第六章 平面向量及其应用 章末综合试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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平面向量及其应用 章末综合试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．若点不共线，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．0
4．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6000密位，写成“”，578密位写成“”．若在中，分别是角所对的边，且有．则角用密位制表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．则为（　　）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，点是边的中点，且，点满足（），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（　　）
A． B．
C． D．
10．若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列说法错误的是（ ）
A．∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
12．已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设O是正方形ABCD的中心，则①；②；③与共线；④.其中所有表示正确的序号为 ．

14．已知平面向量，若与反向共线，则实数的值为
15．已知中角、、所对的边分别为、、，，，，则 ．
16．已知，则在方向上的投影数量为 .
17．如图所示，在中，已知，为边上的一点，且满足，，则
四、解答题
18．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）若的面积为，求的值；
（2）设，，且，求的值.
19．在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线.
(1)求：
(2)若，且，，求的面积.
20．如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．
(1)若，求，的值；
(2)求的值；
(3)求．
21．已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积.
22．在中、、为角、、所对的边，.
（1）求角的值；
（2）若且，求的取值范围.
参考答案
1．C
因为，
所以
.
故选：C
2．B
不等式等价于，
两边平方可得：，即，
其中当且仅当与的夹角为钝角或与的方向相反，
由于点不共线，所以当且仅当与的夹角为钝角，
故选：B.
3．B
，
，则有，解得.
故选：B
4．C
因为，
所以，
又，所以，
由题知，密位，所以密位，
依题意，1000密位表示为.
故选：C
5．D
因为，，，
所以，，
即，，解得，，
所以，，
则．
故选：D．
6．B
由及正弦定理，得，
又，故，又，故．
因为，由余弦定理，得，
所以，所以是以为直角的直角三角形．
故选：B
7．B
由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时，
他两只胳膊的夹角最大为 ，
设此时两只胳膊的拉力为 ,则N,
则，即有，
所以，
即，
故，故，
故选：B
8．B
因为（），
所以，又，
所以点在线段上，所以.
设（），所以
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故选：B.
9．B
，
而在平行四边形ABCD中，，所以，
又，，，，
则，也即.
故选：B.
10．B
因为，是夹角为的两个单位向量，
所以，
故，
，
，
故 ，
由于 ，故.
故选：B.
11．ABD
对于A：向量∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正确；
对于C：按定义，零向量的长度等于0，C正确；
对于D：非零的共线向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直线上，也可不在同一直线上，故D不正确；
故选：ABD．
12．ABD
如图所示，因为点是的重心，为的中点，可得是的中点，
由，所以A正确；
由为的中点，根据向量的平行四边形法则，可得，
又由是的重心，根据重心的性质，可得，所以，
即，所以B正确；
根据三角形重心的性质，可得，所以C不正确；
由重心的性质，可得，
所以D正确.
故选：ABD.

13．①②③
设是正方形的中心，则①，，因为与大小相等，方向相同，正确；
②，正确；
③与共线，正确；
④.错误，与大小相等，方向不同.
即答案为①②③
14．
由题意，向量与反向共线，所以存在实数，使得，
即，可得，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
15．
由得，
则，
即，由可知为锐角，则，
得，
由余弦定理得，
即，解得．
故答案为：.
16．
，
所以在方向上的投影数量为.
故答案为：
17．
令，因为，
所以，
所以，
，
，
在中，由正弦定理得，
解得.
故答案为：
18．（1）；（2）.
（1），，则，
的面积为，.
因此，；
（2），，且，所以，，即，.
，.
，
，
因此，.
19．(1)
(2)
（1）解：在中，，
因为向量与向量共线，则，
由正弦定理可得，
所以，，
、，则，所以，，因此，.
（2）解：，且，，，，
在中，由余弦定理有，
即，即，，解得，
所以，.
20．(1)
(2)
(3)
（1），故
（2）
（3）
，
21．(1)
(2)
（1）解：∵，由正弦定理得：，即，
则，
又在中，，，故，
故.
（2）由题可知，设,则，
由正弦定理得：，即，
解得，
由余弦定理得，解得；
又，故.
由余弦定理得，即，
解得，则，.
的面积为.
22．（1）或； （2）.
（1）在中，，
则，，∴或；
（2）
∵，∴，由正弦定理得，所以，，故，
∵，∴，，
∴.
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