2024-2025学年贵州省铜仁市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省铜仁市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列是等差数列，若，，则( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆：的左顶点到上焦点的距离为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知方程表示圆，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.已知，分别是平面，的法向量，且，则( )
A. B. C. D.
5.圆：与圆：的公切线条数是( )
A. B. C. D.
6.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
7.平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则的长为( )
A. B. C. D.
8.过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，且，两点在轴上的正射影分别为点，若梯形的面积为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，数列满足，则( )
A. 数列的通项公式是
B. 若，则数列是递增等比数列
C. 若，则
D. 若，则数列的前项和
10.已知直线：；直线：，则( )
A. 当时，的一个方向向量为
B. 若，则
C. 若，则
D. 点到距离的最大值为
11.直三棱柱中，侧面为正方形，，、分别为、的中点，为棱上的动点设，，且，则( )
A. 过点，，的平面截该三棱柱所得的截面为梯形
B. 无论点如何运动，都有
C. 当时，点到平面的距离为
D. 已知是平面上的一动点，若，则点的轨迹为抛物线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线过点，且焦距为，则的渐近线方程为______．
13.最新发布的实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是______．
14.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球最内层的空心球上有个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量制作个层数分别为，，的鬼工球，其中层的鬼工球比层的鬼工球多出个雕孔，个鬼工球之间的雕孔数相差最多为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知三个顶点分别是，，．
求外接圆的标准方程；
若与直线：交于，两点，求．
17.本小题分
如图，三棱锥的边上存在一点，使得平面底面，且平面，过点作，垂足为．
证明：平面；
若，，，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线．
求的标准方程；
若直线：与交于，两点，且，求的取值范围．
19.本小题分
平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于，两点其中点在轴上方，且的周长为现将平面沿轴向上折叠，折叠后，两点在新图像中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示．
求折叠前的标准方程；
当时，折叠后，求平面与平面夹角的余弦值；
探究是否存在使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：等差数列的前项和为，设公差为，
由，，可得，
解得，
则，；
，
可得．
16.解：设圆的标准方程为，
三个顶点分别是，，，
则，解得，
故圆标准方程为；
设，，
联立，解得或，
故．
17.证明：因为平面底面，平面底面，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为平面，平面，所以，
又，、平面，
所以平面．
解：以为原点，，所在直线分别为，轴，作，建立如图所示的空间直角坐标系，
由知平面，
因为平面，所以，
又，所以，，
因为平面，平面，所以，
而，，所以是等腰直角三角形，
所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设与平面所成角为，则，，
故与平面所成角的正弦值为．
18.解：根据题意可得曲线是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
，，，
双曲线的标准方程为；
设，
联立，得，
则，解得且，
又，，
，
可化为：，
，
，
，，
综合可得的取值范围为
19.解：由题意得：，
解得，
故折叠前椭圆的标准方程．
当时，直线的方程为：，
联立，
解得，，
以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
故，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，
故，．
平面的一个法向量为，
故，
设平面与平面所成的角为，
，
即平面与平面所成角的余弦值为；
以原来的轴为轴，轴正半轴为轴，轴负半轴为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设折叠前，，则折叠后，，
设直线的方程为，其中，
联立，消去，
得
显然，且，
由，，
得，
即，
，
，
由得：，
即是，
，
，
即是，
解得，
注意到，
故，
从而存在满足条件的，且
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