2024-2025学年湖南省怀化市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省怀化市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.首项为的数列满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面的法向量，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5.函数的极值为( )
A. B. C. D.
6.过点作圆的切线，则切线的斜率为( )
A. B. C. D.
7.设为椭圆：的左焦点，，是上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.记数列的前项和为，已知，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为，，，的个小球，从中依次不放回摸出两个球设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为”，事件“摸出的两个球中有编号为的球”，则( )
A. B. 事件与事件为独立事件
C. D. 事件与事件为互斥事件
10.设，分别为双曲线：的左、右焦点，为上一点，则( )
A. 的焦距为
B. 当时，为直角三角形
C. 当时，为直角三角形
D. 当时，为直角三角形
11.已知函数，则( )
A. 在区间上单调递增
B. 点是曲线的对称中心
C. 曲线与轴相切
D. 当在区间恒成立时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正项等比数列满足，则其公比 ______．
13.已知函数是偶函数，则 ______．
14.已知抛物线：，，，，过点的直线与交于，两点，其中点在第一象限，若四边形为梯形，则其面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
的内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
求；
求和的值．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，在底面的射影在四边形内部，平面平面，平面平面．
证明：平面；
若，，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，，分别为椭圆：的左，右顶点，，是上的两个动点，，直线与轴交于点．
当是的上顶点时，求点的坐标；
求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
若，求的值；
已知数列满足，且．
证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值．
参考数据：，，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设等差数列的公差为，
因为，
所以，
又，所以，解得，
所以．
．
16.解：由，根据正弦定理可知，
结合余弦定理，可得，
即，解得不符合题意，舍去；
根据，可知为钝角，．
所以，．
可得．
17.解：证明：如图，设平面平面，
在上任取一，作平面的垂线，
因为，且平面平面，
所以平面，平面，
又平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，平面，
则平面平面，但平面平面，
所以与重合，
所以平面，
因为底面为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
所以，
故AD平面；
由知：平面，平面，
所以，
以为坐标原点，，方向分别为轴，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
则，，，，
因为，，，
所以，即，且，
，，
则，
可得，，，
设平面，平面的法向量分别为，，
故，
不妨令，则
，
不妨令，则，
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：当是的上顶点时，，
此时，
因为，
所以，
可得，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
解得，
所以，
即；
易知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，
可得直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
即，
同理得，
因为，，共线，
所以，
整理得，
因为，
所以，
此时，
当且仅当时，等号成立．
故的最小值为．
19.解：函数的定义域为，
由题意可得．
若，则单调递增，当时，，不符合题意；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时为最小值，
若，则有，不满足题意，
若，则，故．
证明：因为，
所以，即，
又，故是以首项为，公比为的等比数列，
故，得，
经检验时同样成立，故．
由，且，可得，
则即，
而，
又，
由可得，则，当且仅当等号成立，
故，
故
，
故，所以，则，故最小值为．
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