2024-2025学年云南省昆明市盘龙区高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昆明市盘龙区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知角的始边为轴的非负半轴，顶点为坐标原点，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.圆：被轴截得的弦长等于( )
A. B. C. D.
5.数列的通项公式为，其前项和记为，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，为等腰三角形，且，则双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.昆明市盘龙区有众多旅游资源，包括个国家级旅游区世博园、金殿风景名胜区，个国家森林公园金殿森林公园，甲、乙两人分别从世博园、金殿风景名胜区、金殿森林公园这个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择景点相互独立，则下列说法正确的是( )
A. 甲去世博园的概率为
B. 甲、乙两人都去世博园的概率为
C. 甲、乙两人中恰有一人去世博园的概率为
D. 甲、乙两人中至少有一人去世博园的概率为
10.已知抛物线：的准线为，焦点为，经过点的直线交于，两点，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 设原点为，则的面积为
D. 在上有且仅有一点，使得
11.已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则 ______．
13.已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为______．
14.设正项数列的前项和为，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
公差不为零的等差数列的前项和为，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值及样本成绩的第百分位数；
以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次竞赛成绩的众数和平均分；
已知落在区间的样本平均成绩是，方差是，落在区间的样本平均成绩为，方差是，求两组样本成绩合并后的平均数和方差．
参考公式：若总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则．
17.本小题分
在棱长为的正方体中，已知，分别是线段和上两点均异于
证明：平面；
当，，，四点共面时，记点到平面的距离为，求的取值范围．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，．
求；
若，，角的平分线交边于点，求；
若为的中点，的面积为，求的最小值．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右顶点分别为、，离心率为，且点在椭圆上，过点的直线交于，两点异于、
求椭圆的方程；
设直线，的斜率分别为和，求的值；
证明：直线与直线的交点在一条定直线上．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：公差不为零的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，
可得，，即，即有，
解得，，
则；
，
可得数列的前项和
16.解：由题意知，，解得；
成绩在的频率为，成绩在的频率为，
故第百分位数在之间，则，
解得，故第百分位数为；
众数为，，
所以该地此次竞赛成绩的众数为，平均分为；
由频率分布直方图知，这份答卷分数在的份数为，
分数在的份数为，所以，
总方差．
17.证明：因为为正方体，
所以平面平面，
又因为，是平面上的点，
则平面，
所以平面；
在正方体中，
当时，有，则，
此时，，，四点共面，
设，，连接，，
则三棱锥与三棱锥的体积相等，
即，
而，，
，，
设等腰梯形的高为，
则，
所以，
所以，
故，，
由二次函数的性质，可得．
18.解：因为，
由正弦定理得：，
整理得，即．
因为，所以，
因为，所以；
由，，及余弦定理，得，
即，所以，又，所以
因为角的平分线交边于点，所以，
则，即，
解得；
因为的面积为，所以，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
19.解：因为椭圆的离心率为，且点在椭圆上，
所以，
解得，，，
则椭圆的方程为；
解：设过点的直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，，
因为，，
所以，，
则；
证明：因为点在椭圆上，
所以，
即，
因为直线的斜率，
所以，
由得，
即，
所以直线的方程为，直线的方程为，
此时，
解得．
则直线与直线的交点在定直线上．
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