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分课时教学设计
《2.1.2 无理数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是初中数学七年级下册教材中数与代数领域的重要内容。它是在学生已经学习了有理数的基础上，对数系的进一步扩充，为后续学习实数的运算、二次根式等知识奠定了基础。本节课主要介绍无理数的概念，通过对一些具体例子的分析，让学生理解无理数是无限不循环小数。同时，通过引导学生对无理数进行估算，培养学生的数感和近似计算能力。
学习者分析 七年级学生在之前已经学习了有理数，对有理数的概念和运算有了一定的掌握。但对于无理数这种全新的数的形式，学生理解起来可能会有困难。尤其是无限不循环小数的概念，比较抽象，需要通过具体的实例引导学生逐步理解。另外，学生在数的估算方面也缺乏一定的经验，需要教师在教学过程中加强指导。
教学目标 1.能够理解无理数的概念，能正确识别无理数；掌握估算无理数的方法，能对一些简单的无理数进行估算。 2.通过观察、分析、归纳等活动，培养逻辑思维能力和自主探究能力；在估算无理数的过程中，提高学生的数感和近似计算能力。 3.通过对无理数的探索，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生勇于探索的精神。
教学重点 能够理解无理数的概念，能正确识别无理数；掌握估算无理数的方法，能对一些简单的无理数进行估算。
教学难点 通过观察、分析、归纳等活动，培养逻辑思维能力和自主探究能力；在估算无理数的过程中，提高学生的数感和近似计算能力。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 教师出示问题： 1.什么是平方根？ 如果有一个数 r，使得 r2= a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 2.什么是算术平方根？ 正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根. 3. 0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 0的平方根就是0本身. 负数没有平方根. 4.什么是开平方？ 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数.学生活动1： 学生思考上节课学习的内容，回答教师提问的问题。 活动意图说明：通过复习旧知识，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：新知探究教师活动2： 教师出示课本问题：正方形的面积是2，边长是多少？ 2 的平方根是, 由于正方形的边长为正数，所以面积是2的正方形的边长为. 思考：是一个怎样的数呢？ 观察下列结果： 12 = 1， 22= 4； 1. 42= 1. 96， 1. 52 = 2. 25； 1. 412= 1. 988 1， 1. 422= 2. 016 4； 1. 4142 = 1. 999 396， 1. 4152 = 2. 002 225； 1. 414 22 = 1. 999 961 64 1. 414 32 = 2. 000 244 49； … … （1） 分别根据上述结果，估计2的算术平方根的大致范围； 由于12 < 2，2 < 22 ，所以1 < < 2. 由于1. 42 <2< 1.52 ，所以1.4< < 1.5. 同理可得，1. 41 < < 1. 42， 1. 414 << 1. 415， 1. 414 2 < < 1. 414 3. （2） 猜测是一个怎样的数？ 由（1）可以猜测应该比 1. 414 2大，比 1. 414 3小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数. 总结：无理数的定义 事实上，不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数 . 无限不循环小数叫作无理数. 从上述分析知道，是一个无限不循环小数，即是一个无理数. π = 3. 141 592 653… ， = 1. 732 050 807… ， = 2. 236 067 977… ，= 2. 645 751 311… 都是无理数. 与有理数一样，无理数也分为正无理数和负无理数. 例如，，，π是正无理数，-，-，-π是负无理数. 议一议：下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由. （1） 无限小数都是有理数； 错误，无限循环小数都是有理数 （2） 无理数都是无限小数； 错误，无理数都是无限不循环小数 （3） 带根号的数都是无理数； 错误，化简后仍带根号的数都是无理数 （4） 无理数都是带根号的数. 错误，π是无理数，不带根号学生活动2： 学生思考教师提出的问题。 师生共同估计的大小。 学生根据教师引导总结无理数的概念。 组织学生进行小组讨论，让学生列举一些无理数的例子，加深对无理数概念的理解。 活动意图说明：通过具体的例子，让学生直观地感受无理数的特点，培养学生的观察能力和归纳能力；小组讨论可以激发学生的思维，促进学生之间的交流与合作。环节三：新知探究根据实际需要，有时需用一个有限小数来近似地表示一个无理数. 例如 π=3.141 592 653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 π≈3. 14，π≈3. 142，…，我们称 3. 14，3. 142 分别是 π 的精确到小数点后面第二位、第三位的近似值. 3. 14，3. 142，3. 141 6，…都是π的近似值，称它们为近似数. 近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有 π≈3(精确到个位)， π≈3.1(精确到0.1，或叫作精确到小数点后面第一位)， π≈3.14(精确到0.01，或叫作精确到小数点后面第两位)， π≈3.142(精确到0.001，或叫作精确到小数点后面第四位)， π≈3.141 6(精确到0.000 1，或叫作精确到小数点后面第五位). 利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值. 例3：用计算器求下列各式的值. （1）（2）（结果精确到小数点后面第三位）. 解 （1） 依次按键： 显示结果：32. 所以=32. （2） 依次按键： 显示结果：2. 828 427 125. 所以≈ 2. 828. 拓展提升： 下列说法是否正确？请举例说明. （1） 一个正数a，先开平方，然后再平方，最后的结果等于a； 正确 举例： = 4，4 2 =16. （2） 一个数b，先平方，然后求它的算术平方根，最后的结果等于b. 错误 举例： 42 =16，=4. （-4）2 =16，=4. 一个数b，先平方，然后求它的算术平方根，最后的结果等于│b│. 做一做： =成立吗？若不成立，请举例说明 不一定，比如当a=-2时不成立学生活动3： 学生探究一个无理数 的近似值。 学生学习如何用计算器求无理数的近似值. 活动意图说明：强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
板书设计 课题：2.1.2 无理数 一、无理数的定义 二、无理数的估算
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是( B ). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 估计的值在( C ). A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 3.面积为13的正方形边长为a，则a的值在( C ). A.3.58和3.59之间 B.3.59和3.60之间 C.3.60和3.61之间 D.3.61和3.62之间 4.用计算器求下列各数的近似值.(结果精确到0.01) （1） （2）- （3） 选做题： 5.下列各数中，是无理数的是( B ) A. -2023 B. C. 0 D. 6.给出下列说法： ①无限小数都是无理数； ②无理数都是无限小数； ③带根号的数都是无理数； ④开方开不尽的数是无理数. 其中错误的是__①③____.（填序号） 【综合拓展类作业】 7.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得.请同学们观察下表: n160.160.00161600160000...4x0.04y400...
(1)表格中x=___0.4____ , y=__40____; （2）发现规律：如果被开方数的小数点向右移动2位，那么它的算术平方根的小数点就向_右___移动__1_位；如果被开方数的小数点向左移动4位，那么它的算术平方根的小数点就向_左___移动__2_位； (3) 利用你发现的规律，探究下面的问题: 已知≈1.435，填空: __0.1435_________ ___1435______
课堂总结 本节课你学到了什么？ 无理数常见的几种类型： 1.无规律的无限不循环小数，例如2.236 067 978… 2.有规律的无限不循环小数，例如0.585 885 888 588 885 …(相邻两个5之间8的个数逐次加1)； 3.圆周率π及某些含π的数，例如π-3. 4.开方开不尽的数，例如.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各数3.141 592 6，，1.212 212 221 …(每相邻两个1之间依次多一个2)，，2 - π，-2 022， 中，无理数有（ C ）个. A.1 B.2 C.3 D.4 2.有一个数值转换器，原理如图，当输入的x=64时，输出的y等于( C ). A.2 B.8 C. D. 选做题： 3. 在数轴上，离最近的整数是( B ) A.7 B.6 C.5 D.4 4. 大、中、小三个正方形按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是( B ). A. 1 B. C. D. 3 【综合拓展类作业】 5.已知2a+1的算术平方根是5，10+3b的平方根是±4，c是的整数部分，求a-5b+c的算术平方根. 解：∵ 2a +1的算术平方根是5， ∴2a +1=25，解得a=12. ∵10 +3b的平方根是±4， ∴10 +3b=16，解得b=2. ∵ 16<19<25，∴ 4<<5. 又∵ c是的整数部分， ∴c = 4. ∴ a-5b+c=12-5×2+4=6. ∴ a- 5b +c的算术平方根是 .
教学反思 从教学目标的达成情况来看，大部分学生能够理解无理数的概念并进行简单识别，在一定程度上掌握了估算无理数的方法，达成了知识与技能目标。但在过程与方法目标的实现上，部分学生在自主探究和逻辑思维能力的锻炼方面还有待提高，例如在归纳无理数概念时，部分学生缺乏主动思考和总结的能力。情感态度与价值观目标的达成较为理想，学生对数学的好奇心和探索精神得到了激发。
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第二章 实数
2.1.2 无理数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能够理解无理数的概念，能正确识别无理数；掌握估算无理数的方法，能对一些简单的无理数进行估算。
01
通过观察、分析、归纳等活动，培养逻辑思维能力和自主探究能力；在估算无理数的过程中，提高学生的数感和近似计算能力。
02
通过对无理数的探索，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生勇于探索的精神。
03
02
新知导入
如果有一个数 r，使得 r2= a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根.
思考：1.什么是平方根？
2.什么是算术平方根？
正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根.
02
新知导入
0的平方根就是0本身.
思考：3. 0的平方根是多少？负数有平方根吗？
负数没有平方根.
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
这个非负数叫作被开方数.
4.什么是开平方？
03
新知探究
正方形的面积是2，边长是多少？
2 的平方根是 , 由于正方形的边长为正数，所以面积是2的正方形的边长为 .
03
新知探究
是一个怎样的数呢？
观察下列结果：
12 = 1， 22 = 4；
1. 42 = 1. 96， 1. 52 = 2. 25；
1. 412 = 1. 988 1， 1. 422 = 2. 016 4；
1. 4142 = 1. 999 396， 1. 4152 = 2. 002 225；
1. 414 22 = 1. 999 961 64， 1. 414 32 = 2. 000 244 49；
… …
03
新知探究
（1） 分别根据上述结果，估计2的算术平方根 的大致范围；
由于12 < 2，2 < 22，所以1 < < 2.
由于1. 42 < 2 < 1. 52，所以1. 4 < < 1. 5.
同理可得，1. 41 < < 1. 42，
1. 414 < < 1. 415，
1. 414 2 < < 1. 414 3.
分析
03
新知探究
（2） 猜测 是一个怎样的数？
由（1）可以猜测 应该比 1. 414 2大，比 1. 414 3小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
03
新知探究
探究一
无理数的定义
事实上， 不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数 . 无限不循环小数叫作无理数.
从上述分析知道， 是一个无限不循环小数，即 是一个无理数.
03
新知探究
π = 3. 141 592 653… ， = 1. 732 050 807… ，
= 2. 236 067 977… ， = 2. 645 751 311…，
…都是无理数.
与有理数一样，无理数也分为正无理数和负无理数.
例如， ， ，π是正无理数，- ，- ，-π是负无理数.
03
新知探究
下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由.
（1） 无限小数都是有理数；
（2） 无理数都是无限小数；
（3） 带根号的数都是无理数；
（4） 无理数都是带根号的数.
×
无限循环小数都是有理数
×
无理数都是无限不循环小数
×
化简后仍带根号的数都是无理数
×
π是无理数，不带根号
03
新知探究
根据实际需要，有时需用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
探究二
近似数
例如 π=3.141 592 653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 π≈3. 14，π≈3. 142，…，我们称 3. 14，3. 142 分别是 π 的精确到小数点后面第二位、第三位的近似值.
3. 14，3. 142，3. 141 6，…都是π的近似值，称它们为近似数.
03
新知探究
近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有
π≈3(精确到个位)，
π≈3.1(精确到0.1，或叫作精确到小数点后面第一位)，
π≈3.14(精确到0.01，或叫作精确到小数点后面第两位)，
π≈3.142(精确到0.001，或叫作精确到小数点后面第四位)，
π≈3.141 6(精确到0.000 1，或叫作精确到小数点后面第五位).
03
新知探究
利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.
03
新知探究
解 （1） 依次按键：
显示结果：32.
所以 =32.
用计算器求下列各式的值.
（1） （2） （结果精确到小数点后面第三位）.
例3
03
新知探究
显示结果：2. 828 427 125.
所以 ≈ 2. 828.
解 （2） 依次按键：
用计算器求下列各式的值.
（1） （2） （结果精确到小数点后面第三位）.
例3
03
拓展提升
下列说法是否正确？请举例说明.
（1） 一个正数a，先开平方，然后再平方，最后的结果等于a；
正确
举例： = 4，4 2 =16.
03
拓展提升
下列说法是否正确？请举例说明.
（2） 一个数b，先平方，然后求它的算术平方根，最后的结果等于b.
错误
举例： 42 =16， =4.
（-4）2 =16， =4.
一个数b，先平方，然后求它的算术平方根，最后的结果等于│b│.
03
新知探究
成立吗？若不成立，请举例说明
不一定成立，只有当a≥0时，
比如当a=-2时，=2≠a
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是( ).
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 估计 的值在( ).
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.面积为13的正方形边长为a，则a的值在( ).
A.3.58和3.59之间
B.3.59和3.60之间
C.3.60和3.61之间
D.3.61和3.62之间
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.用计算器求下列各数的近似值.(结果精确到0.01)
（1） （2） （3）
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.下列各数中，是无理数的是( )
A. -2023
B.
C. 0
D.
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.给出下列说法：
①无限小数都是无理数；
②无理数都是无限小数；
③带根号的数都是无理数；
④开方开不尽的数是无理数.
其中错误的是______.（填序号）
①③
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得.请同学们观察下表:
n 16 0.16 0.0016 1600 160000 ...
4 x 0.04 y 400 ...
(1)表格中x=_______ , y=______;
0.4
40
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.（2）发现规律：如果被开方数的小数点向右移动2位，那么它的算术平方根的小数点就向____移动___位；如果被开方数的小数点向左移动4位，那么它的算术平方根的小数点就向____移动___位；
右
1
左
2
(3) 利用你发现的规律，探究下面的问题:
已知 ≈1.435，填空:
1435
0.1435
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
无理数常见的几种类型：
1.无规律的无限不循环小数，例如2.236 067 978…
2.有规律的无限不循环小数，例如0.585 885 888 588 885 …(相邻两个5之间8的个数逐次加1)；
3.圆周率π及某些含π的数，例如π-3.
4.开方开不尽的数，例如 .
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各数3.141 592 6， ，1.212 212 221 …(每相邻两个1之间依次多一个2)， ，2 - π，-2 022，中，无理数有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.有一个数值转换器，原理如图，当输入的x=64时，输出的y等于( ).
A.2
B.8
C.
D.
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 在数轴上，离 最近的整数是( )
A.7
B.6
C.5
D.4
B
06
作业布置
B
【知识技能类作业】选做题：
4. 大、中、小三个正方形按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是( ).
A. 1
B.
C.
D. 3
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知2a+1的算术平方根是5，10+3b的平方根是±4，c是 的整数部分，求a-5b+c的算术平方根.
解：∵ 2a +1的算术平方根是5，
∴2a +1=25，
解得a=12.
∵10 +3b的平方根是±4，
∴10 +3b=16，解得b=2.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知2a+1的算术平方根是5，10+3b的平方根是±4，c是 的整数部分，求a-5b+c的算术平方根.
∵ 16<19<25，∴ 4< <5.
又∵ c是 的整数部分，
∴c = 4.
∴ a-5b+c=12-5×2+4=6.
∴ a- 5b +c的算术平方根是 .
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。5.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
内容分析 实数是在有理数的基础上进一步扩充数系，它是初中数学知识体系中的重要组成部分。从数学学科内部发展来看，实数的学习为后续学习一元二次方程、函数等知识奠定基础；从实际应用角度，实数在物理、工程、金融等诸多领域有着广泛的应用，能帮助学生解决更复杂的现实问题。本单元主要内容包括算术平方根、平方根、立方根的概念与运算，无理数的认识，实数的概念及分类，实数与数轴上点的一一对应关系，实数的运算等。由数的开方引入无理数，进而构建实数体系，各知识点层层递进，逻辑紧密。
学情分析 七年级学生已掌握有理数的相关知识，具备一定的运算能力和逻辑思维基础。但对于数系的扩充，从有理数到无理数的跨越是一个难点，学生初次接触无理数的抽象概念，理解诸如无限不循环小数等特征会有困难，在进行实数运算时，对法则的准确运用以及符号处理也容易出错。
单元目标 （一）教学目标1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根。2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，用立方运算求某些数的立方根。3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能对实数进行分类。4.掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，会进行简单的实数混合运算，会比较实数的大小。5.通过探究数的开方运算过程，培养学生的类比、归纳、抽象思维能力。6.经历无理数发现以及实数体系构建过程，体会数学知识的内在联系和拓展，提升学生的逻辑推理能力。7.在解决实数相关问题中，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数感和符号意识。（二）教学重点、难点重点1.算术平方根、平方根、立方根的概念与运算。2.无理数、实数的概念及实数与数轴的关系。3.实数的运算规则及简单混合运算。难点1.对无理数概念的理解，尤其是无限不循环小数的直观认识。2.实数运算中，对运算法则的准确运用以及复杂运算中符号的处理。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1 平方根认识平方根和算术平方根22.2立方根认识立方根和开立方12.3 实数知道实数的组成和会进行实数的运算2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1 平方根1.理解平方根和立方根的概念，能准确说出它们的定义、表示方法及性质。2.了解开方运算与乘方运算的互逆关系，并能利用这种关系进行简单的数学运算。能够熟练运用开平方和开立方运算，求出给定数的平方根和立方根。任务一：讲解平方根和立方根的基本概念、原理、法则等知识，使学生形成初步认知。任务二：巩固练习。1.学生理解无理数的概念，精准识别无理数，能明确阐述无理数是无限不循环小数。2.熟练掌握无理数的常见表现形式。1.了解无理数的定义，即无限不循环小数，以及常见的三种表现形式。2.掌握无理数与数轴的关系。1.系统讲解无理数的核心概念、关键特征、重要理论，为学生搭建知识框架。2.分组讨论、合作完成在数轴上表示无理数的任务。2.2立方根1.学生能够深入理解立方根的概念，熟练掌握立方根的表示方法，准确说出立方根的性质特点。2.对于给定的数，能迅速且正确地运用开立方运算求出其立方根。理解立方根与平方根在概念、性质、运算等方面的异同点，构建完整的数的开方知识体系。任务一：讲解立方根的基本概念、原理、法则，让学生形成初步认知。任务二：将立方根与平方根进行对比教学，从概念、性质、运算等多方面类比。2.3 实数1.学生能够清晰阐述实数的定义，准确说出实数的分类。2.深刻理解无理数在实数体系中的地位，熟练识别常见的无理数。1.掌握实数的概念与分类，让学生准确把握实数的范畴，清晰区分有理数和无理数。2.实数与数轴上的点一一对应的关系。任务一：讲解实数的定义、分类标准、数轴对应关系等基础知识，为学生构建知识框架。任务二：巩固练习。1.学生能够熟练掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算规则，理解运算律在实数范围内同样适用。2.能准确进行简单的实数混合运算，包括含有无理数的运算，正确运用运算顺序，规范书写解题过程。1.掌握实数的基本运算规则及混合运算的顺序与方法，确保能正确、熟练地进行运算。2.掌握比较实数大小的常用方法，能够根据实数特点灵活运用恰当方法进行比较。任务一：通过对比有理数运算中的相关知识，引导学生快速掌握实数运算知识。任务二：在实践中巩固运算知识，提高运算技能。
《实数》单元教学设计
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