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分课时教学设计
《2.1.1 平方根和算术平方根》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要包括平方根和算术平方根的定义、表示方法、性质以及它们之间的区别与联系。通过对具体数字的平方运算，引导学生逆向思考，从而引出平方根的概念，再进一步探究算术平方根的特殊性，让学生逐步理解这两个重要数学概念的内涵与外延。它为后续学习二次根式、一元二次方程等知识奠定了基础，起到了承上启下的作用。同时，这部分知识在实际生活中的应用也十分广泛，如建筑、工程计算等领域，有助于培养学生的数学应用意识。
学习者分析 七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们已经具备了一定的有理数运算基础，但对于新概念的理解和抽象符号的运用还存在一定困难。在学习过程中，学生可能会对平方根和算术平方根的正负性混淆，对其表示方法感到陌生。因此，在教学中要注重引导学生从具体实例出发，通过直观演示、类比等方法帮助学生理解抽象概念，逐步培养学生的抽象思维能力。
教学目标 1.能准确理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的表示方法。 2.能熟练运用平方根和算术平方根的性质进行计算，会求一个非负数的平方根和算术平方根。 3.通过对平方根概念的探究过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，培养归纳概括能力。
教学重点 1.学生能准确理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的表示方法。 2.能熟练运用平方根和算术平方根的性质进行计算，会求一个非负数的平方根和算术平方根。
教学难点 通过对平方根概念的探究过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，培养学生的归纳概括能力。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 教师出示课本引言，我国南朝科学家祖冲之（429—500）推算出了圆周率π的值在 3. 141 592 6 和 3. 141 592 7 之间 . 古往今来，数学家们乐此不疲地寻求 π 的精确值，如今借助超级计算机，π 的值已经推算到了小数点后万亿位以上，但还是无法穷尽. 除此之外，还有很多像 π 这样的数，它们都不是有理数，从而我们需要扩充对数的认识 . 学生活动1： 学生观看引言部分内容，为本节课学习新知识奠定基础。 活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：新知探究教师活动2： 教师出示课本问题：说一说：小明将一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，按下图所示方法剪拼成了一个正方形 . 观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？ 这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数. 总结：平方根的定义 如果有一个数 r，使得 r2= a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，若r2 = a，则 r 是a的一个平方根. 例如，由于22 = 4，因此2是4的一个平方根. 又因为（-2）2 = 4，所以-2也是4的一个平方根. 4的平方根除了2和-2以外，还有其他的数吗？ 因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4的平方根. 类似地，边长小于 2的正方形，它的面积一定小于 4，从而比 2小的正数都不是4的平方根. 又由于（-b）2 = b2，因此，大于-2或小于-2的负数都不是4的平方根. 0显然不是4的平方根. 所以4的平方根有且只有两个：2与-2. 一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与 -r . 正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作，读作“根号 a”;正数 a 的负平方根记作-，读作“负根号 a”. 这样，正数 a的两个平方根可以用“± ”来表示，读作“正、负根号a”. 于是，4的平方根是±，由上可知 ±=±2.同样，2 的平方根是±. 学生活动2： 学生思考教师提出的问题。 学生根据教师引导总结平方根的概念。 学生在理解平方根的概念的基础上探究算术平方根的定义. 活动意图说明：运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：新知探究教师提问： 【思考】0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 由于02= 0，而非零数的平方不等于0，因此0的平方根就是0本身. 0的平方根也叫作0的算术平方根，记作，即= 0. 在目前我们所学习的数中，由于同号两数相乘得正数，且 02= 0，因此，不存在一个数的平方是负数，从而负数没有平方根. 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数. 根号“”可理解为一种运算符号，表示对被开方数进行开平方运算 . 开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根. 例如，9 的平方根是±3，±3 的平方是 9； 5 的平方根是± ，±的平方根是5. 【例1】分别求下列各数的平方根： （1） 36； （2） （3）1.21 解 ：（1） 由于（±6）2 = 36，因此36的平方根是6与-6，即 （3） 由于（±1.1）2 =1.21 ，因此1.21的平方根是1.1与-1.1，即 【例2】分别求下列各数的算术平方根： （1） 100； （2） 1. 96； （3） 解：（1） 由于10 2 =100 ，因此 （2）由于1.42=1.96 ，因此 （3） 由于 因此 议一议：下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？ （1）| -81 |； （2）（-5）2. 解：（1）| -81 |=81，81的平方根为±9. （2）（-5）2=25，25的平方根为±5.学生活动3： 学生探究0的平方根是多少？负数有没有平方根。 学生根据所学知识完成例题. 活动意图说明：强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
板书设计 课题：2.1.1 平方根和算术平方根 一、平方根 二、算术平方根
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.平方根等于它本身的数是( A ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 下列说法正确的是( A ). A. 任何正数都有平方根 B. 任何有理数都有平方根 C. (-2) 的平方根是-2 D. | -4 |的平方根是2 3.下列说法不正确的是( C ). A. 6是36的平方根 B. -6是36的平方根 C. 36的平方根是6 D. 36的平方根是±6 4.下列说法正确的是( A ). A. 因为52 = 25，所以5是25的算术平方根 B. 因为(-5)2= 25，所以-5是25的算术平方根 C. 因为(±5)2 = 25，所以5和-5都是25的算术平方根 D. 以上说法都不对 选做题： 5.一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是( C ) A. 0 B. 1 C. 1或0 D. -1 6.完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是( B ). A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 【综合拓展类作业】 7.将长和宽分别为2和1的长方形沿如图虚线剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是多少？ 解：长方形的长为2，宽为1，∴长方形的面积为2×1=2， 设拼成的正方形的边长为a，则a>0且a2 =2，∴a =，即该正方形的边长是 .
课堂总结 本节课你学到了什么？ 1.如果有一个数 r，使得 r 2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 2.如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r与 -r . 正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根. 3.0的平方根就是0本身；负数没有平方根. 4.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 求下列各数的平方根： （1）121； （2）0.0081. 解：（1）因为(±11)2= 121，所以121的平方根是±11. （2）因为(±0.09)2= 0.008 1，所以0.0081的平方根是±0.09. 2.一个正数m的平方根是2a - 8与10 - 4a，则m的值是( C ). A. 6 B. -6 C. 36 D. 1 选做题： 3.的算术平方根是( D ）. A.±9 B.±3 C. 9 D.3 4. 若正方形的面积是100，则该正方形的边长是( C ). A.100的平方根 B. 的平方根 C.100的算术平方根 D. 的算术平方根 【综合拓展类作业】 5.已知2a-1的平方根为±，3a- 2b +1的平方根为±3， 求 4a-b 的平方根. 解：2a-1的平方根为±，∴ 2a-1 = 3，∴ a =2. ∵ 3a - 2b+1的平方根为±3，∴ 3a- 2b +1=9. ∴b= -1. ∴ 4a-b=8+1=9. ∴4a- b的平方根为±3.
教学反思 在教学过程中，通过问题情境导入，激发了学生的学习兴趣，让学生在解决实际问题中感受到数学的实用性。在概念讲解环节，注重从具体到抽象的过渡，利用实例帮助学生理解平方根和算术平方根的概念，但部分学生对其区别与联系的把握还不够精准，后续教学中需加强针对性练习。
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第二章 实数
2.1.1 平方根和算术平方根
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能准确理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的表示方法。；
01
能熟练运用平方根和算术平方根的性质进行计算，会求一个非负数的平方根和算术平方根；
02
通过对平方根概念的探究过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，培养归纳概括能力。
03
02
新知导入
我国南朝科学家祖冲之（429—500）推算出了圆周率π的值在
3. 141 592 6 和 3. 141 592 7 之间 . 古往今来，数学家们乐此不疲地寻求 π 的精确值，如今借助超级计算机，π 的值已经推算到了小数点后万亿位以上，但还是无法穷尽.
除此之外，还有很多像 π 这样的数，
它们都不是有理数，从而我们需要
扩充对数的认识 .
说一说：小明将一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，按下图所示方法剪拼成了一个正方形 . 观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？
03
新知探究
思考解答
正方形的面积是2，但不知道边长.
这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数.
03
新知探究
探究一
平方根的定义
如果有一个数 r，使得 r2= a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，
若r2 = a，则 r 是a的一个平方根.
例如，由于22 = 4，因此2是4的一个平方根.
又因为（-2）2 = 4，所以-2也是4的一个平方根.
4的平方根除了2和-2以外，
还有其他的数吗？
分析
因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4的平方根.
类似地，边长小于 2的正方形，它的面积一定小于 4，从而比 2小的正数都不是4的平方根.
分析
又由于（-b）2 = b2，因此，大于-2或小于-2的负数都不是4的平方根. 0显然不是4的平方根.
所以4的平方根有且只有两个：2与-2.
由此可见：一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与 -r .
知识要点
正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”;正数 a 的负平方根记作 ，读作“负根号 a”.
这样，正数 a的两个平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号a”.
知识要点
于是，4的平方根是 ，由上可知 =±2.
同样，2 的平方根是 .
由于正方形的边长为正数，因此，本节“说一说”中拼成的面积是2的正方形的边长为 .
小贴士：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；一个正数只有一个算术平方根.
03
新知探究
探究二
0和负数的平方根
【思考】0的平方根是多少？负数有平方根吗？
由于02= 0，而非零数的平方不等于0，因此0的平方根就是0本身.
0的平方根也叫作0的算术平方根，记作 ，即 = 0.
在目前我们所学习的数中，由于同号两数相乘得正数，且 02= 0，因此，不存在一个数的平方是负数，从而负数没有平方根.
03
新知探究
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
这个非负数叫作被开方数.
根号“ ”可理解为一种运算符号，表示对被开方数进行开平方运算 .
开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.
例如，9 的平方根是±3，±3 的平方是 9；
5 的平方根是± ，± 的平方根是5.
03
新知讲解
例1
分别求下列各数的平方根：
（1） 36； （2） （3）1.21
解 ：（1） 由于（±6）2 = 36，因此36的平方根是6与-6，即
03
新知讲解
例1
分别求下列各数的平方根：
（1） 36； （2） （3）1.21
（3） 由于（±1.1）2 =1.21 ，因此1.21的平方根是1.1与-1.1，即
03
新知讲解
例2
分别求下列各数的算术平方根：
（1） 100； （2） 1. 96； （3）
解：（1） 由于10 2 =100 ，因此
（2） 由于1.4 2 =1.96 ，因此
（3） 由于 因此
03
新知讲解
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
（1）| -81 |； （2）（-5）2.
解：（1）| -81 |=81，81的平方根为±9.
（2）（-5）2=25，25的平方根为±5.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.平方根等于它本身的数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 下列说法正确的是( ).
A. 任何正数都有平方根
B. 任何有理数都有平方根
C. (-2) 的平方根是-2
D. | -4 |的平方根是2
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列说法不正确的是( ).
A. 6是36的平方根
B. -6是36的平方根
C. 36的平方根是6
D. 36的平方根是±6
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.下列说法正确的是( ).
A. 因为52 = 25，所以5是25的算术平方根
B. 因为(-5)2= 25，所以-5是25的算术平方根
C. 因为(±5)2 = 25，所以5和-5都是25的算术平方根
D. 以上说法都不对
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是( )
A. 0
B. 1
C. 1或0
D. -1
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是( ).
A. 2
B. 5
C. 10
D. 20
B
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.将长和宽分别为2和1的长方形沿如图虚线剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是多少？
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.将长和宽分别为2和1的长方形沿如图虚线剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是多少？
解：长方形的长为2，宽为1，∴长方形的面积为2×1=2，
设拼成的正方形的边长为a，则a>0且a2 =2，∴a = ，即该正方形的边长是 .
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.如果有一个数 r，使得 r 2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根.
2.如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r与 -r . 正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根.
3.0的平方根就是0本身；负数没有平方根.
4.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 求下列各数的平方根：
（1）121； （2）0.0081.
解：（1）因为(±11)2= 121，所以121的平方根是±11.
（2）因为(±0.09)2= 0.008 1，所以0.0081的平方根是±0.09.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.一个正数m的平方根是2a - 8与10 - 4a，则m的值是( ).
A. 6
B. -6
C. 36
D. 1
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 的算术平方根是( ）.
A.±9
B.±3
C. 9
D.3
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 若正方形的面积是100，则该正方形的边长是( ).
A.100的平方根
B. 的平方根
C.100的算术平方根
D. 的算术平方根
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知2a-1的平方根为± ，3a- 2b +1的平方根为±3，
求 4a-b 的平方根.
解：2a-1的平方根为± ，∴ 2a-1 = 3，∴ a =2.
∵ 3a - 2b+1的平方根为±3，∴ 3a- 2b +1=9.
∴b= -1. ∴ 4a-b=8+1=9.
∴4a- b的平方根为±3.
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。5.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
内容分析 实数是在有理数的基础上进一步扩充数系，它是初中数学知识体系中的重要组成部分。从数学学科内部发展来看，实数的学习为后续学习一元二次方程、函数等知识奠定基础；从实际应用角度，实数在物理、工程、金融等诸多领域有着广泛的应用，能帮助学生解决更复杂的现实问题。本单元主要内容包括算术平方根、平方根、立方根的概念与运算，无理数的认识，实数的概念及分类，实数与数轴上点的一一对应关系，实数的运算等。由数的开方引入无理数，进而构建实数体系，各知识点层层递进，逻辑紧密。
学情分析 七年级学生已掌握有理数的相关知识，具备一定的运算能力和逻辑思维基础。但对于数系的扩充，从有理数到无理数的跨越是一个难点，学生初次接触无理数的抽象概念，理解诸如无限不循环小数等特征会有困难，在进行实数运算时，对法则的准确运用以及符号处理也容易出错。
单元目标 （一）教学目标1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根。2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，用立方运算求某些数的立方根。3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能对实数进行分类。4.掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，会进行简单的实数混合运算，会比较实数的大小。5.通过探究数的开方运算过程，培养学生的类比、归纳、抽象思维能力。6.经历无理数发现以及实数体系构建过程，体会数学知识的内在联系和拓展，提升学生的逻辑推理能力。7.在解决实数相关问题中，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数感和符号意识。（二）教学重点、难点重点1.算术平方根、平方根、立方根的概念与运算。2.无理数、实数的概念及实数与数轴的关系。3.实数的运算规则及简单混合运算。难点1.对无理数概念的理解，尤其是无限不循环小数的直观认识。2.实数运算中，对运算法则的准确运用以及复杂运算中符号的处理。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1 平方根认识平方根和算术平方根22.2立方根认识立方根和开立方12.3 实数知道实数的组成和会进行实数的运算2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1 平方根1.理解平方根和立方根的概念，能准确说出它们的定义、表示方法及性质。2.了解开方运算与乘方运算的互逆关系，并能利用这种关系进行简单的数学运算。能够熟练运用开平方和开立方运算，求出给定数的平方根和立方根。任务一：讲解平方根和立方根的基本概念、原理、法则等知识，使学生形成初步认知。任务二：巩固练习。1.学生理解无理数的概念，精准识别无理数，能明确阐述无理数是无限不循环小数。2.熟练掌握无理数的常见表现形式。1.了解无理数的定义，即无限不循环小数，以及常见的三种表现形式。2.掌握无理数与数轴的关系。1.系统讲解无理数的核心概念、关键特征、重要理论，为学生搭建知识框架。2.分组讨论、合作完成在数轴上表示无理数的任务。2.2立方根1.学生能够深入理解立方根的概念，熟练掌握立方根的表示方法，准确说出立方根的性质特点。2.对于给定的数，能迅速且正确地运用开立方运算求出其立方根。理解立方根与平方根在概念、性质、运算等方面的异同点，构建完整的数的开方知识体系。任务一：讲解立方根的基本概念、原理、法则，让学生形成初步认知。任务二：将立方根与平方根进行对比教学，从概念、性质、运算等多方面类比。2.3 实数1.学生能够清晰阐述实数的定义，准确说出实数的分类。2.深刻理解无理数在实数体系中的地位，熟练识别常见的无理数。1.掌握实数的概念与分类，让学生准确把握实数的范畴，清晰区分有理数和无理数。2.实数与数轴上的点一一对应的关系。任务一：讲解实数的定义、分类标准、数轴对应关系等基础知识，为学生构建知识框架。任务二：巩固练习。1.学生能够熟练掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算规则，理解运算律在实数范围内同样适用。2.能准确进行简单的实数混合运算，包括含有无理数的运算，正确运用运算顺序，规范书写解题过程。1.掌握实数的基本运算规则及混合运算的顺序与方法，确保能正确、熟练地进行运算。2.掌握比较实数大小的常用方法，能够根据实数特点灵活运用恰当方法进行比较。任务一：通过对比有理数运算中的相关知识，引导学生快速掌握实数运算知识。任务二：在实践中巩固运算知识，提高运算技能。
《实数》单元教学设计
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