第六章 6.4 平面向量基本定理及坐标表示 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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6.4 平面向量基本定理及坐标表示 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．已知，，，则与夹角的余弦值为（　　）
A．－1 B． C．0 D．1
2．已知向量、，“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．已知向量，且，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知向量，，且，则实数（　　）
A．-2 B． C． D．2
6．已知向量，，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知，是单位向量，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
8．在中，为的重心，满足，则（　　）
A． B． C．0 D．-1
9．已知点P在所在平面内，满足，且，则（　　）
A． B．1 C． D．2
10．如图，在中，，分别在上，且，点为的中点，则下列各值中最小的为（　　）
A． B． C． D．
二、解答题
11．已知向量，，。
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值。
12．已知，，将向量表示成的形式．
13．已知
（1）若，求角的值；
（2）求的最小值.
14．已知
（1）若三点共线，求的值；
（2）若，求的值。
15．如图，在 中，为的中点，为的中点．设，，，
（1）用和表示向量；
（2）用 和 表示向量
三、填空题
16．若 与 平行，则实数m=　 　.
17．已知非零向量 满足 ，且 ，则 和 的夹角为　 　.
18．已知向量 与向量 夹角为 ，且 ， ，要使 与 垂直，则 　 　．
19．已知向量 ，且 ，则 　 　．
20．已知向量 ，若 ，则 　 　.
答案解析部分
1．A
解：由题意得，又 ， ，，.
2．A
解：设与的夹角为，
则在方向上的数量投影为，在方向上的数量投影，
若，则成立，充分性成立；
若，不能推出成立，
例如，时，
满足，而不成立，所以必要性不成立，
故“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的充分非必要条件，
故答案为：A.
3．C
因为，则，解得.
故答案为：C.
4．C
解：.
故选：C.
5．B
因为，则，解得.
故答案为：B.
6．D
解：A.∵，1
∴，，故A错误；
B.∵，∴，故B错误；
C.∵，
∴与不平行，故C错误；
D.∵，∴，故D正确．
7．C
根据题意，设与的夹角为，
将 两边平方得到
已知，是单位向量 ，故解得= .
故选择：C.
8．A
解：因为 为的重心 ，则
又因为在中，，
所以，
则，可得.
9．D
因为，则点P为的重心，
取BC的中点D，
则，整理得，
所以，可得.
故答案为：D.
10．D
由题意可得：，
，
，
对A：；
对B：
因为，则，可得，
即；
对C：
因为，则，可得，
即；
对D：，
因为，则，可得，
即；
综上所述：最小的.
故答案为：D.
11．（1）解： ，
与向量 垂直， ，
解得 ；
（2）解： ，
与向量 平行，
，解得
12．解：设 =x +y ，
则（2，3）=x（1，1）+y（1，-1）=（x+y，x-y），
∴ ，解得 ．
∴ ．
13．（1）解：因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以
（2）解：
因为 ，所以 ，当 时，即 ，
即
14．（1）解：由题意可知，A、B、C三点共线，
则 ，即 ，
解得 ，故
（2）解：） ，即 ，
则 ，即 ，
化简得 ，
解得
15．（1）解：根据题意，平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，
（2）解： ，即 ①，
，即 ②，
②×2-①得， ，
计算得出 ，
即
16．4
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：4
17．
因为 为非零向量，且 ，则 ，展开整理得 ，即 ，又因为 ，则 所在直线为以 为邻边构成的正方形的对角线，故 和 的夹角为 。
故答案为： 。
18．
解：因为 与 垂直，
则 ，
解得 .
故答案为： .
19．1
因为 ，
所以 。
故答案为：1。
20．-4
由 得 ，故 .
故答案为：-4.
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