集合与常用逻辑用语 经典题型专题练 2025年高考数学二轮复习备考

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集合与常用逻辑用语 经典题型专题练
2025年高考数学二轮复习备考
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集
9．已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
10．命题“，”的否定是（ ）
A．“，” B．“，”
C．“，” D．“，”
二、填空题
11．已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论：
①若，则；
②若为奇数，则；
③若为偶数，则；
④若，则.
其中所有正确结论的序号是 .
12．已知集合，，则集合的元素个数为 ．
13．已知，集合．则集合中所有元素之和为 ．
14．设为虚数单位．若集合，，且，则 ．
15．已知集合，，若．则m的取值范围是 ．
16．已知命题：，，则为 ．
三、解答题
17．已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.
(1)若，直接写出所有满足条件的集合；
(2)若，且对任意，都有，求的最大值；
(3)若且对任意，都有，求的最大值.
18．定义两个n维向量，的数量积（），，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集：
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由：
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.
参考答案
1．A
对于可得：
xy -1 1
-1 -2 0
1 0 2
可得集合；
对于可得：
xy -1 1
-1 0 2
1 -2 0
可得集合，所以，
则成立， 不成立，，
所以A正确，B、C、D错误.
2．B
由题意知，，
又，
所以.
3．C
集合，
，，.
4．C
设等差数列的公差为，
由得：，，
，
，即，充分性成立；
由得：，，即，
，
即，必要性成立；
“”是“”的充分必要条件.
5．A
当成等比数列时，，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，所以，充分性满足；
当时，，
而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足.
则“成等比数列”是的充分不必要条件.
6．B
不妨设，此时满足，
但不满足，充分性不成立，
两边平方得，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
故，解得，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件.
7．B
因为，，
当时，为非负的偶数，所以，，则 ，
B对，ACD都错.
8．C
集合中，，则，
即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集；
集合，，
，
即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.
9．A
向量，，
若与共线，则.解得或，
所以“”是“与共线”的充分不必要条件，
10．D
根据全称量词命题的否定可知，
命题“，”的否定是“，”.
11．①②④
由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量两两不相等.
这表明对任意的，当且仅当，有.
将其转换为更通俗的语言就是：对于点，当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点.
因为A中任意两个不同点之间的距离都不相等，设是最小的距离，则，
若或为第二小的距离，则余下的个点至多只能对应个元素，
则至多个元素，；
当是第二小的距离时，则，
若n为奇数时，与上面推导相同，至少会存在一个点不属于M,所以；
所以①②正确，③错误；
对于④，假设，.
由于，
故两两不同，且对每个，点都是中除外到距离最短的点.
特别地，都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.
不妨设，并记为点，
则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.
对两个不同点，记直线的倾斜角为.
假设存在使得，不妨设，
则，这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾.
所以两两不相等，不妨设.
由于，，故，，
所以.
故，同理.
而对，有或，
故.
所以，这意味着，矛盾.
这表明假设不成立，所以，④正确.
故答案为：①②④
12．2
当时，，2，4，分别为,均不能满足，
当时，时可满足，
时，，时，均不满足，
当时，可满足，时，，时，均不满足，
所以，故集合的元素有2个，
故答案为：2
13．5
由题意，得，
则集合中所有元素之和为.
故答案为：5
14．
由集合，，因为，
当时，此时，方程组无解；
当时，此时，解得，
综上可得，实数的值为.
故答案为：.
15．
因为，所以，故，
所以且，
所以，解得.
故答案为：.
16．
由特称命题的否定为全称命题可得为.
故答案为：
17．(1)或或或
(2)
(3)
（1）因为，则和的元素个数均为1，
又因为，则，
若，，则或；
若，，则或；
综上或或或.
（2）集合共有32个不同的子集，
将其两两配对成16组，
使得，则不能同时被选中为子集，故.
选择的16个含有元素1的子集:，符合题意.
综上，.
（3）结论:，令，集合符合题意.
证明如下：
①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集，
所以除外的子集至多有个，故.
②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类:
或，和或，
其中互不相同，互不相同且均不为1，2.
若，则，有
若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)，且互不相同，
因为中除2外至多还有2个元素，所以.
所以.
③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类：
，其中.
若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)，
所以.
若，不妨设，则由得每个集合中都或者有4、或者有5，
又中除1外无其它公共元素，所以.
所以.
综上，.
18．(1)；
(2)不存在完美4维向量集，理由见解析；
(3)证明见解析.
（1）由题意知，集合A中含有3个3维向量元素（），
因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0.
又，所以，，，
所以2的完美3维向量集为.
（2）依题意，完美4维向量集B含有4个4维向量元素（），，
（i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
（ii）当时，，不满足条件③，舍去；
（iii）当时，，
因为，故与至多有一个为集合B中元素，
同理：与至多有一个为集合B中元素，与至多有一个为集合B中元素，
故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去；
（iv）当时，，不满足条件③，舍去；
（v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
综上所述，不存在完美4维向量集.
（3）依题意，T的完美n维向量集C含有n个n维元素（），
因为，所以每个元素中有T个分量为1，其余分量为0，
所以，
由（2）知，故，
假设存在k，使得，不妨设.
（i）当时，如下图，
由条件③知，或（），
此时，与（*）矛盾，不合题意.
（ii）当时，如下图，
记（），
不妨设，，，
下面研究的前个分量中所有含1的个数.
一方面，考虑中任意两个向量的数量积为1，
故（）中至多有1个1，
故的前个分量中，
所有含1的个数至多有个1（**）.
另一方面，考虑（），
故的前个分量中，
含有个1，与（**）矛盾，不合题意.
故对任意且，，由（*）可得.
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