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分课时教学设计
《2.3.1 认识实数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《认识实数》是初中数学数与代数领域的重要内容。在此之前，学生已学习了有理数，对数字的认知有了一定基础。而实数的引入，是对数系的进一步扩充和完善，为后续学习函数、方程等知识奠定了基础。它不仅是有理数的延伸，更是连接初等数学与高等数学的桥梁，在数学知识体系中起着承上启下的关键作用。
学习者分析 学生在之前已经系统学习了有理数，包括有理数的概念、运算等，对数字的认知有了一定的基础。但无理数概念较为抽象，与有理数的认知有所不同，学生可能难以理解。对于实数与数轴上点的一一对应关系，学生虽然对数轴有一定了解，但将实数与数轴上的点准确对应起来，需要学生具备一定的抽象思维和数形结合能力，这对学生来说有一定难度。
教学目标 1.了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类。 2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用数轴上的点表示无理数。 3.通过观察、分析、对比等活动，经历无理数概念的形成过程，培养学生的观察能力、分析归纳能力以及抽象思维能力。
教学重点 无理数和实数的概念，实数的分类，实数与数轴上的点的一一对应关系。
教学难点 对无理数的理解，以及实数与数轴上的点一一对应关系的建立。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 教师出示问题：有理数可以分为整数和分数吗？分数又如何分类呢？ 什么是无理数？无理数有哪些类型 无限不循环小数称为无理数． 学生活动1： 学生思考教师提出的问题，为本节课学习新知识奠定基础。 活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：新知探究教师活动2： 教师出示问题：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0. 101 001…（相邻两个 1之间逐次增加一个0）. 0. 101 001…（相邻两个 1之间逐次增加一个0）.是无理数. 教师出示实数的定义：有理数和无理数统称实数。 到目前为止，对所学过的数可以进行如下分类： 拓展提高 （1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简， 然后根据最后结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数． （2）π是无理数，化简后含π的数也是无理数． 你还有其他分类方法吗？ 学生活动2： 学生回答教师提出的问题，判断哪些数是有理数，哪些数是无理数。 师生总结实数的定义。 学生理解怎样区分有理数和无理数. 活动意图说明：运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：新知探究教师出示问题，探究实数与数轴的关系 思考： 每一个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，那么每一个无理数（如）是否也可以用数轴上唯一的点来表示呢？ 前面已经构造出了一个边长为 的正方形. 于是，以1为单位长度，画一根数轴，以数轴的原点为圆心，以该正方形的边长为半径画弧，则会与数轴相交于A，B两点，如图所示. 【总结归纳】 于是，数轴上有唯一的点A和点B分别表示和- . 事实上，每一个无理数都可以用数轴上唯一的点来表示. 综上可知：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示. 反过来，还可以说明：数轴上每一个点都表示唯一的实数. 将上面两个结论合起来，可以简洁地说成： 实数和数轴上的点一一对应. 实数分为正实数、零、负实数 . 与规定有理数的大小一样，规定正实数都大于 0，负实数都小于 0. 数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点在原点左边. 与有理数一样，如果两个实数只有符号不同，那么其中的一个数叫作另一个数的相反数，也称它们互为相反数. 例如， 和- 互为相反数，0 的相反数是 0. 我们把实数 a 的相反数记作-a. 实数的绝对值意义也与有理数一样： 正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0. 设a表示一个实数，则 【例1】求下列各数的相反数和绝对值： 学生活动3： 学生探究实数与数轴的关系. 学生完成例题。 活动意图说明：强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
板书设计 课题：2.3.1 认识实数 一、实数的定义 二、实数与数轴上的点的对应关系 三、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列说法正确的是( D ). A. 正实数和负实数统称实数 B. 正数、0和负数统称有理数 C. 带根号的数和分数统称实数 D. 无理数和有理数统称实数 2.实数P在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数P小的是( A ) A. -3 B. -1 C. 0 D.1 3.如图，数轴上表示实数的点可能是( B ). A.点P B.点Q C.点R D.点S 4.有一个数值转换器，原理如图，当输入的x=64时，输出的y等于( C ) . A. 2 B. 8 C. D. 选做题： 5.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以点A为圆心，以正方形ABCD 的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为( D ). A.-2 B.-1 C. D. 6.下面四个数中，比1小的正无理数是( A ) 【综合拓展类作业】 7.如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，已知b是最小的正整数，且a，c满足( c-6 )2 +│a+2│ =0. (1)求式子a2 +c2 - 2ac的值; 解:因为( c-6 )2 +│a+2│ =0， 所以 a+2 =0，c-6 =0，解得a= -2，c=6， 所以a2+c2 - 2ac =4 +36 +24 =64. (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数; 解：因为b是最小的正整数，所以b=1. 因为(-2 +1) ÷2= -0.5，所以6-(-0.5)=6.5，-0.5-6.5=-7， 所以与点C重合的点表示的数是 -7.
课堂总结 本节课你学到了什么？ 1.有理数和无理数统称实数. 2.实数和数轴上的点一一对应. 3.如果两个实数只有符号不同，那么其中的一个数叫作另一个数的相反数. 4.正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.给出下列结论： ①数轴上的点只能表示无理数; ②任何一个无理数都能用数轴上的点表示; ③实数与数轴上的点一一对应; ④有理数有无限个，无理数有有限个. 其中正确的是( B ) A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 2.如图，下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是( B ) A.0 B. C. D. π 选做题： 3.如图，实数a对应的点在数轴上的位置如图所示，化简： 等于 （ C ） 4.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是( C ). A. -c-c C. | a - b |=b-a D. | c - a |=a-c 【综合拓展类作业】 5.如图，数轴上从左到右依次有D，C，A，B 四点，点A，B分别表示1和 ，点C到点D的距离与点B到点A的距离相等，设点C表示的数为x. (1)当D表示的数为0时，x的值是________； (2)当D表示的数为-2 时，①x 的值是 __-________; ②若m为x-2的相反数，n为x+2的绝对值，求m-n的值.
教学反思 在本节课的教学过程中，通过复习回顾有理数的知识，以问题情境引入新课，激发了学生的学习兴趣和求知欲。在讲解无理数和实数的概念、实数的分类以及实数与数轴上点的对应关系时，采用了多种教学方法相结合，如讲授法、探究法、类比法等，让学生在自主探究和合作交流中理解和掌握知识。通过例题讲解和课堂练习，及时巩固学生所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。5.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
内容分析 实数是在有理数的基础上进一步扩充数系，它是初中数学知识体系中的重要组成部分。从数学学科内部发展来看，实数的学习为后续学习一元二次方程、函数等知识奠定基础；从实际应用角度，实数在物理、工程、金融等诸多领域有着广泛的应用，能帮助学生解决更复杂的现实问题。本单元主要内容包括算术平方根、平方根、立方根的概念与运算，无理数的认识，实数的概念及分类，实数与数轴上点的一一对应关系，实数的运算等。由数的开方引入无理数，进而构建实数体系，各知识点层层递进，逻辑紧密。
学情分析 七年级学生已掌握有理数的相关知识，具备一定的运算能力和逻辑思维基础。但对于数系的扩充，从有理数到无理数的跨越是一个难点，学生初次接触无理数的抽象概念，理解诸如无限不循环小数等特征会有困难，在进行实数运算时，对法则的准确运用以及符号处理也容易出错。
单元目标 （一）教学目标1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根。2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，用立方运算求某些数的立方根。3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能对实数进行分类。4.掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，会进行简单的实数混合运算，会比较实数的大小。5.通过探究数的开方运算过程，培养学生的类比、归纳、抽象思维能力。6.经历无理数发现以及实数体系构建过程，体会数学知识的内在联系和拓展，提升学生的逻辑推理能力。7.在解决实数相关问题中，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数感和符号意识。（二）教学重点、难点重点1.算术平方根、平方根、立方根的概念与运算。2.无理数、实数的概念及实数与数轴的关系。3.实数的运算规则及简单混合运算。难点1.对无理数概念的理解，尤其是无限不循环小数的直观认识。2.实数运算中，对运算法则的准确运用以及复杂运算中符号的处理。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1 平方根认识平方根和算术平方根22.2立方根认识立方根和开立方12.3 实数知道实数的组成和会进行实数的运算2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1 平方根1.理解平方根和立方根的概念，能准确说出它们的定义、表示方法及性质。2.了解开方运算与乘方运算的互逆关系，并能利用这种关系进行简单的数学运算。能够熟练运用开平方和开立方运算，求出给定数的平方根和立方根。任务一：讲解平方根和立方根的基本概念、原理、法则等知识，使学生形成初步认知。任务二：巩固练习。1.学生理解无理数的概念，精准识别无理数，能明确阐述无理数是无限不循环小数。2.熟练掌握无理数的常见表现形式。1.了解无理数的定义，即无限不循环小数，以及常见的三种表现形式。2.掌握无理数与数轴的关系。1.系统讲解无理数的核心概念、关键特征、重要理论，为学生搭建知识框架。2.分组讨论、合作完成在数轴上表示无理数的任务。2.2立方根1.学生能够深入理解立方根的概念，熟练掌握立方根的表示方法，准确说出立方根的性质特点。2.对于给定的数，能迅速且正确地运用开立方运算求出其立方根。理解立方根与平方根在概念、性质、运算等方面的异同点，构建完整的数的开方知识体系。任务一：讲解立方根的基本概念、原理、法则，让学生形成初步认知。任务二：将立方根与平方根进行对比教学，从概念、性质、运算等多方面类比。2.3 实数1.学生能够清晰阐述实数的定义，准确说出实数的分类。2.深刻理解无理数在实数体系中的地位，熟练识别常见的无理数。1.掌握实数的概念与分类，让学生准确把握实数的范畴，清晰区分有理数和无理数。2.实数与数轴上的点一一对应的关系。任务一：讲解实数的定义、分类标准、数轴对应关系等基础知识，为学生构建知识框架。任务二：巩固练习。1.学生能够熟练掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算规则，理解运算律在实数范围内同样适用。2.能准确进行简单的实数混合运算，包括含有无理数的运算，正确运用运算顺序，规范书写解题过程。1.掌握实数的基本运算规则及混合运算的顺序与方法，确保能正确、熟练地进行运算。2.掌握比较实数大小的常用方法，能够根据实数特点灵活运用恰当方法进行比较。任务一：通过对比有理数运算中的相关知识，引导学生快速掌握实数运算知识。任务二：在实践中巩固运算知识，提高运算技能。
《实数》单元教学设计
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第二章 实数
2.3.1 认识实数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类。
01
知道实数与数轴上的点一一对应，会用数轴上的点表示无理数。
02
通过观察、分析、对比等活动，经历无理数概念的形成过程，培养学生的观察能力、分析归纳能力以及抽象思维能力。
03
02
新知导入
有理数可以分为整数和分数吗？分数又如何分类呢？
有理数
有限小数
无限循环小数
整数
分数
02
新知导入
什么是无理数？无理数有哪些类型
无理数
含开不尽方的数
有规律但不循环的小数
无限不循环小数称为无理数．
含 π 的数
03
新知探究
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0. 101 001…（相邻两个 1之间
逐次增加一个0）.
有理数
无理数
03
新知探究
探究一
实数的定义
有理数和无理数统称实数。
到目前为止，对所学过的数可以进行如下分类：
实数
整数
分数
有理数
无理数（无限不循环小数）
有限小数
无限循环小数
03
新知探究
拓展提高
（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数．
（2）π是无理数，化简后含π的数也是无理数．
03
新知探究
你还有其他分类方法吗？
实数
正有理数
负有理数
负无理数
正实数
负实数
正无理数
零
03
新知探究
探究二
实数与数轴的关系
每一个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，那么每一个无理数（如 ）是否也可以用数轴上唯一的点来表示呢？
前面已经构造出了一个边长为 的正方形. 于是，以1为单位长度，画一根数轴，以数轴的原点为圆心，以该正方形的边长为半径画弧，则会与数轴相交于A，B两点，如图所示.
03
新知讲解
【总结归纳】
于是，数轴上有唯一的点A和点B分别表示 .
事实上，每一个无理数都可以用数轴上唯一的点来表示.
综上可知：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示.
反过来，还可以说明：数轴上每一个点都表示唯一的实数.
将上面两个结论合起来，可以简洁地说成：
实数和数轴上的点一一对应.
03
新知讲解
实数分为正实数、零、负实数 .
与规定有理数的大小一样，规定正实数都大于 0，负实数都小于 0.
数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点在原点左边.
0
1
2
-1
-2
正实数
负实数
03
新知讲解
与有理数一样，如果两个实数只有符号不同，那么其中的一个数叫作另一个数的相反数，也称它们互为相反数.
例如， 和- 互为相反数，0 的相反数是 0.
我们把实数 a 的相反数记作-a.
03
新知讲解
实数的绝对值意义也与有理数一样：
设a表示一个实数，则
正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，
0的绝对值是0.
03
新知讲解
例1
求下列各数的相反数和绝对值：
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列说法正确的是( ).
A. 正实数和负实数统称实数
B. 正数、0和负数统称有理数
C. 带根号的数和分数统称实数
D. 无理数和有理数统称实数
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.实数P在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数P小的是( )
A. -3
B. -1
C. 0
D.1
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，数轴上表示实数 的点可能是( ).
A.点P B.点Q C.点R D.点S
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.有一个数值转换器，原理如图，当输入的x=64时，输出的y等于( ) .
A. 2 B. 8 C. D.
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以点A为圆心，以正方形ABCD 的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为( ).
A.-2
B.-1
C.
D.
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6. 下面四个数中，比1小的正无理数是( )
A
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，已知b是最小的正整数，且a，c满足( c-6 )2 +│a+2│ =0.
(1)求式子a2+c2 - 2ac的值;
解：因为( c-6 )2 +│a+2│ =0，
所以 a+2 =0，c-6 =0，解得a= -2，c=6，
所以a2+c2 - 2ac =4 +36 +24 =64.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，已知b是最小的正整数，且a，c满足( c-6 )2 +│a+2│ =0.
(2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数;
解：因为b是最小的正整数，所以b=1.
因为(-2 +1) ÷2= -0.5，所以6-(-0.5)=6.5，-0.5-6.5=-7，
所以与点C重合的点表示的数是 -7.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.有理数和无理数统称实数.
2.实数和数轴上的点一一对应.
3.如果两个实数只有符号不同，那么其中的一个数叫作另一个数的相反数.
4.正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，
0的绝对值是0.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 给出下列结论：
①数轴上的点只能表示无理数;
②任何一个无理数都能用数轴上的点表示;
③实数与数轴上的点一一对应;
④有理数有无限个，无理数有有限个.
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是( )
A.0 B. C. D. π
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，实数a对应的点在数轴上的位置如图所示，
化简： 等于 （ ）
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是( ).
A. -c-c
C. | a - b |=b-a D. | c - a |=a-c
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，数轴上从左到右依次有D，C，A，B 四点，点A，B分别表示1和 ，点C到点D的距离与点B到点A的距离相等，设点C表示的数为x.
(1)当D表示的数为0时，x的值是________；
(2)当D表示的数为-2 时，
①x 的值是 ___________;
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，数轴上从左到右依次有D，C，A，B 四点，点A，B分别表示1和 ，点C到点D的距离与点B到点A的距离相等，设点C表示的数为x.
②若m为x-2的相反数，n为x+2的绝对值，求m-n的值.
Thanks!
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