函数的概念及其表示 经典题型专题练 2025年高考数学二轮复习备考

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函数的概念及其表示 经典题型专题练
2025年高考数学二轮复习备考
一、单选题
1．若函数对任意，都满足，则可以是（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数为上的偶函数，且当时，，则（　　）
A． B． C． D．
3．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为，函数的图象如图所示．如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（　　）
A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
7．已知函数的图象关于直线对称，则（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．已知函数，若的值域是，则的值为(　　)
A． B． C． D．
二、多选题
9．设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列判断正确的是（　　）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．是偶函数
D．在区间上单调递增
11．下列说法正确的是（　　）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．记为函数图象上的任意两点，则
12．下列说法不正确的是（　　）
A．函数 在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则 的定义域为
三、填空题
13．已知函数，若，则实数　 　．
14．已知偶函数是实数集上的周期为2的周期函数，当时，，则当时，　 　．
15．函数的值域为　 　.
16．已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是　 　
17．写出一个同时具有下列性质①②③的函数　 　.
①定义域为；②值域为；③对任意且，均有.
18．已知函数，若且，则的最小值为　 　.
四、解答题
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，，点的坐标是．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点在坐标轴上，且使得，求点的坐标．
20．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当时，求的解析式.
21．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
（1）若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值？（精确到）
答案解析部分
1．C
解：A、若，取，则，
，，故A错误；
B、若，取，，，，故B错误；
C、若，则，故C正确；
D、若，则将分别代入，中，
得，，，故D错误．
2．A
解：因为函数为偶函数，
所以.
3．C
解：A、函数的定义域为，但当时，，故A不符合题意；
B、函数的定义域为，但当时，，故B不符合题意；
D、函数的定义域为，故D不符合题意.
4．A
解：因为函数的定义域是，所以，
所以，所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
5．B
解：用代替可得，
即，
联立，解得，则.
6．A
解：由图，易知函数的图象过点，
代入函数的解析式，可得，解得，则，
令，可得或，解得或，
所以如果7：30学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00．
7．B
解：因为函数的图象关于直线对称，所以将其图象向左平移个单位为偶函数，令，
当时，，
由可知，
解得，所以.
8．C
解：已知如图所示：
当时，，
因为的值域是，又在上单调递减，
所以.
9．B,D
解：A、由图象可知，当没有函数值和和其对应，故A错误；
B、定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，故B正确；
C、集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，故C错误；
D、 由函数定义可知D满足．
10．A,D
解：A、 若时，，
则，解得，故A正确；
B、若时，，
则，解得且，故B错误；
C、当，，故C错误；
D、易知，当时，，所以在区间上单调递增，故D正确.
11．B,C,D
对于A选项，“，”的否定为“”，故A错误；
对于B选项，由，得，故或，
因此是的充分不必要条件，故B正确；
对于C选项，中，，中，，即，故C正确；
对于D选项，
，
，
，
，故D正确.
12．A,B,C
解：A、函数定义域为，但函数在定义域内不具有单调性，故A错误；
B、若，且是奇函数，但时，无意义，故B错误；
C、函数 在 上是增函数，则，解得，
则实数的取值范围是 ，故C错误；
D、若的定义域为，则的定义域满足，解得，即函数的定义域为，故D正确.
13．-5
当时，由得，此方程无实数解；
当时，由得，解得。
故答案为：-5。
14．
因为偶函数是实数集上的周期为2的周期函数，
当时，，
所以，
当，，，
所以，
综上所述：。
故答案为：。
15．
当时，.
当时，.
故答案为：.
16．（2，3）
不妨设，由图可得，，
所以即，
由得，，所以的取值范围是（2，3）
故答案为：（2，3）
17．（答案不唯一）
，定义域为 ； ， ，值域为 ；
是增函数，满足对任意 且 ，均有 .
故答案为： （答案不唯一）.
18．4-2ln2
解：由
，可得函数图象如下所示：
因为
且
，所以
，且
，所以
，令
，
，则
，所以当
时
，当
时
，即
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
；
故答案为：4-2ln2
19．（1）作轴，在，，，
所以，，所以，
因为在反比例函数的图象上，
所以，所以反比例函数为，因为在的图象上，
所以，把，两点的坐标代入，则，
解得，
所以一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）由，令，则，令，则，
所以，，所以，
若点在轴上，设，则，
由可得，解得或，
所以点或，
若点在轴上，设，则，
由可得，解得或，
所以点或，
综上所述，点的坐标为或或或.
20．（1）解：因为，
所以，解得且，
即函数定义域为.
（2）解：由函数的解析式，可得.
（3）解：当时，，
则.
21．（1）依题意，令则或
解得 或 .
一次喷洒1个单位的去污剂，去污时间可达7天.
（2）设从第一次喷洒起，经天空气中的去污剂浓度为，
则，
依题意对一切恒成立，
又在上单调递减，，
，故的最小值为0.2.
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