第六章 6.2 平面向量的运算 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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6.2 平面向量的运算 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．已知均为单位向量且，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD中， （　　）
A． B． C． D．
3．①；②；③．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．在等边 中，点 在中线 上，且 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
5．平行四边形ABCD中，等于（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．设点 是线段 的中点，点 在直线 外， ， ，则 （　　）
A．12 B．6 C．3 D．
8．已知 为两非零向量，若 ，则 与 的夹角的大小是（　　）
A． B． C． D．
9．已知点 是正方形 的中心，点 为正方形 所在平面外一点，则 （　　）
A． B． C． D．
10．在平行四边形中，与交于点是线段OD的中点，的延长线与交于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，且满足 ，则 　 　.
12．在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为　 　．
13．已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是　 　，最大值是　 　．
14．如图，在边长1为正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，则 　 　，若 ，则 　 　.
15．计算： 　 　．
16．已知向量 、 ，且 ， ， ，则A、B、 C 、 D 四点中一定共线的三点是　 　.
三、解答题
17．某人在静水中游泳，速度为 千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
18．已知 与 的夹角为 .求：
（1） ；
（2） .
19．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段 的一个靠近点B的三等分点，设 .
（1）用向量 与 表示向量 ；
（2）若 ，求证：C，D，E三点共线.
20．设 ， 是两个不共线向量，知 ， ， ．
（1）证明： 、 、 三点共线
（2）若 ，且 、 、 三点共线，求 的值.
答案解析部分
1．B
解：将式子两边平方：
因此：
即投影向量为，
故答案为：B
2．A
解：由题意得
故答案为：A
3．D
对①，根据向量的加法运算法则可知，故①正确；
对②，，故②正确；
对③，，故③正确.
4．D
因为 ， ，
所以 .
故答案为：D
5．B
在平行四边形ABCD中，，所以，
故答案为：B.
6．D
对于A， ，A不符合题意；
对于B， ，B不符合题意；
对于C， ，C不符合题意；
对于D， ，D符合题意.
故答案为：D.
7．C
,
故答案为：C．
8．A
解：因为 ，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，故四边形为正方形或长方形，由此可得 的夹角为90°，
故答案为：A.
9．D
因为点 是正方形 的中心，所以 分别为 ， 的中点，
所以在 中， ，
同理，在 中， ，
所以 .
故答案为：D.
10．C
，因为是的中点，，所以，
== ，
＝，故选C.
11．
因为平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，
所以 ，所以
因为 ，即 ，即
所以 ，解得
所以 ，所以
故答案为：
12．
解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2 ，
∴ = +
= +
= + （ ﹣ ）
= + ，
又 =λ ﹣ （λ∈R），
∴ =（ + ） （λ ﹣ ）
=（ λ﹣ ） ﹣ + λ
=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，
∴ λ=1，
解得λ= ．
故答案为： ．
13．4；
解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
| + |= ，
| ﹣ |= ，
令x= ，y= ，
则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=﹣x+z，
则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4，
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍，
所以zmax= × = ．
综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．
故答案为：4、 ．
14．；
设向量 ，则 ，
可得 ，
，
又因为 ，可得 ，解得 ，所以 。
15．
由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得 .
故答案为： .
16．A、B、D
则 三点共线
故答案为： A、B、D
17．（1）解：如图，设此人游泳的速度为 ，水流的速度为 ，
以OA，OB为邻边作 QACB，则此人的实际速度为 ，
由勾股定理知 ，且在 中，∠COA=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时
（2）解：如图，设此人的实际速度为 ，水流速度为 ，则游速为 ，
在Rt△AOD中， ， ，则 ， ，
故此人沿向量 的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为 游，实际前进的速度大小为 千米/时
18．（1）解：
.
（2）解：
.
19．（1）解：∵ ， ，
∴ ，
.
（2）解：
，
∴ 与 平行，
又∵ 与 有共同点C，
∴ ， ， 三点共线.
20．（1）证明：
，
与 有公共点，
、 、 三点共线
（2）解： 、 、 三点共线，
存在实数 ，使 ，
，
又 不共线， ，
解得 ， ．
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