的自然数的乘积：
2×2×2×2×3×5×7＝5×6×7×8
答：这四名小朋友的年龄分别是5岁、6岁、7岁、8岁。
【知识点】年龄问题；分解质因数
【解析】【分析】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，首先根据分解质因数的方法，把1680分解质因数，然后把它的质因数适当调整计算即可。
14．（2022六上·竞赛）求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数。
【答案】解：为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．
设这个数分解质因数之后为 ，
由于 是完全平方数，则 、 、 都是2的倍数；
同理可知 、 、 是3的倍数， 、 、 是5的倍数。
所以， 是3和5的倍数，且除以2余1；
是2和5的倍数，且除以3余2；
是2和3的倍数，且除以5余4．
可以求得 、 、 的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为 。
答： 这个数为
【知识点】完全平方数；分解质因数
【解析】【分析】自然数乘以2、3、5后分别是完全平方数、完全立方数、5次方数，这意味着这个数的质因子只能是2、3、5，且它们的次数需要满足一定的条件。设这个数分解质因数之后为，根据题目给出的几个条件，推理出a、b、c各自是哪些数的公倍数，分别求其最小值即可。
15．（2022六上·竞赛）三个连续自然数的乘积是，求这三个数是多少？
【答案】解：210=2×3×5×7 ，这三个连续自然数是5、6和7。
【知识点】分解质因数
【解析】【分析】先把210分解质因数，然后根据质因数之间的关系找到三个连续的自然数。
16．（2022六上·竞赛）三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数。
【答案】解：设这三个质数分别是 a 、 b 、 c ，满足abc=7（a+b+c） ，则可知 a 、 b 、 c 中必有一个为7，不妨记为 a ，那么bc=7+b+c ，整理得（b-1）（c-1）=8 ，又 8=1×8=2×4 ，对应的 b 2、 c 9（舍去）或 b 3、 c=5，所以这三个质数可能是3，5，7。
【知识点】合数与质数的特征；分解质因数
【解析】【分析】设这三个质数分别是a、b、c，据此得到abc=7(a+b+c) ，因为三个质数的乘积恰好等于它们和的7倍，所以可知 a 、 b 、 c 中必有一个为7，可以设其中一个数，然后这个质数的之间的关系得到这三个质数。
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一、填空题
1．（2024.9.22重庆市西南大学附属中学数学竞赛选拔）两个正整数的乘积是7776，这两个数字中没有一个有6作为因子，这两个数字的差是 .
2．（2024.9.14重庆市两江巴蜀中学小升初数学练习题）甲乙是两个不同的自然数。它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们的最大公约数是12。求甲乙两数之和是 。
3．（2022六下·陆丰竞赛）一个学生在做两位数乘以两位数乘法时，把其中一个乘数的个位数字8误看成6，得出的乘积是756，正确的乘积是 。
4．（2022六下·陆丰竞赛）自然数A分解质因数是A＝a×a×a×b×b×c，a、b、c是不同的质数，A总共有 个因数。
5．（2021六下·竞赛）100!=1×2×3×...×100，将100！分解质因数，其中有 个质因数的指数为奇数。（注：ab中，b称为指数）
6．（2021六下·竞赛）如果一个自然数的最大因数等于它其他全部因数的积，我们称这样的自然数为“单纯数”。2~100之间的“单纯数”有 个。
7．（2022六下·陆丰竞赛）10500的约数共有 个。
二、解决问题
8．三个连续偶数的积是480，这三个连续偶数的和是多少？ .
9．（2022六上·竞赛）一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
10．（2022六上·竞赛）两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少？
11．（2024·期末）四个连续自然数的乘积是11 880，求这四个数。
12．有三个自然数a、b、c，已知a×b= 35，b×c=63，a×c=45，求a×b×c的积。
13．有4名小朋友，他们的年龄恰好为连续的自然数，同时4个人的年龄之积是1 680。这4名小朋友的年龄分别是多少？
14．（2022六上·竞赛）求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数。
15．（2022六上·竞赛）三个连续自然数的乘积是，求这三个数是多少？
16．（2022六上·竞赛）三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数。
答案解析部分
1．【答案】211
【知识点】分解质因数
【解析】【解答】解：分解7776的质因数：
7776=25×35
根据题干信息，可知
一个数包含所有2的因子，即25=32
另一个数包含所有3的因子，即35=243
因此，两个数的差为：243 32=211
故答案为：211
【分析】将给定的乘积分解为其质因数的乘积，然后根据题目条件筛选符合条件的组合。此题中的条件为乘积为7776，且两个数均不含有6作为因子。由于6的因子包含2和3，这意味着两个数都不能同时包含2和3的因子。
2．【答案】204
【知识点】分解质因数；公因数与最大公因数；约分的认识与应用
【解析】【解答】解：12=22×3，甲、乙至少含有两个2和一个3.
因为甲、乙有12个约数，12=2×6=3×4，
由约数个数定理得，甲、乙可能是25×3、22×33或32×23， 即甲、乙可能是96、108、 72， .
因为这两个数不相同，并且最大公因数是12，所以可以得出甲、乙只能是96和108或108和96，
故甲+乙=96+ 108= 204.
答：甲乙两数之和是204。
故答案为：204
【分析】先根据题目条件知道甲乙两数都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，确定两数取值范围96、108、 72，再根据题目给出的最大公约数是12的条件，进一步确定甲乙两数的具体值。最后求出甲乙两数之和即可.
3．【答案】798
【知识点】分解质因数；两位数乘两位数的笔算乘法（进位）
【解析】【解答】解：756=2×2×3×3×3×7=36×21
所以看错的乘数是36，原来正确的乘数是38
所以正确的乘积是：38×21=798
故答案为：798。
【分析】把错误的乘积756分解质因数，再把质因数自由组合成两个两位数，使其中一个两位数的个位上是6。由此可以找出错误的乘数，然后再将正确的两个乘数相乘即可求出乘积。
4．【答案】24
【知识点】因数的特点及求法；合数与质数的特征；分解质因数
【解析】【解答】解：A的因数个数为：(3+1)×(2+1)×(1+1)
=4×3×2
=24(个)
故答案为：24。
【分析】一个数的因数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。自然数A分解质因数后，其中质因数a有3个，质因数b有2个，质因数c有1个，根据求因数个数的计算公式可知，A的因数有(3+1)×(2+1)×(1+1)个。
5．【答案】17
【知识点】分解质因数
6．【答案】32
【知识点】定义新运算；分解质因数
7．【答案】48
【知识点】约数个数与约数和定理；因数的特点及求法；分解质因数
【解析】【解答】解：10500=2×2×3×5×5×5×7=22×31×53×71，
所以，10500的约（因）数个数为：
（2+1）×（1+1）×（3+1）×（1+1）=48。
故答案为：48。
【分析】求一个数的约（因）数，首先求这个数的所有质数，将10500分成：2×2×3×5×5×5×7，因为10500的约数由它的质因数自由组合相乘而组成，据此解答。
8．【答案】480=2×2×2×2×2×3×5=(2×3)×(2×2×2)×(2×5)=6×8×10，
所以这三个连续偶数的和为6+8+10= 24
【知识点】分解质因数
9．【答案】解：310-37=273
273=3×7×13
所求的两位数因数还要满足比37大，符合条件的有39，91。
答：这个两位数是39或91。
【知识点】分解质因数；万以内的有余数除法
【解析】【分析】用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数，再将这个数进行分解质因数，找出符合条件的因数，结合除数比余数大，进行排除找出符合条件的数即可。
10．【答案】解：111555=3×3×5×37×67=（3×3×37）×（5×67）=333×335，
这两个奇数为333和335，和为 668。
【知识点】分解质因数
【解析】【分析】本题考查的是分解质因数。要注意一些技巧，例如本题中的 111=3×37。
11．【答案】11 880=2×2×2×3×3×3×5×11
11 880的质因数中11比较大，从11入手，只能有8、9、10、11或9、10、11、12，前者不成立，那么这四个数是9、10、11、12。
【知识点】数字问题；分解质因数
12．【答案】35=5×7，
63=7×9，
45=5×9，
所以a=5，b=7，c=9，
a×b×c=5×7×9=315
【知识点】分解质因数
13．【答案】解：把1680分解质因数：1680＝2×2×2×2×3×5×7
再把这些质数凑成四个连续的自然数的乘积：
2×2×2×2×3×5×7＝5×6×7×8
答：这四名小朋友的年龄分别是5岁、6岁、7岁、8岁。
【知识点】年龄问题；分解质因数
【解析】【分析】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，首先根据分解质因数的方法，把1680分解质因数，然后把它的质因数适当调整计算即可。
14．【答案】解：为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．
设这个数分解质因数之后为 ，
由于 是完全平方数，则 、 、 都是2的倍数；
同理可知 、 、 是3的倍数， 、 、 是5的倍数。
所以， 是3和5的倍数，且除以2余1；
是2和5的倍数，且除以3余2；
是2和3的倍数，且除以5余4．
可以求得 、 、 的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为 。
答： 这个数为
【知识点】完全平方数；分解质因数
【解析】【分析】自然数乘以2、3、5后分别是完全平方数、完全立方数、5次方数，这意味着这个数的质因子只能是2、3、5，且它们的次数需要满足一定的条件。设这个数分解质因数之后为，根据题目给出的几个条件，推理出a、b、c各自是哪些数的公倍数，分别求其最小值即可。
15．【答案】解：210=2×3×5×7 ，这三个连续自然数是5、6和7。
【知识点】分解质因数
【解析】【分析】先把210分解质因数，然后根据质因数之间的关系找到三个连续的自然数。
16．【答案】解：设这三个质数分别是 a 、 b 、 c ，满足abc=7（a+b+c） ，则可知 a 、 b 、 c 中必有一个为7，不妨记为 a ，那么bc=7+b+c ，整理得（b-1）（c-1）=8 ，又 8=1×8=2×4 ，对应的 b 2、 c 9（舍去）或 b 3、 c=5，所以这三个质数可能是3，5，7。
【知识点】合数与质数的特征；分解质因数
【解析】【分析】设这三个质数分别是a、b、c，据此得到abc=7(a+b+c) ，因为三个质数的乘积恰好等于它们和的7倍，所以可知 a 、 b 、 c 中必有一个为7，可以设其中一个数，然后这个质数的之间的关系得到这三个质数。
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