第六章 6.3 平面向量的应用 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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6.3 平面向量的应用 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、填空题
1．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式（其中），分别为的三个内角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在中，，则该三角形内切圆的半径为　 　.
2．在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为　 　.
3．在中，若，，且，则　 　．
4．在中，，，，对任意，有恒成立，点是直线上，则的最小值是　 　．
5．在中，内角、、的对边分别是、、，且，则　 　；若的角平分线与边交于点，且，则　 　.
二、单选题
6．已知，，分别为内角，，的对边，，则边上的中线长为（）
A． B． C．2 D．
7．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知中，，，，在所在的平面内取一点，满足，则（）
A．8 B．9 C． D．
9．已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
10．在中，，，，那么（　　）
A． B． C． D．
11．在中，若，则的值为（）
A． B． C． D．
12．在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则的形状可能是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．钝角或锐角三角形 D．锐角、钝角或直角三角形
13．在中，，则是什么三角形（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为（　　）
A．正三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
15．已知中，，，，那么角等于（　　）
A． B． C．或 D．
三、解答题
16．已知 的内角 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）若 ，角 ，求角 的值；
（2）若 ， ，求 ， 的值.
17．在 中，三边 ， ， 的对角分别为 ， ， ，已知 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 边上的中线长为 ，求 的面积.
18．已知数列 的前 项和
（1）若三角形的三边长分别为 求此三角形的面积；
（2）探究数列 中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件：
①此三项可作为三角形三边的长；
②此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍.
若存在，找出这样的三项；若不存在，说明理由.
19．东西向的铁路上有两个道口 、 ，铁路两侧的公路分布如图， 位于 的南偏西 ，且位于 的南偏东 方向， 位于 的正北方向， ， 处一辆救护车欲通过道口前往 处的医院送病人，发现北偏东 方向的 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要 分钟，救护车和火车的速度均为 .
（1）判断救护车通过道口 是否会受火车影响，并说明理由；
（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择 、 中的哪个道口？通过计算说明.
20．在① ，② ，③ 这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ，满足______．
（1）请写出你的选择，并求出角 的值；
（2）在（1）的结论下，已知点 在线段 上，且 ，求 长．
答案解析部分
1．.
由题意可得：，的面积，
所以三角形内切圆的半径为.
2．
解：设AB=BC=t(t>2)，则CD=t-2，
由余弦定理可得
则当且仅当即时等号成立.
故答案为：
3．或
解：由正弦定理可得：，故，
所以，由余弦定理可得：，
所以，可得，则，
又因为，所以可以看成是一元二次方程的两根，
所以，解得：或，
故或.
故答案为：或.
4．
由 得 ， 由减法与数乘的几何意义，AC为点A到BC的垂线段，得∠ACB=90°，
由BA=2，B= 60°，得BC=1，，CD=3，故BD=4，
在△ABD中，由余弦定理可得∠BAD=90°，
设D关于直线AB对称点为Q ，连接BQ，连接CQ交AB于P，则
可得此时PC+PD最小，PC+ PD=CQ，
即 的最小值为.
故答案为：.
5．；
如图，
第一问： ，
由正弦定理得，化简得，，
，，；
第二问：由题意得，三角形 面积，
即，，
。
故答案为：；
6．D
，
整理得： ，
整理得： 舍去 ，
由于 ，
所以 ，
故 ，
所以
由于 ， ，解得 ；
如图所示：
在 中，过点 作 于点 ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
故 ， ，
所以在 中，
利用余弦定理： ，
解得：
故答案为：D
7．A
， ， ，
由余弦定理 ，可得： ，可得： ，
解得： 或a= ，（舍去）．
故答案为：A．
8．D
过 作 垂直于 ，垂足为 ，以 ， 所在直线为 轴， 轴建立平面直角坐标系.
由 得到 ，即 垂直于 ，同理可以得到 垂直于 ，
所以 为三角形 的垂心，因为 ， ， ，所以 ， ， 则 ， ， ，
设 点坐标为 ，由 ，则 ，即 ，所以 ，则
点坐标为 ，所以 ，
所以 。
故答案为：D
9．A
由圆 的面积为 ，故圆 的半径 ，
，则三角形 是正三角形，
由正弦定理： ，得 ，
由 ，得球 的半径 ，
表面积为 ，
故答案为：A
10．D
中， ， ， ，
根据余弦定理，得 ，得 ，
因此， ．
故答案为：D．
11．D
由正弦定理： ，由余弦定理： ，
故答案为：D
12．C
因为 ， ， ，
由正弦定理可得， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故B可能为锐角，也可能为钝角．
故答案为：C．
13．C
在 中，由 ，
由正弦定理 ，可得： ；
故三角形为等腰三角形．
故答案为：C．
14．C
由知，，
∴＝，
，，
，
∴，
∵在△ABC中，，
∴，
∵，∴，
即△ABC为直角三角形．
故答案为：C．
15．B
， ， ，
由正弦定理可得： ，
，
又 ，则 ，
故答案为：B
16．（1）解：由正弦定理得 ，在 中 ，
∴ ，
∴
（2）解：在 中，
∵ ，
∴ ， 得 .
由余弦定理得 ，
∴ .
17．（1）解：因为 ，
由正弦定理，得 ，
所以 .
所以 .又因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 .
（2）解：设 边上的中线为 ，则 ，
所以 ，
即 ， .
解得 或 （舍去）.
所以 .
18．（1）解：
（2）解：存在4、5、6满足要求
解：当n=1时
当时，
又n=1时，所以数列的通项公式为：
不妨设三边的长为
由余弦定理得：
∴
∴
(2)假设数列存在相邻的三项满足条件，因为
设三角形三边的长分别为n，n+1，n+2
∵ n+n+1>n+2 ∴n>1，三个角分别为
由正弦定理得：即：
∴
由余弦定理得：
即：
化简得：解得：或(舍去)
当n=4时，三角形的三边长分别是4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍
所以数列中存在相邻的三项4,5,6，满足条件。
19．（1）解： 位于 的南偏西 ， 在 北偏东 方向上
在 中， ，
正弦定理可得：
解得： .
救护车和火车的速度均为
救护车到达 处需要时间： ，
又 火车到达 处需要时间： ，火车影响 道口时间为 ，
救护车通过 会受影响.
（2）解：若选择 道口：
一共需要花费时间为：
若选择 道口：
通过 道口不受火车影响，
一共需要花费时间为：
由余弦定理求 长：
.
选择 过道.
20．（1）解：若选择条件①，得 ，不符合题意：
若选择条件②，由余弦定理知 ，化简得 ，
所以 ，不符合题意：
若选择条件③，由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以
（2）解：由（1）知 ，
因为 ，所以 ．
所以 ．
在 中，因为 ，
所以 ．
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