【精品解析】人教版数学五年级下册:最大公因数与最小公倍数

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名称 【精品解析】人教版数学五年级下册:最大公因数与最小公倍数
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-02-06 18:02:12

文档简介

人教版数学五年级下册:最大公因数与最小公倍数
一、基础训练
1.(2023·七中)在 a 与 b 两个整数中, a 的所有的质因数2、3、5、7、11 , b的所有质因数是 2、3、7、13 , 那么 a 与 b 的最大公约数是(  )
A.210 B.6 C.55 D.42
【答案】D
【知识点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解: a 与 b 的最大公约数 是。
故答案为:D。
【分析】将a,b公共的质因数相乘即可。
2.(2022六下·陆丰竞赛)甲数是36,甲、乙两数的最大公因数是4,最小公倍数是252,乙数是   。
【答案】28
【知识点】公因数与最大公因数;公倍数与最小公倍数
【解析】【解答】解:252×4÷36
=1008÷36
=28。
故答案为:28。
【分析】乙数=甲、乙两数的最小公倍数×甲、乙两数的最大公因数÷甲数。
3.(2020六上·陆丰竞赛)数A=2×2×3×5,数B=2×3×3×5.数A、B的最大公因数是   ,最小公倍数是   。
【答案】30;180
【知识点】公因数与最大公因数;公倍数与最小公倍数
【解析】【解答】解: 数A、B的最大公因数:2×3×5=30;
最小公倍数是: 2×2×3×3×5=180。
故答案为:30;180。
【分析】最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积,
4.(2024·曲靖)a=2×m×7,b=2×11×m,a、b两数的最小公倍数770,a、b两数的最大公因数是   。
【答案】10
【知识点】公因数与最大公因数;公倍数与最小公倍数
【解析】【解答】解:770÷(7×11)
=770÷77
=10。
故答案为:10。
【分析】A和B的最大公因数=A和B公有的质因数相乘;A和B的最小公倍数=A和B公有的质因数×各自独有的质因数。
5.(2023.5.11·两江巴蜀)已知M=2×3×a,N=2×7×a(a为素数),如果M、N两数的最大公因数是10,那么M、N两数的最小公倍数是   。
【答案】210
【知识点】公因数与最大公因数;公倍数与最小公倍数
【解析】【解答】解:2×a=10,则a=10÷2=5;
2×5×3×7=210。
故答案为:210。
【分析】A和B的最大公因数=A和B公有的质因数相乘;A和B的最小公倍数=A和B公有的质因数×各自独有的质因数。
6.已知a与b,a与c的最大公因数分别是12和15,a、b、c的最小公倍数是120,求a、b、c的值。.
【答案】解:根据题目信息,可知
a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,故a有约数12和15,而12,15的最小公倍数为60,a、b、c的最小公倍数是120,故a=60或120。
当a=60时,因为120=60×2,所以b=24,c=15。
当a=120时,b=12,c=15。
答:a、b、c的值为60,24,15或120,12,15
【知识点】最大公因数的应用;最小公倍数的应用
【解析】【分析】根据题目中给出的a与b、a与c的最大公约数,可确定a的可能值。根据a、b、c的最小公倍数,可进一步确定b和c的值。最后,根据所有条件,可以得出a、b、c的值。
7.(2022六上·竞赛)把20个梨和25个苹果平均分给小朋友,分完后梨剩下2个,而苹果还缺2个,一共最多有多少个小朋友?
【答案】解:20-2=18,25+2=27,18和27的最大公约数是9。
答:一共最多有9个小朋友。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个,苹果数是人数的整数倍还缺2个,所以减掉2个梨,补充2个苹果后,18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了,即人数是18和27的公约数,最多就是18和27的最大公约数。
二、巩固提升
8.(2024·期末)两个自然数的最大公因数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。
【答案】解:210÷7=30,77÷7=11
30=1×30=2×15=3×10=5×6
两个因数的和是11的只有5×6,且5与6互质。
7×5=35,7×6=42
答:这两个自然数是35和42。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】两个自然数的积=最大公因数×最小公倍数=1470,和为77,可以求出这两个数是35和42,据此解答即可。
9.(2022六上·竞赛)两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,试求这两个数的差。
【答案】解:设这两个自然数为:5a、5b,其中a与b互质,5a+5b=50,a+b=10,经检验,容易得到两组符合条件的数:9与1或者7与3。于是,所要求的两个自然数也有两组:45与5,35与15。它们的差分别是:45-5=40,35-15=20。
答:这两个数的差是40或者20。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】因为这两个数的最大公约数是5,所以这两个数都有约数5,这样假设这两个数是5a、5b。根据它们的和是50得到a+b的和,然后根据a和b是互质数确定a和b可能的值,这样确定这两个自然数后再计算差。
10.(2022六上·竞赛)用1~9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数,求这些数的最大公约数。
【答案】解:1+2+…+9=45,是9的倍数,因而9是这些数的公约数。又123456789和123456798这两个数只差9,这两个数的最大公约数是它们的差的约数,即是9的约数,所以9是这两个数的最大公约数。
答:这些数的最大公约数是9。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】这九个数码组成的相邻两个数的差是9,这样的相邻两个数的最大公约数是它们差的约数,也就是9的约数,这样9就是这两个数的最大公约数,也就是组成的所有九位数的最大公约数。
11.(2022六上·竞赛)现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?
【答案】解:1111=11×101
答:最大的可以是101。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。
12.(2022六上·竞赛)教师节那天,某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨,用来慰问退休的教职工,问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)?在每份礼物中,苹果、桔子、鸭梨各多少个?
【答案】解:320、240和200的最大公约数是40,
320÷40=8(个)
240÷40=6(个)
200÷40=5(个)
答:最多可分成40份同样的礼物,每份中有8个苹果、6个桔子,5个鸭梨。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】分成的份数一定是苹果、桔子和鸭梨个数的公约数,因为是求最多可以分成的份数,所以份数是三种水果个数的最大公约数。求出三个数的最大公约数,然后用每种水果的个数分别除以份数即可求出每份中每种水果的个数。
13.(一外)将64个苹果、89个梨、103个桔子都等分给若干位同学,结果多了4个苹果、5个梨、7个桔子,共有   位同学.
【答案】12
【知识点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解:首先,分别计算出减去多余数量后的苹果、梨、桔子的数量:
64个苹果减去4个后得到60个,89个梨减去5个后得到84个,103个桔子减去7个后得到96个。
接下来,分解质因数:
60 = 2 × 2 × 3 × 5,
84 = 2 × 2 × 3 × 7,
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3。
然后,找到60,84,96的最大公因数。观察质因数分解,发现它们共有的因数为2,2和3。因此,最大公因数为2 × 2 × 3 = 12。
故答案为:12
【分析】本题的关键在于理解“等分”和“结果多了”这两个条件,它们表明从苹果、梨、桔子的总数中减去多余的数目后,剩余的水果能被同学人数整除。因此,需要找出减去多余数量后的苹果、梨、桔子数量的最大公因数,这个最大公因数就是同学的人数。解题的关键在于理解等分的概念,即找到能够整除所有水果数量(在减去多余数量后)的人数。通过质因数分解,可以直观地找到最大公因数,从而确定同学的人数。
14.(2022六上·竞赛)用数字6,7,8各两个,组成一个六位数,使它能被168整除。这个六位数是多少?
【答案】解:因为168=8×3×7,所以组成的六位数可以被8、3、7整除。
能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数,末两位组成的数一定是4的倍数,末位为偶数。在题中条件下,验证只有688、768是8的倍数,所以末三位只能是688或768,而又要求是7的倍数,由例8知abcabc形式的数一定是7、11、13的倍数,所以768768一定是7的倍数,□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍数。
至于能否被3整除可以不验证,因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数,在题中给定的条件下,不管怎么填数字和都是定值。
所以768768能被168整除,且验证没有其他满足条件的六位数。
答: 这个六位数是768768
【知识点】公因数与最大公因数;整除的性质及应用
【解析】【分析】由于168=8×3×7,所以组成的六位数可以被8、3、7整除。能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数,末两位组成的数一定是4的倍数,末位为偶数。由于个位为6,因此十位可以是6或8。由于十位为6,因此百位必须为8。由于十位为8,因此百位可以为6或7。能够被7整除的数的特征是若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。能够被3整除的数的特征是数字和是3的倍数。根据以上三个数的整除特征即可求解。
15.(2022六上·竞赛)一个房间长450厘米,宽330厘米.现计划用方砖铺地,问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块),才能正好把房间地面铺满?
【答案】解:450和330的最大公约数是30。
(450÷30)×(330÷30)
=15×11
=165(块)
答:需要用边长最大为多少厘米的方砖165块(整块),才能正好把房间地面铺满。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】要使方砖正好铺满地面,房间的长和宽都应是方砖边长的倍数,也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数。由于题中要求方砖边长尽可能大,所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数。因此先求出长和宽的最大公约数,就是方砖的边长,所以用房间的长和宽分别除以方砖的边长,然后把两个商相乘即可求出需要方砖的块数。
16.若a,b,c是三个互不相等的且大于0的自然数,a+b+c=1155,则它们的最大公因数的最大值为   ,最小公倍数的最小值为   ,最小公倍数的最大值为   。
【答案】165;660;57065085
【知识点】最大公因数的应用;最小公倍数的应用
【解析】【解答】解:(1)由于 a+b+c=1 155,而1155=3×5×7×11。
令a=mp,b=mq,c=ms,
则1 155=mp+mq+ms=m (p+q+s),m为a、b、c的最大公因数,p+q+s最小取7
1155=3×5×7×11=3×5×(1+2+4)×11,此时m=3×5×11= 165。
(2)为了使最小公倍数尽量小,应使三个数的最大公因数m尽量大,并且使a、b、c的最小公倍数尽量小,所以应使m= 165,a=1,b=2、c=4,此时三个数分别为165、330、660,它们的最小公倍数为660,所以最小公倍数的最小值为660。
(3)为了使最小公倍数尽量大,应使三个数两两互质且乘积尽量大。
当三个数的和一定时,为了使它们的乘积尽量大,应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的,
所以可以令1155=384+385+386,但是在这种情况下384和386有公约数2,而当1 155= 383+385+387时,三个数两两互质,它们的最小公倍数为383×385×387=57 065 085,即最小公倍数的最大值为57065085
故答案为:165;660;57065085
【分析】为了求解这个问题,我们需要分三步走:首先,找出a, b, c的最大公因数的最大值;其次,找出a, b, c的最小公倍数的最小值;最后,找出a, b, c的最小公倍数的最大值。在每一步中,我们都需要根据给定的条件,利用数论知识,如质因数分解和互质性质,进行合理的分析和计算。
17.(2024五下·盐都月考)五一节快到了,盐渎公园里 AC 这条路的一边等距离挂灯笼(如图),要求在 A、B、C 处都要挂一个灯笼,一共至少需要挂   个。
【答案】18
【知识点】最大公因数的应用;直线型的植树问题
【解析】【解答】解:,63和56的最大公因数是7;
63÷7+1+56÷7
=9+1+8
=18(个)。
故答案为:18。
【分析】间距=63和56的最大公因数,用短除法求出;AB之间至少挂灯笼的个数=AB之间的距离÷间距+1个,AC之间至少挂灯笼的个数=AC之间的距离÷间距,然后把两段挂的灯笼个数相加。
18.(2022六上·竞赛)用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B,那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是   。
【答案】108
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【解答】解:假设A,B代表所求的两个三位数,(A,B,540)表示A,B和540的最大公约数,
设C=(A,B,540),540=2×2×3×3×3×5,
因为2、3、4、5、6、7这六个数码中只有一个5的倍数,
故C的因数中不可能包含5,
C的最大值=2×2×3×3×3=108。
故答案为:108。
【分析】假设A,B代表所求的两个三位数,(A,B,540)表示A,B和540的最大公约数,设C=(A,B,540),540=2×2×3×3×3×5,因为给定的六个数字中只有一个5的倍数,所以C的因数中不可能包含5,此时C的最大值是108,可知A=432,B=756满足条件。
1 / 1人教版数学五年级下册:最大公因数与最小公倍数
一、基础训练
1.(2023·七中)在 a 与 b 两个整数中, a 的所有的质因数2、3、5、7、11 , b的所有质因数是 2、3、7、13 , 那么 a 与 b 的最大公约数是(  )
A.210 B.6 C.55 D.42
2.(2022六下·陆丰竞赛)甲数是36,甲、乙两数的最大公因数是4,最小公倍数是252,乙数是   。
3.(2020六上·陆丰竞赛)数A=2×2×3×5,数B=2×3×3×5.数A、B的最大公因数是   ,最小公倍数是   。
4.(2024·曲靖)a=2×m×7,b=2×11×m,a、b两数的最小公倍数770,a、b两数的最大公因数是   。
5.(2023.5.11·两江巴蜀)已知M=2×3×a,N=2×7×a(a为素数),如果M、N两数的最大公因数是10,那么M、N两数的最小公倍数是   。
6.已知a与b,a与c的最大公因数分别是12和15,a、b、c的最小公倍数是120,求a、b、c的值。.
7.(2022六上·竞赛)把20个梨和25个苹果平均分给小朋友,分完后梨剩下2个,而苹果还缺2个,一共最多有多少个小朋友?
二、巩固提升
8.(2024·期末)两个自然数的最大公因数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。
9.(2022六上·竞赛)两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,试求这两个数的差。
10.(2022六上·竞赛)用1~9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数,求这些数的最大公约数。
11.(2022六上·竞赛)现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?
12.(2022六上·竞赛)教师节那天,某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨,用来慰问退休的教职工,问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)?在每份礼物中,苹果、桔子、鸭梨各多少个?
13.(一外)将64个苹果、89个梨、103个桔子都等分给若干位同学,结果多了4个苹果、5个梨、7个桔子,共有   位同学.
14.(2022六上·竞赛)用数字6,7,8各两个,组成一个六位数,使它能被168整除。这个六位数是多少?
15.(2022六上·竞赛)一个房间长450厘米,宽330厘米.现计划用方砖铺地,问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块),才能正好把房间地面铺满?
16.若a,b,c是三个互不相等的且大于0的自然数,a+b+c=1155,则它们的最大公因数的最大值为   ,最小公倍数的最小值为   ,最小公倍数的最大值为   。
17.(2024五下·盐都月考)五一节快到了,盐渎公园里 AC 这条路的一边等距离挂灯笼(如图),要求在 A、B、C 处都要挂一个灯笼,一共至少需要挂   个。
18.(2022六上·竞赛)用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B,那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是   。
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解: a 与 b 的最大公约数 是。
故答案为:D。
【分析】将a,b公共的质因数相乘即可。
2.【答案】28
【知识点】公因数与最大公因数;公倍数与最小公倍数
【解析】【解答】解:252×4÷36
=1008÷36
=28。
故答案为:28。
【分析】乙数=甲、乙两数的最小公倍数×甲、乙两数的最大公因数÷甲数。
3.【答案】30;180
【知识点】公因数与最大公因数;公倍数与最小公倍数
【解析】【解答】解: 数A、B的最大公因数:2×3×5=30;
最小公倍数是: 2×2×3×3×5=180。
故答案为:30;180。
【分析】最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积,
4.【答案】10
【知识点】公因数与最大公因数;公倍数与最小公倍数
【解析】【解答】解:770÷(7×11)
=770÷77
=10。
故答案为:10。
【分析】A和B的最大公因数=A和B公有的质因数相乘;A和B的最小公倍数=A和B公有的质因数×各自独有的质因数。
5.【答案】210
【知识点】公因数与最大公因数;公倍数与最小公倍数
【解析】【解答】解:2×a=10,则a=10÷2=5;
2×5×3×7=210。
故答案为:210。
【分析】A和B的最大公因数=A和B公有的质因数相乘;A和B的最小公倍数=A和B公有的质因数×各自独有的质因数。
6.【答案】解:根据题目信息,可知
a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,故a有约数12和15,而12,15的最小公倍数为60,a、b、c的最小公倍数是120,故a=60或120。
当a=60时,因为120=60×2,所以b=24,c=15。
当a=120时,b=12,c=15。
答:a、b、c的值为60,24,15或120,12,15
【知识点】最大公因数的应用;最小公倍数的应用
【解析】【分析】根据题目中给出的a与b、a与c的最大公约数,可确定a的可能值。根据a、b、c的最小公倍数,可进一步确定b和c的值。最后,根据所有条件,可以得出a、b、c的值。
7.【答案】解:20-2=18,25+2=27,18和27的最大公约数是9。
答:一共最多有9个小朋友。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个,苹果数是人数的整数倍还缺2个,所以减掉2个梨,补充2个苹果后,18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了,即人数是18和27的公约数,最多就是18和27的最大公约数。
8.【答案】解:210÷7=30,77÷7=11
30=1×30=2×15=3×10=5×6
两个因数的和是11的只有5×6,且5与6互质。
7×5=35,7×6=42
答:这两个自然数是35和42。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】两个自然数的积=最大公因数×最小公倍数=1470,和为77,可以求出这两个数是35和42,据此解答即可。
9.【答案】解:设这两个自然数为:5a、5b,其中a与b互质,5a+5b=50,a+b=10,经检验,容易得到两组符合条件的数:9与1或者7与3。于是,所要求的两个自然数也有两组:45与5,35与15。它们的差分别是:45-5=40,35-15=20。
答:这两个数的差是40或者20。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】因为这两个数的最大公约数是5,所以这两个数都有约数5,这样假设这两个数是5a、5b。根据它们的和是50得到a+b的和,然后根据a和b是互质数确定a和b可能的值,这样确定这两个自然数后再计算差。
10.【答案】解:1+2+…+9=45,是9的倍数,因而9是这些数的公约数。又123456789和123456798这两个数只差9,这两个数的最大公约数是它们的差的约数,即是9的约数,所以9是这两个数的最大公约数。
答:这些数的最大公约数是9。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】这九个数码组成的相邻两个数的差是9,这样的相邻两个数的最大公约数是它们差的约数,也就是9的约数,这样9就是这两个数的最大公约数,也就是组成的所有九位数的最大公约数。
11.【答案】解:1111=11×101
答:最大的可以是101。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。
12.【答案】解:320、240和200的最大公约数是40,
320÷40=8(个)
240÷40=6(个)
200÷40=5(个)
答:最多可分成40份同样的礼物,每份中有8个苹果、6个桔子,5个鸭梨。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】分成的份数一定是苹果、桔子和鸭梨个数的公约数,因为是求最多可以分成的份数,所以份数是三种水果个数的最大公约数。求出三个数的最大公约数,然后用每种水果的个数分别除以份数即可求出每份中每种水果的个数。
13.【答案】12
【知识点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解:首先,分别计算出减去多余数量后的苹果、梨、桔子的数量:
64个苹果减去4个后得到60个,89个梨减去5个后得到84个,103个桔子减去7个后得到96个。
接下来,分解质因数:
60 = 2 × 2 × 3 × 5,
84 = 2 × 2 × 3 × 7,
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3。
然后,找到60,84,96的最大公因数。观察质因数分解,发现它们共有的因数为2,2和3。因此,最大公因数为2 × 2 × 3 = 12。
故答案为:12
【分析】本题的关键在于理解“等分”和“结果多了”这两个条件,它们表明从苹果、梨、桔子的总数中减去多余的数目后,剩余的水果能被同学人数整除。因此,需要找出减去多余数量后的苹果、梨、桔子数量的最大公因数,这个最大公因数就是同学的人数。解题的关键在于理解等分的概念,即找到能够整除所有水果数量(在减去多余数量后)的人数。通过质因数分解,可以直观地找到最大公因数,从而确定同学的人数。
14.【答案】解:因为168=8×3×7,所以组成的六位数可以被8、3、7整除。
能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数,末两位组成的数一定是4的倍数,末位为偶数。在题中条件下,验证只有688、768是8的倍数,所以末三位只能是688或768,而又要求是7的倍数,由例8知abcabc形式的数一定是7、11、13的倍数,所以768768一定是7的倍数,□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍数。
至于能否被3整除可以不验证,因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数,在题中给定的条件下,不管怎么填数字和都是定值。
所以768768能被168整除,且验证没有其他满足条件的六位数。
答: 这个六位数是768768
【知识点】公因数与最大公因数;整除的性质及应用
【解析】【分析】由于168=8×3×7,所以组成的六位数可以被8、3、7整除。能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数,末两位组成的数一定是4的倍数,末位为偶数。由于个位为6,因此十位可以是6或8。由于十位为6,因此百位必须为8。由于十位为8,因此百位可以为6或7。能够被7整除的数的特征是若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。能够被3整除的数的特征是数字和是3的倍数。根据以上三个数的整除特征即可求解。
15.【答案】解:450和330的最大公约数是30。
(450÷30)×(330÷30)
=15×11
=165(块)
答:需要用边长最大为多少厘米的方砖165块(整块),才能正好把房间地面铺满。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】要使方砖正好铺满地面,房间的长和宽都应是方砖边长的倍数,也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数。由于题中要求方砖边长尽可能大,所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数。因此先求出长和宽的最大公约数,就是方砖的边长,所以用房间的长和宽分别除以方砖的边长,然后把两个商相乘即可求出需要方砖的块数。
16.【答案】165;660;57065085
【知识点】最大公因数的应用;最小公倍数的应用
【解析】【解答】解:(1)由于 a+b+c=1 155,而1155=3×5×7×11。
令a=mp,b=mq,c=ms,
则1 155=mp+mq+ms=m (p+q+s),m为a、b、c的最大公因数,p+q+s最小取7
1155=3×5×7×11=3×5×(1+2+4)×11,此时m=3×5×11= 165。
(2)为了使最小公倍数尽量小,应使三个数的最大公因数m尽量大,并且使a、b、c的最小公倍数尽量小,所以应使m= 165,a=1,b=2、c=4,此时三个数分别为165、330、660,它们的最小公倍数为660,所以最小公倍数的最小值为660。
(3)为了使最小公倍数尽量大,应使三个数两两互质且乘积尽量大。
当三个数的和一定时,为了使它们的乘积尽量大,应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的,
所以可以令1155=384+385+386,但是在这种情况下384和386有公约数2,而当1 155= 383+385+387时,三个数两两互质,它们的最小公倍数为383×385×387=57 065 085,即最小公倍数的最大值为57065085
故答案为:165;660;57065085
【分析】为了求解这个问题,我们需要分三步走:首先,找出a, b, c的最大公因数的最大值;其次,找出a, b, c的最小公倍数的最小值;最后,找出a, b, c的最小公倍数的最大值。在每一步中,我们都需要根据给定的条件,利用数论知识,如质因数分解和互质性质,进行合理的分析和计算。
17.【答案】18
【知识点】最大公因数的应用;直线型的植树问题
【解析】【解答】解:,63和56的最大公因数是7;
63÷7+1+56÷7
=9+1+8
=18(个)。
故答案为:18。
【分析】间距=63和56的最大公因数,用短除法求出;AB之间至少挂灯笼的个数=AB之间的距离÷间距+1个,AC之间至少挂灯笼的个数=AC之间的距离÷间距,然后把两段挂的灯笼个数相加。
18.【答案】108
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【解答】解:假设A,B代表所求的两个三位数,(A,B,540)表示A,B和540的最大公约数,
设C=(A,B,540),540=2×2×3×3×3×5,
因为2、3、4、5、6、7这六个数码中只有一个5的倍数,
故C的因数中不可能包含5,
C的最大值=2×2×3×3×3=108。
故答案为:108。
【分析】假设A,B代表所求的两个三位数,(A,B,540)表示A,B和540的最大公约数,设C=(A,B,540),540=2×2×3×3×3×5,因为给定的六个数字中只有一个5的倍数,所以C的因数中不可能包含5,此时C的最大值是108,可知A=432,B=756满足条件。
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