基本不等式 经典题型专题练 2025年高考数学二轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台
基本不等式 经典题型专题练 2025年高考数学二轮复习备考
一、单选题
1． 已知．则“且”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知函数，若（其中．），则的最小值为（　　）．
A． B． C．2 D．4
3．若实数a，b满足0＜a＜b，且a+b=1．则下列四个数中最大的是（　　）
A． B．a2+b2 C．2ab D．a
4．数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数（其中，为非零常数，）来表示，当取到最小值为2时，下列说法正确的是（　　）
A．此时 B．此时的最小值为2
C．此时的最小值为2 D．此时的最小值为0
5．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．8 D．9
6．已知数列为等差数列，为等比数列，，则(　　)
A． B． C． D．
7．下列函数对于任意，都有成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知中，a b c为角A B C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，若，则（　　）
A．的最大值为 B．的最小值为1
C．的最小值为8 D．的最小值为
10．下列命题中正确的是（　　）
A．的最小值是2
B．当时，的最小值是3
C．当时，的最大值是5
D．若正数满足，则的最小值为3
11．若x，y满足，则（　　）
A． B． C． D．
12．已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（　　）
A．当时，以AB为直径的圆与相交
B．当时，以AB为直径的圆经过原点O
C．当时，点M到的距离的最小值为2
D．当时，点M到的距离无最小值
三、填空题
13．已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， 　 　．
14． 已知，则的最小值为　 　 ．
15．设，则的最大值为　 　.
16．已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为　 　.
17．已知实数，，则的最小值是　 　.
四、解答题
18．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
19．已知函数
（1）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为正实数，且三数之和为m的最大值，求证：
答案解析部分
1．A
解：当且时，，当时，不一定且，
所以“且”是“”的 充分而不必要条件 .
2．B
解：函数，
因为，所以，即，
则，当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
3．B
解：取a=0.4，b=0.6，
则a2+b2=0.16+0.36=0.52，
2ab=2×0.4×0.6=0.48，
4．C
解：因为函数 （其中，为非零常数，） ，且，由取到最小值2，可得：，对于A选项：，即，当且仅当时，取等号，即，
可得：，故A选项错误；对于BC选项：根据A选项可得：，且，则，当且仅当时取等号，此时，故B选项错误，C选项正确；对于D选项：，当且仅当时取等号，故D选项错误.
5．D
解：因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以设，故，
即，
又，
故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9.
6．A
解：已知为等差数列，为等比数列，，
由等差中项、等比中项可得．
由，可得，故A正确，C错误．
当时，；
当时，，
故B，D都错误．
7．A
解：当 时，
因为，
所以 对于任意，都有成立 .
当、、代入均不成立.
8．A
解： 因为，由正弦定理可得：
又因为，
即，且，则，可得，则，
且为直角三角形且外接圆半径为，可知，
则，可得，即，当且仅当时，等号成立，
设内切圆半径为，则，可得的面积为，
即的面积的最大值为.
9．A,C,D
解：因为，当且仅当时取等号，即时取等号，可得故A正确，对于B选项：当且仅当时取等号，当且仅当即时取等号，C选项正确；
对于D选项：当且仅当时取等号，即时取等号，故D选项正确.
10．B,C,D
解：A、，
当时，不存在，等号不等式，即取不到最小值2，故A错误；
B、当时，，则，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
C、当时，，则，当且仅当，
即时等号成立，故C正确；
D、因为，，则
，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
11．B,C
因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A不符合题意，B符合题意；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C符合题意；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D不符合题意．
12．B,C
抛物线，准线方程是，
直线代入，可得，，
设，则，
，
，
设，则，
点到准线的距离，
，
当时，，点到准线的距离，则以AB为直径的圆与相切，A不符合题意；
当时，，则，则以AB为直径的圆经过原点O，B符合题意；
当时，即，得，
则，当且仅当时等号成立，C符合题意；
当时，即，得，
所以，令，
则，由对勾函数的性质得，当时，单调递增，
故当时，取最小值，D不符合题意．
13． 或
解：设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，，即BD= .
故答案为： .
14．3
令，则，
则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
15．2
解：设，则，，
当且仅当，时，等号成立，
故.
令，解得，，
所以，当，时，等号成立.
故答案为：2.
16．
解：因为，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
17．3
解：因为，，所以，，且，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3.
故答案为：3.
18．（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
19．（1）解：函数，
当时，函数；
当时，函数；
当时，函数，
则函数的值域为，
不等式恒成立，则，即实数m的取值范围；
（2）解：由（1）知，
因为，
可得，
所以，
即，
所以，当且仅当时取“=”号.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)