第六章 6.1 平面向量的概念 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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6.1 平面向量的概念 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线上的一点，单位长度已选定，则上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
2．O是△ABC内一点，若| |＝| |＝| |，则O是△ABC的(　　)
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
3．关于零向量，下列说法中错误的是
A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度是0
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
4．如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．
C． D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
6．下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动
7．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
8．已知{与共线的向量}，{与长度相等的向量}，{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列说法中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（ ）
A．＝ B． C．＞ D．＜
10．有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若，则，不是共线向量；
③若，则四边形是平行四边形；
④若，，则；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量
则：（1）与向量相等的向量有 ；
（2）与向量共线，且模相等的向量有 ；
（3）与向量共线，且模相等的向量有 .
12．给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③的充要条件是且.其中正确命题的序号是 .
13．如图所示，分别为的边的中点，则与向量共线的向量有 (写出图中所有符合条件的向量)
三、解答题
14．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地
（1）在如图所示的坐标系中画出 ，，，.
（2）求B地相对于A地的位置.
15．一名模型赛车手遥控一辆赛车，称先前进1 m，然后原地逆时针转动角为一次操作.
（1）当时，至少需要几次操作，赛车才可以回到出发点？按照适当的比例作图加以说明.
（2）如果，且按此操作，赛车能够回到出发点，那么应该满足什么条件？
16．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
17．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
18．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
参考答案
1．B
解析：一个单位长度取时，长的有向线段刚好表示单位向量，故A不正确；B显然正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故C不正确；根据位移的定义可知向量表示这个人从A点到B点的位移，故D不正确.
2．C
外心是三角形的三条中线的交点，外心到三角形的三个顶点的距离相等.
3．A
根据零向量的概念，逐项判定，即可求解，得到答案．
由定义可得，零向量的长度为0，方向任意；且零向量与任意向量都平行，所以选项A错误，所以选项B,C,D正确，故选A．
4．D
对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，
5．A
两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
6．B
因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；
根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；
故选：B.
7．D
根据向量的定义即可判断.
密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
8．B
解析：因为中含有与长度相等、方向相反的向量，所以B选项错误.
故选：B
9．B
根据向量的大小和方向来判断，另外再根据向量除了相等，是不能比较大小的来判断.
与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，
又向量不是实数，是不能比较大小的.
故选：B.
10．B
由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.
对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；
对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若，，则，④正确；
对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.
综上，错误的是②③⑤，共3个.
故选：B.
11． ， ，，，， ，，，，
（1）在图形中找出与向量相等的向量，即找出和已知向量大小相等，方向相同的向量．
（2）与向量共线且模相等的向量，是指所有与已知向量方向相同或相反的向量，且长度相等.
（3）与向量共线且模相等的向量，是指所有与已知向量方向相同或相反的向量，且长度相等.
解：解：（1）与向量相等的向量是，；
（2）与向量共线且模相等的向量是，，，， ，
（3）与向量共线且模相等的向量，，，，
故答案为：（1），；
（2），，，，；
（3），，，，.
12．②
根据向量的基本概念与性质判定即可.
①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上;
②正确 ∵,∴且,
又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形为平行四边形.
反之,若四边形为平行四边形,则且,∴;
③不正确,当且方向相反时,,但不能得到,故且不是的充要条件,而是必要不充分条件.
故答案为：②
13．
本题首先可以根据三角形的中位线法则得出，然后根据向量共线的相关性质即可得出结果。
因为分别为的边的中点，
所以，符合条件的向量为.
故答案为。
14．（1）作图见解析（2）B地相对于A地的位置为“在北偏东60°的方向距A地6千米处”
（1）根据已知作出，，，；（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，得，即得解.
（1）向量，，，如图所示，
（2）由题意知，
所以，,
则四边形ABCD为平行四边形.
所以，
则B地相对于A地的位置为“在北偏东60°的方向距A地6千米处”.
15．（1）8次，说明见解析；（2）
解：（1）因为
属于至少需要8次操作，赛车可以回到出发点，如图所示.
（2），要使赛车回到出发点，则赛车走过的是一个正多边形路径，考虑外角和为，故每次转动的角度应该是除以一个正整数所得的商，即.
16．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．
17．丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.
如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，

∴AC＝2000km.
又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，∴△ACD为直角三角形，
即AD＝1000km，∠CAD＝45°.
故丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.
18．（1）见解析；（2）
(1)由题意知，在中，，，，
所以，是直角三角形，
因为点为半圆上一点，所以
所以，故
(2)因为，所以，，
即，解得，即。
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